第04講解三角形

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警.........................................................................................................................2

02體系構(gòu)建·思維可視...........................................................................................................................3

03核心突破·靶向攻堅(jiān)...........................................................................................................................3

知能解碼..........................................................................................................................................3

知識(shí)點(diǎn)1正弦定理.........................................................................................................................................3

知識(shí)點(diǎn)2余弦定理.........................................................................................................................................4

知識(shí)點(diǎn)3解三角形中常用結(jié)論....................................................................................................................5

知識(shí)點(diǎn)4實(shí)際應(yīng)用問題中的專用名詞與術(shù)語...........................................................................................5

題型破譯........................................................................................................................................6

題型1正弦定理解三角形.............................................................................................................................6

【易錯(cuò)分析】易忽視三角形解的個(gè)數(shù)

題型2余弦定理解三角形.............................................................................................................................9

題型3多邊形解三角形（含一個(gè)確定三角形）.............................................................................10

【方法技巧】多邊形解三角形（含確定三角形）技巧

題型4多邊形解三角形（不含一個(gè)確定三角形）........................................................................14

【方法技巧】多邊形解三角形（無確定三角形）技巧

題型5解三角形的實(shí)際應(yīng)用......................................................................................................................19

題型6邊角互化...................................................................................................................................24

【方法技巧】邊角互化常用原則

題型7三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用.................................................................................................27

題型8最值問題（基本不等式法）..................................................................................................31

【方法技巧】基本不等式求最值

題型9最值問題（三角函數(shù)法）......................................................................................................34

【方法技巧】三角函數(shù)法求最值

題型10切弦互化求最值問題....................................................................................................................40

04真題溯源·考向感知.........................................................................................................................42

05課本典例·高考素材.........................................................................................................................48

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

全國(guó)甲卷（文）T17（12

（1）掌握正、余弦定理全國(guó)二卷T5（5全國(guó)Ⅰ卷T15（13分）分）

及其變形分）全國(guó)甲卷（文）T12（5全國(guó)甲卷（理）T16（5分）

單選題

（）理解并應(yīng)用三角形天津卷（分）全國(guó)乙卷（文）（分）

2多選題T1614T45

面積公式填空題分）全國(guó)甲卷（理）T11（5全國(guó)乙卷（理）T18（12

（3）解決三角形度量相解答題北京卷T16（13分）分）

關(guān)問題分）全國(guó)II卷T15（13分）全國(guó)I卷T17（12分）

全國(guó)II卷T17（12分）

考情分析：

解三角形是全國(guó)卷數(shù)學(xué)的核心考點(diǎn)，每年必考1-2題，主要以選擇題、填空題和中檔解答題形式呈現(xiàn)。高頻考

查正弦定理、余弦定理及面積公式，涉及邊角互化、判斷三角形形狀、多解問題等基礎(chǔ)內(nèi)容。

該專題難度多為中檔，但常與三角函數(shù)、向量等知識(shí)交匯，提升綜合考查力度。備考需熟練掌握公式變形與應(yīng)

用，強(qiáng)化應(yīng)用題訓(xùn)練，培養(yǎng)幾何直觀與邏輯推理能力，同時(shí)關(guān)注多解討論、最值問題等易錯(cuò)點(diǎn)。建議通過真題演練

掌握“邊化角”“角化邊”技巧，提升跨章節(jié)知識(shí)整合能力。

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.

2.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.

3.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.

4.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題.

知識(shí)點(diǎn)1正弦定理

1.正弦定理的內(nèi)容

在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則

定理正弦定理

abc

公式==2R，其中R為△ABC的外接圓的半徑.

sinAsinBsinC

①a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；

abc

常見變形②sinA，sinB，sinC；

2R2R2R

③a:b:csinA:sinB:sinC；

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；

解三角形問題

②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角．

2.三角形的面積公式

設(shè)△ABC的三邊為a,b,c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為A,B,C，其面積為S.

1

①Sah(h為BC邊上的高)；

2

111

②SbcsinAacsinBabsinC；

222

3.判斷三角形的解的個(gè)數(shù)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯

一確定．具體做法如下：

A為銳角A為鈍角或直角

圖形

關(guān)系式absinAbsinAabababab

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解

π1

自主檢測(cè)在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知a3，A，sinB，則b.

63

【答案】2

a13

abbsinB2

【詳解】由正弦定理得：，則sinA3π.

sinAsinBsin

6

故答案為：2.

知識(shí)點(diǎn)2余弦定理

在ABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，則

定理余弦定理

公式a2b2c22bccosA,

b2a2c22accosB.

c2a2b22abcosC.

b2c2a2c2a2b2a2b2c2

常見變形cosA，cosB，cosC

2bc2ca2ab

①已知三邊，求三個(gè)角；

解三角形問題

②已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩角．

c2a2＋b2C為直角；

余弦定理與勾

22＋2?C為鈍角；

股定理的關(guān)系cab

c2a2＋b2?C為銳角.

?

自主檢測(cè)已知VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2,b3,c2，則cosC

【答案】6

12

a2b2c223416

【詳解】cosC，

2ab2232612

故答案為：6

12

知識(shí)點(diǎn)3解三角形中常用結(jié)論

1.兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊：abc,bca,acb

2.大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊：ABabsinAsinB

3.ABC，故有①sinABsinC；②cosABcosC；

ABCABC

③tanABtanC；④sincos，⑤cossin

2222

自主檢測(cè)在VABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosBbcosA4sinC，則VABC的外接圓

的半徑為（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】A

【詳解】設(shè)所求為R，由題意acosBbcosA2RsinAcosBsinBcosA2RsinAB2RsinC4sinC，

在三角形中sinC0，解得R2.

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)4實(shí)際應(yīng)用問題中的專用名詞與術(shù)語

1.基線:在測(cè)量過程中,我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線.為使測(cè)量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)

際需要選取合適的基線長(zhǎng)度.一般來說,基線越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.

2.仰角和俯角:在目標(biāo)視線和水平視線所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平視

線下方的角叫俯角(如圖①).

3.方位角:指從正北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②).

4.方向角:從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向?yàn)槭歼?順時(shí)針方

向向西旋轉(zhuǎn)60°.

自主檢測(cè)某地為響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)

該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得C120，BC3千米，AC5

千米，則A，B間的直線距離約為（）

A．6千米B．7千米C．8千米D．5千米

【答案】B

【詳解】由余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosC259253cos12049，解得AB7.

故選：B.

題型1正弦定理解三角形

例1-1在VABC中，C150,bsinA,c3，則tanA的值是.

【答案】3

4

abc3

23

【詳解】由正弦定理sinAsinBsinC1，所以b23sinB，

2

又bsinA，所以sinA23sinB，所以sinA23sin30A，

即sinA23sin30cosA23cos30sinA，即sinA3cosA3sinA，

3

即4sinA3cosA，所以tanA.

4

故答案為：3

4

π

例1-2在VABC中，a、b、c分別三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，A，b4，若該三角形有兩個(gè)解，則

3

邊a的長(zhǎng)的取值范圍為.

【答案】23,4

π

【詳解】因?yàn)樵赩ABC中，A，b4，且該三角形有兩個(gè)解，如下圖所示：

3

π

則bsinAab，即4sina4，即23a4，

3

因此，邊a的長(zhǎng)的取值范圍為23,4.

故答案為：23,4.

易錯(cuò)分析易忽視三角形解的個(gè)數(shù)

兩邊和其中一邊的對(duì)角，若用正弦定理求角,會(huì)有多解的情況。這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間0,內(nèi)不嚴(yán)格

單調(diào)，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。

2

【變式1-1】在VABC中，a3，b6，cosB，則A（）

2

πππ2ππ5π

A．B．C．或D．或

633366

【答案】A

2π

【詳解】由cosB，0Bπ，則B，

24

2

3

由正弦定理，asinB1，

sinA2

b62

π

又ab，則0AB，故A.

6

故選：A.

【變式1-2】（2025·浙江金華·三模）在VABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知

A30,a2,b2，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A．B60B．B90C．c2D．c3

【答案】D

1

2

【詳解】由正弦定理可得abbsinA2，

sinB2

sinAsinBa22

5ππ3π

由于B0,,故B或B，故AB錯(cuò)誤，

644

πππ5π

若B時(shí)，則CπABπ,

46412

ππ

2sin

asinC64ππππ26

此時(shí)c22sincoscossin22133，

sinA164644

2

3ππ3ππ

若B時(shí)，則CπABπ,此時(shí)C為三角形中最小的內(nèi)角，故ca2，故C錯(cuò)誤，D

46412

正確，

故選:D

【變式1-3】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知VABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若

33

cosABcosAB，且ab，則VABC的外接圓的面積為（）

42

π

A．B．πC．2πD．4π

2

【答案】B

3

【詳解】由cos(AB)cos(AB)，

4

33

得cosAcosBsinAsinBcosAcosBsinAsinB，所以sinAsinB．

48

3ab

又因?yàn)閍b，結(jié)合正弦定理2R（其中R為VABC的外接圓的半徑），

2sinAsinB

2323

所以ab4RsinAsinBR，解得R21，

22

則VABC的外接圓的面積為πR2π．

故選：B

題型2余弦定理解三角形

2

例2-1在VABC中，cosC,AC4,BC3，則cosB（）

3

1115

A．B．C．D．

2399

【答案】C

2

【詳解】由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcosC,cosC,AC4,BC3，可得

3

2

AB21692439，故AB3，

3

AB2BC2AC299161

故cosB

2ABBC2339

故選：C

例2-2已知一個(gè)三角形的三邊分別是a，b，a2b23ab，則此三角形中的最大角為（）

A．90B．120C．135D．150°

【答案】D

【詳解】一個(gè)三角形的三邊分別是a,b,a2b23ab，a2b23ab為最大邊．

設(shè)最大角為，由余弦定理可得a2b23aba2b22abcos，

3

cos，又0<θ<180，故此三角形中的最大角150．

2

故選：D.

【變式2-1】已知VABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若abab，c2，C60，則VABC的面

積為（）

A．1B．3C．2D．23

【答案】B

【詳解】因?yàn)閂ABC中c2，C60，

222

所以由余弦定理c2a2b22abcosC可得4ababab3ab，

2

因?yàn)閍bab，所以ab3ab40，解得ab4或ab1（舍去），

1

所以VABC的面積為absinC3，

2

故選：B

【變式2-2】已知鈍角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ak，bk2，ck4，

則k的取值范圍是（）

A．1,5B．2,5C．2,6D．1,6

【答案】C

【詳解】∵cba，且VABC為鈍角三角形，∴C為鈍角.

a2b2c2k24k12

由余弦定理，得cosC0，

2ab2kk2

∴k24k120，解得2k6.

又VABC中，兩邊之和大于第三邊，即kk2k4，∴k2.

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是2,6.

故選：C

b2c2a2

【變式2-3】在VABC中，C，則的取值范圍是（）

6bc

A．2,2B．1,1

3

C．,1D．3,2

2

【答案】D

b2c2a25π

【詳解】由余弦定理得cosA，又0A，

2bc6

3

所以<cosA1，

2

b2c2a2

則2cosA的范圍是3,2.

bc

故選：D.

題型3多邊形解三角形（含一個(gè)確定三角形）

45

例3-1（多選）如圖，在VABC中，已知點(diǎn)D在邊AB上，AD3DB，cosA，cosACB，BC13.

513

則下列說法正確的有（）

16

A．cosBB．CD92C．BD4D．SABC20

65

【答案】AB

43

【詳解】在VABC中，cosA，A(0,π)，所以sinA1cos2A．

55

12

同理可得，sinACB，

13

所以cosBcos[π(AACB)]cos(AACB)

sinAsinACBcosAcosACB

3124516

，故A正確；

51351365

BC1312

ABsinACB20

在VABC中，由正弦定理得：sinA313，

5

1

又AD3DB，所以DBAB5，

4

在△BCD中，由余弦定理得，

16

CDBD2BC22BD·BCcosB52132251392，故B正確，C不正確；

65

63

因?yàn)锽0,π，所以sinB1cos2B，

65

1163

則SABBCsinB2013126，故D不正確.

ABC2265

故選：AB.

π

例3-2如圖，在四邊形ABCD中，A,AB3,AD33,CD3,C2CBD.

6

(1)求BD的長(zhǎng)；

(2)求四邊形ABCD的面積.

【答案】(1)3

153

(2)

4

【詳解】（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosA，

3

即BD292723339，所以BD3.

2

sinCBD

（2）在△BCD中，由正弦定理，得3，則sinC3sinCBD.

sinCBDCD

而C2CBD，于是3sinCBDsin2CBD2sinCBDcosCBD，

3π

又CBD(0,π)，則sinCBD0，cosCBD，CBD，

26

ππ

因此C2CBD,BDC，

32

所以四邊形ABCD的面積

11111153

SABADsinABDCD33333.

222224

方法技巧多邊形解三角形（含確定三角形）技巧

解此類題需先鎖定確定三角形，用正弦定理或余弦定理求出其邊角。再分析與其他多邊形的連接關(guān)系（如

公共邊、等角），將已知量傳遞到未知三角形，逐步拆解。

【變式3-1】（2025·福建龍巖·二模）在VABC中，BC26，D為AB邊上的點(diǎn)，且滿足ADAC，BDCD3，

則cosA．

7

【答案】

9

【詳解】在BDC中，BC26,BDDC3，

99241

由余弦定理得出cosCDBcosCDA，

2333

在ADC中，ADAC，

2217

所以ADCACD，則cosAcos2ADC2cosADC12cosCDB121．

99

7

故答案為：

9

【變式3-2】如圖，在平面四邊形ABCD中，BD90，AB8，BC6，ADDC．

(1)求BD的長(zhǎng)度；

(2)若AC與BD交于點(diǎn)E，求cosCED．

【答案】(1)BD72

2

(2)

10

【詳解】（1）DB=90°，ACAB2BC210，

DD=90°，ADDC，CAD45，ADCD52，

43

在VABC中，cosBAC，sinBAC，

55

2

cosBADcosBAC45cosBACcos45sinBACsin45，

10

在△ABD中，BD2AB2AD22ABADcosBAD98，

BD72．

（2）解法一：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則B0,0，C6,0，A0,8，

BD72，AD52，過點(diǎn)D作DHAB于點(diǎn)H，

AD2AH2BD2BH2，即BH2-AH2=BD2-AD2，

整理得BHAHBHAHBD2AD2，

BHAH8

AD52，BD72，AB8，，

BHAH6

AH1，BH7，DH=BD2-BH2=98-49=7，

∴D7,7，

CED為BD與AC的夾角，BD7,7，AC6,8，

BDAC2

∴cosCED．

BDAC10

解法二：ECD45，在△BCD中，BC6，CD52，BD72，

BD2+CD2-BC298+50-364

則cosDBDC===，

2BD×CD2創(chuàng)72525

3

sinBDC1cos2BDC，

5

則cosCEDcosπBDC45cosBDC45

cosBDCcos45sinBDCsin45

42322

．

525210

【變式3-3】已知VABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，點(diǎn)M是VABC的內(nèi)心，若a2,3bcosAasinB.

(1)求角A；

23

(2)延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，若AD，求VABC的周長(zhǎng).

3

π

【答案】(1)A.

3

(2)35

baba

【詳解】（1）由3bcosAasinB可得，由正弦定理可得，

sinB3cosAsinBsinA

π

故可得sinA3cosA，即tanA3，而A(0,π)，故A.

3

1A1A

（2）因?yàn)辄c(diǎn)M是VABC的內(nèi)心，ScADsin，SbADsin，

ABD22ACD22

π23A1

因A，AD，則sin,

3322

1A12313

從而，SSS(bc)ADsin(bc)(bc).

ABCABDACD222326

1π333

又S△bcsinbc，所以bc(bc)，即3bc2(bc).

ABC23446

由余弦定理a2b2c22bccosA可得4b2c2bc(bc)23bc.

將3bc2(bc)代入上式化簡(jiǎn)得4(bc)22(bc).

解得bc15，因?yàn)閎c0，所以bc15.

所以VABC的周長(zhǎng)為abc21535.

題型4多邊形解三角形（不含一個(gè)確定三角形）

例4-1在VABC中，已知AB2，AC62，BAC45，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，sinBAD．

3

【答案】/0.6

5

22

【詳解】由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC2262226252，

2

即BC213，則BDCD13．

BD2AD2AB2AD29

在△ABD中，由余弦定理，得cosBDA，

2BDAD213AD

CD2AD2AC2AD259

在ACD中，由余弦定理，得cosCDA，

2CDAD213AD

由BDA與CDA互補(bǔ)，則cosBDAcosCDA0，

AD29AD259

所以0，解得AD5．

213AD213AD

2

22

222

在中，由余弦定理，得ABADBD25134，

△ABDcosBAD

2ABAD2255

因?yàn)锽AC45，所以0BAD45，

3

所以sinBAD1cos2BAD．

5

3

故答案為：

5

例4-2如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，AC2AB，CD1，AE3EC，

ADBEDC，則cos.

3

【答案】/0.75

4

【詳解】設(shè)ABx,AC2x,在三角形ABC與三角形ABD中，

1+x2-AD24+x2-4x25x2-2

cosB==,解得：AD2=,

2x4x2

31

作DC的四等分點(diǎn)，且DF3FC,由題意知，DF,FC，

44

又因?yàn)锳E3EC，所以EF//AD,ADBEFD,

1

又ADBEDC，所以EFDEDF,EDEFAD,

4

922

22+DE-EF

1+AD-x16

在三角形ABD與三角形中，cos==,

EDF31

2AD2創(chuàng)AD

44

5x2-2

化簡(jiǎn)得:AD2-x2=2,代入AD2=,解得：x2,AD2,

2

1+AD2-x23

從而解得：cos==,

2AD4

3

故答案為：.

4

方法技巧多邊形解三角形（無確定三角形）技巧

解此類題需尋找多邊形中隱含的邊角關(guān)系，如公共邊、等角、互補(bǔ)角或內(nèi)角和定理，設(shè)未知量（邊長(zhǎng)或角

度），利用正弦定理在多個(gè)三角形中建立邊角比例關(guān)系，形成方程組。通過消元轉(zhuǎn)化為單變量問題，結(jié)合

幾何約束（如邊長(zhǎng)為正）求解，注重整體關(guān)聯(lián)與方程思想的運(yùn)用。

【變式4-1】在VABC中，點(diǎn)D滿足BDDC，BAD30，ABCCAD，則tanABC．

【答案】322

5

【詳解】設(shè)ABCCAD090，

CDAD

BDAD

由正弦定理得，，

sin30sinsinsin1502

BDsin30CDsin

即，

ADsinADsin1502

31

所以2sin2sin2cos2

22

11

3sincoscos2sin2，

22

即5sin223sincoscos20cos0，

同除cos2得5tan223tan10，

322322

解得tan0舍去，或tan，

55

322

所以tanABC．

5

故答案為：322．

5

【變式4-2】記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c．已知a2bc，點(diǎn)D在邊BC上，ADsinBACcsinB．

(1)證明：ADa；

(2)若BD3DC，求cosBAC．

【答案】(1)證明見解析

13

(2)

24

ACBC

【詳解】（1）在VABC中，①，

sinBsinBAC

ADc

ADsinBACcsinB,②，

sinBsinBAC

ACAD

聯(lián)立①②得，即bcaAD，

BCc

a2bc，ADa．

3313

（2）若BD3DC，則ADABBDABBCABACABABAC，

4444

2

21312926

又ADa,ADABACABACABAC，

44161616

196193

a2c2b2bccosBACc2b2b2c2a2，

161616161616

4c1

化簡(jiǎn)得：19a212b24c20，又a2bc,12b219bc4c20，即b或bc，

34

4c4c2

若b時(shí)，a2bc，

33

22

16c24c132

222cc

bca13

則cosBAC939，

28

2bc8cc224

33

c2c213

22

2222cc

12cbca1641613

若bc,abc，則cosBAC22（舍）．

442bc2cc8

42

13

綜上：cosBAC．

24

【變式4-3】如圖，四邊形ABCD中，AB3，BCCD22，AD1，且A,B,C,D四點(diǎn)