重難點20數(shù)列的綜合應用【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差、等比數(shù)列的綜合問題】 2【題型2數(shù)列中的數(shù)學文化問題】 5【題型3數(shù)列的通項公式的求解】 7【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】 10【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】 13【題型6數(shù)列求和問題】 16【題型7數(shù)列中的結構不良題】 19【題型8數(shù)列與其他知識的交匯問題】 23【題型9數(shù)列中的新定義、新情景問題】 281、數(shù)列的綜合應用數(shù)列是高考的重點內容和熱點內容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，數(shù)列的綜合應用問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的交匯問題，是歷年高考的熱點內容，以解答題的形式考查，一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質、通項公式、前n項和公式等.從近幾年的高考情況來看，高考壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景問題也是高考的一個重要趨勢，這類問題綜合性強，難度大，需要學會靈活求解.知識點1等差、等比數(shù)列的交匯問題的解題策略1．等差、等比數(shù)列的交匯問題的求解思路：(1)等差與等比數(shù)列的基本量間的關系，利用方程思想和通項公式、前n項和公式求解，求解時注意對性質的靈活運用.(2)數(shù)列的綜合運算問題常將等差、等比數(shù)列結合，兩者相互聯(lián)系、相互轉化，解答這類問題的方法：尋找通項公式，利用性質進行轉化.知識點2數(shù)列的數(shù)學文化問題1．數(shù)列的數(shù)學文化問題的解題步驟：(1)讀懂題意：會脫去數(shù)學文化的背景，讀懂題意；(2)構造模型：根據(jù)題意，構造等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關系式的模型；(3)求解模型：利用數(shù)列知識求解數(shù)列的基本量、通項公式、前n項和等，解決問題.知識點3數(shù)列的新定義、新情景問題1．數(shù)列的新定義、新情景問題的求解策略(1)新定義問題：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.(2)新情景問題：通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.知識點4數(shù)列的綜合應用1．數(shù)列與不等式交匯問題的解題策略(1)解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立、有解問題，則可分離參數(shù)，轉化為研究最值問題來解決.(2)數(shù)列與不等式交匯問題的答題模板第一步：根據(jù)題目條件，求出數(shù)列的通項公式；第二步：根據(jù)數(shù)列項的特征，選擇合適的方法(公式法、分組轉化法、裂項相消法、錯位相減法等)求和；第三步：利用第二步中所求得的數(shù)列的和，證明不等式或求參數(shù)的范圍；第四步：反思解題過程，檢驗易錯點，規(guī)范解題步驟.2．數(shù)列與函數(shù)交匯問題的解題策略數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及解題策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質、圖象研究數(shù)列問題.(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形.注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性.3．子數(shù)列問題的解題策略子數(shù)列是數(shù)列問題中的一種常見題型，將原數(shù)列轉化為子數(shù)列問題一般適用于某個數(shù)列是由幾個有規(guī)律的數(shù)列組合而成的，具體求解時，要搞清楚子數(shù)列的項在原數(shù)列中的位置，以及在子數(shù)列中的位置，即項不變化，項數(shù)變化，它體現(xiàn)了轉化與化歸以及分類討論、函數(shù)與方程的思想，能很好地考查學生的思維.4．數(shù)列中結構不良題的解法(1))先定后動，先對題目中確定的條件進行分析推斷，再觀察分析“動”條件，結合題干要求選出最適合自己解答的條件求解.(2)最優(yōu)法，當題干中確定的條件只有一個時，要根據(jù)自己的知識優(yōu)勢和擅長之處選擇更適合自己的條件進行解答.【題型1等差、等比數(shù)列的綜合問題】【例1】（2025·湖南永州·模擬預測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差d≠0，若S5=70，且a2，a4，a9A．30 B．32 C．36 D．40【答案】B【解題思路】利用等差數(shù)列的求和公式可得a1+2d=14，再由等比中項可得d=3a1，兩式聯(lián)立可得a1【解答過程】由S5=5又a2，a4，a9即a1+3d2∴a1+2d=14∴a∴a故選：B.【變式1-1】（2025·湖北黃岡·三模）給出條件p:△ABC的三邊既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列；q:△ABC為正三角形；則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解題思路】本題可根據(jù)充分條件和必要條件的定義，分別判斷p能否推出q以及q能否推出p.【解答過程】若△ABC的三邊既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，則2b=a+c，b2∴(a+c2即p?q，p是q的充分條件，若△ABC為正三角形，則三邊a=b=c.因為a=b=c，所以2b=a+c，滿足等差數(shù)列定義，公差為0；又因為a=b=c，所以b2=ac，滿足等比數(shù)列定義，公比為即三邊既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，所以q?p，p是q的必要條件，所以p是q的充分必要條件，故選：C.【變式1-2】（2025·全國·模擬預測）已知等差數(shù)列an滿足a2n=2an+1，且(1)求數(shù)列an(2)若bn=3n?1an，求數(shù)列【答案】(1)a(2)S【解題思路】（1）設等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1+n?1（2）由（1）知an=2n?1，故【解答過程】（1）設等差數(shù)列an的公差為d，則an=∵a2n=2an+1∵a1+1，a2+1，即a1+d+12=a1+1當d=0時，a1∴d=2，a1=d?1=1，∴an（2）由（1）知an=2n?1，∴∴Sn3S將兩式左右兩邊分別相減得?2S即?2S化簡得Sn【變式1-3】（2025·遼寧大連·一模）已知首項相同的等差數(shù)列an的公差與等比數(shù)列bn的公比大小相等，且b(1)求數(shù)列an和b(2)令cn=anbn，求數(shù)列【答案】(1)an=2n?1(2)T【解題思路】（1）設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，等比數(shù)列bn的首項為b1，公比為q，因為（2）由（1）可知cn=anb【解答過程】（1）設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，等比數(shù)列bn的首項為b由題意可知a1根據(jù)題意可得a1+3db1q且bn+1>bn等差數(shù)列an的通項公式為a等比數(shù)列bn的通項公式為b（2）由（1）可知cn=a則Tn2T②?①得T=?1?2×=?1?2=?1?2×=?1+4=3?=3?3×=3+2n?3【題型2數(shù)列中的數(shù)學文化問題】【例2】（2025·江蘇宿遷·模擬預測）《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若小寒、雨水、清明日影長之和為36尺，前八個節(jié)氣日影長之和為92尺，則谷雨日影長為（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【解題思路】令所給等差數(shù)列為{a【解答過程】令所給等差數(shù)列為{an},n∈N?則a2+a5+解得a4則數(shù)列{an}的公差d=故選：B.【變式2-1】（2025·陜西漢中·模擬預測）鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕成每層均同球心的數(shù)層可自由轉動的空心球，空心球的球面厚度不計.為保證鬼工球的每一層均可以自由轉動，要求其從最內層起，每層與其外一層球面的間距構成首項為1mm?公差為4mm的等差數(shù)列，若一個鬼工球最外層與最內層的半徑之差為190mmA．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解題思路】根據(jù)已知條件確定該等差數(shù)列的首項、公差，再利用前n項和公式建立方程，進而求解鬼工球的層數(shù)n.【解答過程】已知每層與其外一層球面的間距構成首項a1=1mm、公差d=4由于最外層與最內層的半徑之差就是這個等差數(shù)列的前n項和，即Sn根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式Sn將a1=1，d=4，Sn=190得到n1=10，n2該鬼工球的層數(shù)為11.故選：C.【變式2-2】（2025·云南昆明·模擬預測）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內共有2000個花蕾，第一天有10個花蕾開花，之后每天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內開放荷花的數(shù)量達到最大（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解題思路】每天荷花的數(shù)量都是前一天的2倍，則荷花朵數(shù)為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式及求和公式，列出不等式求解即可，注意花蕾有凋謝的情況.【解答過程】設第n天水塘中的荷花朵數(shù)為an，則a設第n天池塘內開放荷花的數(shù)量為bn，則b1=bn當n=7時，b7當n=8時，b8所以荷花的數(shù)量在第8天達到最大.故選：C.【變式2-3】（2025·山東青島·三模）《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個人分5錢，5人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)為（

）A．13 B．12 C．23【答案】C【解題思路】設第n1≤n≤5,n∈N?所得錢數(shù)為an錢，設數(shù)列a1、a2、a3、a4、a5【解答過程】設第n1≤n≤5,n∈N?所得錢數(shù)為an錢，則數(shù)列a1、a2、設數(shù)列a1、a2、a3、a4、則5a1+5×42故選：C.【題型3數(shù)列的通項公式的求解】【例3】（2025·江西新余·模擬預測）已知數(shù)列an滿足3an+1?3anA．an=2C．an=log【答案】C【解題思路】由累加法及等比數(shù)列前n和公式可得3an=【解答過程】由3an+1?所以3an?3=故an=log32故選：C.【變式3-1】（2025·云南·一模）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=2an?1n∈N*，若數(shù)列A．bn=2n?1+1 B．bn=2【答案】A【解題思路】根據(jù)條件，利用an與Sn間的關系，得到an【解答過程】因為Sn=2an?1兩式相減得到an=2a又a1=2a1?1，得到a1=1所以an=2當n≥2時，bn所以bn=2n?2+故選：A.【變式3-2】（2025·全國·模擬預測）設數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求an(2)設bn=an+1SnS【答案】(1)a(2)T【解題思路】（1）根據(jù)an與Sn的關系化簡題設可得數(shù)列（2）先求得bn【解答過程】（1）令n=1，則S1=a又Sn=3②-①得an+1=3所以數(shù)列an所以an（2）由（1）知，數(shù)列an是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，且a則Sn則bn所以Tn即Tn【變式3-3】（2025·河南駐馬店·模擬預測）已知數(shù)列an的前n項和為S(1)求an(2)若b1=1，且bn+1(3)在（2）的條件下，若en=1?n?2n?1b【答案】(1)a(2)b(3)T【解題思路】（1）由an與S（2）將已知等式變形為bn+1+b（3）由裂項相消法求和即可.【解答過程】（1）由Sn=ana以上兩式相減可得Sn?S因為an≠0，所以an+1?a由S1=a1a所以an（2）因為bn+1+b即bn+1因為b1=1,b1?（3）bn=n+1所以Tn【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】【例4】（2025·海南·模擬預測）數(shù)列an滿足a1=52,?A．?∞,?34 B．?∞【答案】A【解題思路】構造等比數(shù)列得an=12+【解答過程】由題意令an+1?λ=2an?λ，所以a所以數(shù)列an?1所以an所以an對于任意的n∈N?,即對于任意的n∈N顯然當n增大時，12n+1減小，此時所以λ<1?1故選：A.【變式4-1】（2025·北京大興·三模）已知數(shù)列an為無窮等比數(shù)列，Sn為其前n項和，“存在M1>0，對于任意的n∈N?，anA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，利用反例法，可得判定充分性不成立；結合an=Sn?【解答過程】若an=1，則對于任意的n∈N此時Sn=n，對于任意的n∈N?，不存在若對于任意的n∈N?，存在M2則an=S則對于任意的n∈N?，均有所以“存在M1>0，對于?n∈N?,故選：B.【變式4-2】（2025·山西忻州·模擬預測）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足(1)求an(2)若?n∈N?，a2n【答案】(1)a(2)?【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系an=S（2）已知條件得到關于λ的不等式，通過構造數(shù)列{cn}，求出數(shù)列{【解答過程】（1）Sn=2n+1+1當n=1時，a1=S所以an（2）因為?n∈N?，a2n>λn?3令cn=1當n≥2時，不妨設cn的第n只需令1n解得3≤n≤4，又c3所以cn的最小值為64所以λ<6481，即λ的取值范圍是【變式4-3】（2025·黑龍江大慶·模擬預測）設Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an>0,4(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列bn的前n項和為Tn，若對于任意n∈N【答案】(1)a(2)?【解題思路】（1）由an與S（2）分n為奇數(shù)與偶數(shù)討論，由等差數(shù)列的求和公式代入計算，即可得到結果.【解答過程】（1）令n=1，可得4S1=a1an所以2a所以an+an?1a數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為a（2）由（1）得an+1?a所以bn當n為偶數(shù)時，TnTnTn當n為奇數(shù)時，Tn所以Tn因為對于任意n∈N當n為奇數(shù)時λ≤n2當n=3時，n2?7n取最小值，最小值為所以λ≤?12，當n為偶數(shù)時λ≤n2當n=4時，n2?9n取最小值，最小值為所以λ≤?20，綜上可得λ的取值范圍?∞【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】【例5】（2025·遼寧沈陽·三模）已知數(shù)列an中，a1=3，a(1)求an(2)記Sn為數(shù)列1an的前n【答案】(1)a(2)證明見解析【解題思路】（1）求出數(shù)列ann的公差，可求出數(shù)列an（2）利用裂項求和法求出Sn【解答過程】（1）因為數(shù)列an中，a1=3，a設數(shù)列ann的公差為d，則2d=a所以ann=（2）因為1a所以S=1【變式5-1】（2025·海南·模擬預測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn(1)求數(shù)列an(2)設cn=1log2an+1?【答案】(1)a(2)證明見解析【解題思路】（1）令n=1，求出a1的值，對任意的n∈N?，由Sn=2an?n可得（2）利用裂項相消法求出Mn【解答過程】（1）因為Sn=2an?n對任意的n∈N?，②-①得an+1=2a所以an+1+1=2a因為a1+1=2，所以數(shù)列an+1是以所以an+1=2×2（2）因為cn所以Mn因為cn>0，數(shù)列Mn即12【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列an的前n項和S(1)求an(2)證明：a1【答案】(1)a(2)證明見解析【解題思路】（1）利用Sn和a（2）利用2k【解答過程】（1）因為Sn令n=1得S1=2a當n≥2時，Sn?1由①?②得an即a又a1所以數(shù)列an故an+1=2（2）因為ak當n=1時，a1當n≥2時，a==2綜上，a1【變式5-3】（2025·江蘇·三模）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，記其前n項和為Sn，且S3(1)求數(shù)列an(2)將數(shù)列an與Sn的所有項從小到大排列得到數(shù)列①求bn②證明：1b【答案】(1)a(2)①1052【解題思路】（1）設等差數(shù)列an的公差為d，依題意可得2a1=d，對于a2n=2a（2）①首先求出Sn，即可得到bn，從而求出其前20項和；②由1bn2=16【解答過程】（1）設等差數(shù)列an的公差為d由S3=a5，得由a2n=2an+14解得a1=14，（2）①由（1）知，Sn=1因為an所以bn=14n②證明：因為bn2=所以當n=1時，1b當n≥2時，1<16+161?綜上可得1b【題型6數(shù)列求和問題】【例6】（2025·江西·模擬預測）已知數(shù)列an滿足：a1=2，an+1=a1+2a2+3a3A．18?12029! B．16?【答案】B【解題思路】當n=1時，求出a2的值，當n≥2時，由an+1=a1+2a2+3a3【解答過程】因為數(shù)列an滿足：a1=2當n=1時，a2當n≥2時，由an+1=a兩個等式作差得an+1?an=n當n≥3時，an=a1?故當n≥2時，an所以b=n+3因此，S2025故選：B.【變式6-1】（2025·湖北武漢·模擬預測）數(shù)列(?1)n?1?nn∈A．1012 B．?1012 C．1013 D．?1013【答案】C【解題思路】通過將數(shù)列的前2025項和進行分組，根據(jù)相鄰兩項的規(guī)律，并項求出和.【解答過程】設數(shù)列{(?1)n?1?n}的前n項和為S可以將相鄰兩項看作一組，即(1?2)，(3?4)，(5?6)，?，(2023?2024)，一共有2024÷2=1012組，還剩下最后一項2025.每一組的值都為?1，例如1?2=?1，3?4=?1，5?6=?1，以此類推.因為一共有1012組，每組的值為?1，所以前2024項分組后的和為1012×(?1)=?1012.S2025等于前2024項分組后的和加上最后一項2025，即S故選：C.【變式6-2】（2025·云南昭通·模擬預測）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2n=2an+1，數(shù)列bn的前n(1)求an和b(2)求數(shù)列anbn的前n【答案】(1)an=2n?1(2)Q【解題思路】（1）利用bn=T1,n=1Tn（2）應用錯位相減法、等比數(shù)列前n項和公式求和即可.【解答過程】（1）由數(shù)列bn的前n項和為Tn=bn經檢驗當n=1時，b1=1也滿足上式，所以在等差數(shù)列an中，因為a2=2所以a2=a所以an（2）由（1）知，an所以Qn則12兩式相減，得1=1+2·化簡得：Qn【變式6-3】（2025·云南玉溪·模擬預測）設an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，a1(1)求an與b(2)設cn=an,n=2k?1,k∈N?【答案】(1)an=2n?1，(2)2【解題思路】（1）設出公差和公比，由題意得到方程組，求出公差和公比，得到通項公式；（2）分組求和，結合等差數(shù)列求和公式和裂項相消法求和，得到答案.【解答過程】（1）an是等差數(shù)列，設公差為d，bn是等比數(shù)列，設公比為q，則因為a1=b所以a2?b2=1+d?q=1所以an=1+2n?1（2）cnT===2n【題型7數(shù)列中的結構不良題】【例7】（2025·江蘇·一模）在①Sn=n2?已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)(1)求an(2)設bn=an+1Sn?Sn+1【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）條件①不符合題意.如果選條件②，則可根據(jù)an+1=Sn+1?Sn及條件②，得到Sn+1?Sn=1，從而可判斷Sn（2）由已知條件，可求得bn的通項公式，從而得到Tn的表達式，即可證明【解答過程】（1）對于條件①，當n=1時，a1如選②：a1Sn+1?S則Sn則Sn=S當n≥2時，an當n=1時，a1所以an的通項公式為a如選③：因為2Sn=當n=1時，2a1?1=當n≥2時，Sn即an?an?1?2則an所以an的通項公式為a（2）因為bnTn因為f(x)=1(x+1)2所以Tn=1?1(n+1)2<1，且Tn所以34【變式7-1】（2024·廣西賀州·一模）在①S2?3a1=0設an是遞增的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且(1)求an(2)若數(shù)列bn滿足bn=2n?1,n為奇數(shù)an（注：若選擇多個解答，按第一個解答計分）【答案】(1)an(2)Tn【解題思路】（1）選擇條件①②③，利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和列出方程，求出首項、公比即可得解.（2）利用分組求和法，結合等差、等比數(shù)列n項和公式計算即得.【解答過程】（1）由an是遞增的等比數(shù)列，a2=4，得數(shù)列an的公比選擇條件①，S2?3a1=0，則a所以an的通項公式是a選擇條件②，S3=14，即a1+a所以an的通項公式是a選擇條件③，S9S6而q>1，解得q3=8，即有所以an的通項公式是a（2）由（1）知，當n為奇數(shù)時，bn=2n?1，當n為偶數(shù)時，所以T=(1+5+9+?+4n?3)+(4+=n(1+4n?3)【變式7-2】（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知數(shù)列an滿足a1=3,a(1)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列bn的前n項和為S下面三個條件中任選一個，補充在上面橫線中．①3S②b2③b1記數(shù)列cn滿足cn=an注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)a(2)520【解題思路】（1）根據(jù)題意求得等比數(shù)列bn的公比q=3（2）先選擇條件，然后根據(jù)所選的條件求得b1的值，然后求得數(shù)列bn的通項公式，即可得出數(shù)列【解答過程】（1）設等比數(shù)列bn的公比為q，∵bn又a1=3,a∴an+1?∴an=3+n?1×3=3n，（2）選①：3S2=S選②：b2,2a3,b選③：b1,a3,b∴bn∴=3+9+15+???+57【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預測）在①a1=1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，②a2+問題：已知數(shù)列an(1)求數(shù)列an(2)數(shù)列an2n的前n項和為Sn，對任意的n∈N注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)a(2)2≤m<【解題思路】（1）若選擇條件①，根據(jù)等比中項的性質求出d，即可求出通項公式；選擇條件②，利用下標和性質得到a1+a5=6，從而求出a（2）由（1）可得an2n=n2n，利用錯位相減法求出S【解答過程】（1）選擇條件①：因為數(shù)列an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設公差為d又a1=1，a1，a所以a32=a9?a所以an選擇條件②，因為a2+a4=6解得a1=1a5=5或a所以a1=1a5=5選擇條件③：因為i=13ai則i=46ai即a1+a2+所以a1+a1+d+（2）由（1）可得an所以Sn兩邊同乘以12得1①?②得Sn所以Sn因為Sn+1?S于是當n=1時，Sn取得最小值1因為n+22n>0所以Sn∈12,2，故由m?3<【題型8數(shù)列與其他知識的交匯問題】【例8】（2025·全國一卷·高考真題）已知數(shù)列an中，a1=3(1)證明：數(shù)列na(2)給定正整數(shù)m，設函數(shù)f(x)=a1x+【答案】(1)證明見解析；(2)f【解題思路】（1）根據(jù)題目所給條件an+1（2）先求出an的通項公式，代入函數(shù)并求導，函數(shù)兩邊同乘以x，作差并利用等比數(shù)列前n【解答過程】（1）由題意證明如下，n∈N在數(shù)列an中，a1=3∴n+1an+1=n∴nan是以（2）由題意及（1）得，n∈N在數(shù)列na∴nan=3+1×在fxfx=3x+2∴f′當x≠1且x≠0時，∴1?xf∴f∴f=1+=1?=7【變式8-1】（2025·廣東廣州·模擬預測）已知向量a=sinπx2,?sinπx(1)寫出an(2)記an的所有偶數(shù)項構成數(shù)列bn，設cn=?1n?【答案】(1)1(2)S【解題思路】（1）由二倍角公式和輔助角公式化簡可得fx=22sinπx+π4（2）由錯位相減法求和可得結果.【解答過程】（1）由題意f=1由fx=0，得所以πx+π4即x=2k或x=2k+12,k∈Z知an的前6項為1（2）由（1）知bn=2n，所以所以Sn?2S①－②，得3=?21?(?2)所以Sn【變式8-2】（2025·河南周口·模擬預測）已知點P1t+1,t在拋物線C:x2=4y上，過點P1作斜率為?1的直線交C于另一個點Q1，設P2與Q1關于y軸對稱，再過P2作斜率為?1的直線交C于另一個點(1)求t的值；(2)求數(shù)列xn的通項公式，并求數(shù)列1xn+y(3)求△P【答案】(1)1；(2)xn=4n?2，(3)16.【解題思路】（1）由點在拋物線上，坐標代入求參數(shù)值；（2）根據(jù)已知得Pn?1Qn?1:y?xn?124=?（3）由（2）及已知得PnPn+2為2n+1【解答過程】（1）因為點P1t+1,t在拋物線C:x2=4y（2）由P12,1可知x1因為點Pnxn,yn在拋物線過Pn?1xn?1,xn?12聯(lián)立方程y?xn?124=?x?xn?1x因為Qn?1?xn,故數(shù)列xn是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，所以x又yn=x所以Tn=1又Tn是關于n的遞增函數(shù)，故Tmin=T1（3）由（2）知：Pn4n?2,2n?12，直線PnPn+2即2n+1x?y?4點Pn+14n+2,2n+12到直線Pn所以△PnP【變式8-3】（2025·遼寧·二模）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，因俄國數(shù)學家安德烈?馬爾科夫而得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第n+1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關，與第n?1，n?2，n?3，…次狀態(tài)無關．已知有A，B兩個盒子，各裝有1個黑球、1個黃球和1個紅球，現(xiàn)從A，B兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復進行nn∈N?次這樣的操作后，記A盒子中紅球的個數(shù)為Xn，恰有1個紅球的概率為(1)求p2，q(2)證明：pn?3(3)求Xn【答案】(1)p2=(2)證明見解析，p(3)E【解題思路】（1）根據(jù)題意可得A盒子中沒有紅球的概率為1?p（2）由題意可得pn=pn?1?（3）由題意可得qn=pn?1?C2【解答過程】（1）由題意，A盒子中沒有紅球的概率為1?p則p1=Cp=5q2（2）因為pn=pn?1?所以pn?3所以數(shù)列pn?35是以所以pn?3（3）當n≥2，n∈N?時，1?p由①?②得，2qn+所以2qn+Xn則PXPXn=1則XnX012P1?p1?所以EX【題型9數(shù)列中的新定義、新情景問題】【例9】（2025·河南信陽·模擬預測）對于數(shù)列xn，若存在實數(shù)M>0，使得對一切正整數(shù)n，恒有xn≤M成立，則稱數(shù)列xn為有界數(shù)列.設數(shù)列an的前n項和為SA．an=2n+1 B．an=?2n【答案】C【解題思路】根據(jù)有界的概念，求出每個選項的前n項和為Sn，再判斷是否存在實數(shù)M>0，使S【解答過程】對于A，an=2n+1，此時an對于B，an=?2n，此時對于C，an=1所以Sn≤1恒成立，即對于D，an=?1則S2m故當n=2m時，Sn故選：C.【變式9-1】（2024·北京東城·二模）設無窮正數(shù)數(shù)列an，如果對任意的正整數(shù)n，都存在唯一的正整數(shù)m，使得am=a1+a2+a3A．若an為等差數(shù)列，則aB．若an為等比數(shù)列，則aC．若內和數(shù)列an為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列bD．若內和數(shù)列an的伴隨數(shù)列bn為遞增數(shù)列，則【答案】C【解題思路】對于ABD：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)題意分析可得am2>【解答過程】對于選項AB：例題an=1，可知則a1+a2=2所以an對于選項C：因為an對任意n1,n2∈使得am則am2?且內和數(shù)列an為遞增數(shù)列，可知m所以其伴隨數(shù)列bn對于選項D：例如2,1,3,4,5,???，顯然an是所有正整數(shù)的排列，可知an為內和數(shù)列，且但an故選：C.【變式9-2】（2025·江蘇蘇州·模擬預測）若數(shù)列an滿足an+2?(1)若an=n(2)在“階躍數(shù)列”an中，若an=λ?(3)記“階躍數(shù)列”an的前n項和為Sn，證明：數(shù)列【答案】(1)an(2)λ≥1.(3)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)“階躍數(shù)列”的定義，證明an+2（2）根據(jù)“階躍數(shù)列”的定義可得λ≥n+12n恒成立，令c（3）先根據(jù)“階躍數(shù)列”的定義，結合放縮法、累加法證明nn+1an【解答過程】（1）令an+1?a所以dn+1=2n+5>dn，即（2）令an+1則dn又an為“階躍數(shù)列”，所以d所以λ?2n+1?令cn=n+12n所以當n=1時，cn取到最大值1，所以λ≥1（3）因為an為“階躍數(shù)列”，所以an+2?所以S≥所以nn+1當n≥2時，nn+1整理得2n所以2Snn當n=1時，S≥所以對?n∈N*,【變式9-3】（2025·湖北·三模）已知數(shù)列A:a1,a2,?,ann≥4，其中a1,a2,?,an∈Z，且a1<a2<?<an(1)直接寫出數(shù)列A:1,3,6,7,8的所有“調節(jié)數(shù)列”B；(2)若數(shù)列A滿足通項an=2nn∈N*，將數(shù)列A的“調節(jié)數(shù)列”中的遞增數(shù)列記為Bk，數(shù)列(3)已知數(shù)列A滿足：a1=1,an=2025，若數(shù)列A【答案】(1)B(2)n(3)所有符合條件的數(shù)列A共有2026?n個【解題思路】（1）根據(jù)“調和數(shù)列”B的定義，即可求解；（2）根據(jù)條件依次寫出滿足條件的Bk（3）首先由數(shù)列A為遞增數(shù)列，則條件ai?1+1<ai+1①，ai+1?1<ai+2【解答過程】（1）B1（2）因為a1=2,an=2n而bi共有n?2項，則“調節(jié)數(shù)列”Bk共有不妨設B1:2,3,5,…2n?3,2nB2:2,3,5,…2n?5,2n?1,2n依此類推Bn?1:2,5,7,…2n?3,2n?1,2n故i=1=2=2=2=（3）依題意，對任意i=2,3,?,n?2，有bi=ai?1+1因為B均為遞增數(shù)列，所以biai?1+1<ai+1①，a因為A為遞增數(shù)列，因此①和②恒成立.又因為A為整數(shù)數(shù)列，對于③，ai?1對于④，一方面，由ai+1?1<ai+1另一方面，ai+1所以ai+1即A從第2項到第n?1項是連續(xù)的正整數(shù)，所以a2因此2≤a故a2共有2026?n種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列A共有2026?n一、單選題1．（2025·四川綿陽·模擬預測）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=A．nn?12+C．nn+12+【答案】B【解題思路】應用累加法，結合分組求和、等差等比前n項和公式求通項公式.【解答過程】由題設an+1?=(n?1)+2n?1+?+2+所以an=(n?1+?+2+1)+(2n?1+?+由a1=1滿足上式，故故選：B.2．（2025·遼寧鞍山·模擬預測）已知正項數(shù)列an為等比數(shù)列，且5a2是a4與3aA．10 B．15 C．30 D．31【答案】D【解題思路】由5a2是a4與3a3的等差中項可得2×5a2【解答過程】因為數(shù)列an為正項等比數(shù)列，設公比為q又5a2是a4與3a3解得q=2或q=?5（舍去），所以由a2=a所以該數(shù)列的前5項和S5故選：D.3．（2025·山東臨沂·三模）在數(shù)列an中，已知a1=1，an+1=A．3332 B．3364 C．6564【答案】B【解題思路】根據(jù)給定的遞推公式求出a2n?1【解答過程】依題意，a2n+1=12a因此數(shù)列{a2n?1?12則a2n?1?12=(1故選：B.4．（2025·河北·模擬預測）在數(shù)列an中，已知a1=1,anan+1=an+1A．?12+C．?1+(?1)nn+1【答案】C【解題思路】由anan+1=an+1得，1【解答過程】由anan+1=a則數(shù)列1an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以1a所以bn所以Tn故選：C．5．（2025·江西九江·三模）九江銀行·2025“廬山杯”九江馬拉松于3月23日上午鳴槍開跑．此前，為備戰(zhàn)此次馬拉松，小寶同學制定了一個為期20周的跑步訓練計劃．計劃第1周跑步2公里，之后一段時間每周的跑步量是前一周的2倍；當周跑步量首次超過30公里后，每周比前一周多跑2公里；當周跑步量首次超過全馬里程（42.195公里）后，保持這個周訓練量直至訓練結束．請問：訓練計劃結束時，小寶同學跑步的總量是（

）A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，前4周的跑步量為等比數(shù)列，第5周到第10周的跑步量為等差數(shù)列，第11周到第20周的跑步量為常數(shù)列，分別求和即可.【解答過程】記第一周跑步量為a1=2，則所以a5=30+2=32,則a10第11周到第20周每周44公里，總和為440公里，所以小寶同學跑步的總量是30+222+440=692公里.故選：C.6．（2025·廣西·模擬預測）行列式是近代數(shù)學中研究線性方程的有力工具，最簡單的二階行列式的運算定義如下：abcd=ad?bc，已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若A．31 B．63 C．127 D．255【答案】C【解題思路】根據(jù)行列式定義及等比數(shù)列的通項公式求出公比，再由求和公式得解.【解答過程】根據(jù)題意可得：2a因為數(shù)列an是等比數(shù)列，a1=1因為q≠0，所以q=2.所以S7故選：C.7．（2025·甘肅定西·模擬預測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a1+a3=5,A．?8,2 B．?2,8 C．?10,6 D．?6,10【答案】A【解題思路】根據(jù)已知及等比數(shù)列通項公式、前n項和公式求基本量，再應用基本不等式求an【解答過程】設數(shù)列an的公比為q，由題意知q≠1由a1+a所以an因為an2+64an所以m2+6m<16，解得故選：A.8．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列an、bn、cn的通項公式分別為an=10n?9，bn=2n、，cn=λanA．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B【解題思路】由cn=λan+(1?λ)【解答過程】由題意an,b三點均在第一象限內，由cn=λa故點C恒在線段AB上，則有mina即對任意的λ∈0,1，c令10x?9=2x，構造函數(shù)則f′(x)=2又f′(3)<0,f′(4)>0即當0<x<x0時，f′當x>x0時，f′故f(x)至多2個零點，又由f(1)>0,f(2)<0,f(5)<0,f(6)>0，可知f(x)存在2個零點，不妨設x1,x2①若an≤bn，即10n?9≤2則an≤c要使an、bn、所以an+c所以有10n?9≤2n2②若an≥bn，即則an≥c要使an、bn、所以bn+c所以有10n?9≥2n10n?9<2n+1綜上可知，正整數(shù)n的個數(shù)有3個.故選：B.二、多選題9．（2025·全國·模擬預測）已知數(shù)列an的首項a1=34A．1an?1為等差數(shù)列C．數(shù)列an為遞增數(shù)列 D．數(shù)列2n?1an的前【答案】BCD【解題思路】對an+1=3an2an+1取倒數(shù)，采用構造法證明1an?1為等比數(shù)列，判斷A；利用1a【解答過程】由an+1=3an2a由a1=34得1a1?1=則1an?1=由an=3n3由an=3數(shù)列2n?1為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列2n?1的前n項和為n1+2n?1設數(shù)列2n?13n的前n項和則13①-②得，23即2所以Sn=1?n+13n，所以2n?1故選：BCD．10．（2025·四川成都·一模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球……設第n層有an個球，則（

A．a5=15 B．C．a2025為偶數(shù) D．【答案】ABD【解題思路】根據(jù)題意an?an?1=n,an?1【解答過程】根據(jù)題意，當n≥2時，an累加得an∴an=nn+1∴aan+1a2025∵an=1a∵n∈N即1≤1故選：ABD.11．（2025·河北邯鄲·一模）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，則（A．若Sn=2B．S3nC．SnD．Sn【答案】BC【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式，求和公式，及等差數(shù)列等比數(shù)列的定義一一分析，進行求解.【解答過程】對于選項A：∵Sn=2n2+n，當n≥2時，an適合n=1，∴a對于選項B：Sn為等差數(shù)列an的前n項和，設則SnS3n=3na1S6nS9n(S9n?S6n)?(S對于選項C：設等差數(shù)列an的公差為d，則S1=a1若S1,?即2(2a1+d)=∴Sn=na1，S2n=2na1，S對于選項D：設等差數(shù)列an的公差為d，則S1=a1若S1,?S2解得a12+a1d+d只有當d=0時，方程a1且解為a1=0，此時Sn故選：BC.三、填空題12．（2025·湖南長沙·模擬預測）等比數(shù)列an的前n項和記為Sn，若an>0，S3=3，S【答案】219【解題思路】由S12=65S【解答過程】設數(shù)列an的首項為a1，公比為因為S12=65S因為an>0，所以q>0，所以所以q6所以q3于是S9故答案為：219.13．（2025·四川廣安·模擬預測）已知數(shù)列an滿足a1+2a2+???+2n?1an=n?2【答案】5【解題思路】應用an=S【解答過程】若n=1，則a1若n≥2，則a1所以，2n?1an又a1=2也滿足an由于1a所以S20故答案為：51114．（2025·安徽·模擬預測）類比數(shù)列，我們把一系列向量按照一定的順序排列，可得到向量列.已知向量列an滿足an+1=2an+【答案】255【解題思路】先求證數(shù)列an【解答過程】由an+1?d因為a1?d則an?d+1=2故答案為：255.四、解答題15．（2025·四川巴中·模擬預測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S3(1)求數(shù)列an(2)若bn=1an?an+1，數(shù)列【答案】(1)a(2)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)已知條件列方程求出等差數(shù)列的首項與公差，根據(jù)等差數(shù)列定義寫出通項公式；（2）通過裂項相消的方法化簡Tn【解答過程】（1）在等差數(shù)列an中，S3=又a5=2a2+3=9所以an故數(shù)列an的通項公式為a