2025-2026學(xué)年上海市浦東新區(qū)新川中學(xué)高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、填空題（本大題共12題，每題3分，共36分）1．（3分）已知集合，3，，，3，，．2．（3分）若全集，，集合，，則．3．（3分）不等式的解集為．4．（3分）“且”是“”的條件．（填“充要”“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”5．（3分）已知集合，，，，則．6．（3分）滿足，2，3，的集合有個(gè)．7．（3分）已知，，且是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．8．（3分）集合，2，，，，若集合中有三個(gè)元素，則實(shí)數(shù)．9．（3分）若集合，，，，則集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為．10．（3分）設(shè)全集，集合，，集合，，則如圖陰影部分表示的集合為．11．（3分）已知不等式的解集為，則不等式的解集為．12．（3分）是正整數(shù)集的子集，滿足：，，，并有如下性質(zhì)：若、，則，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則的非空子集數(shù)為．二、選擇題（本大題共4題，每題3分，共12分）13．（3分）已知集合，集合，則A． B． C． D．，14．（3分）已知集合，，若不是的子集，則下列命題中正確的是A．對(duì)任意的，都有 B．對(duì)任意的，都有 C．存在，滿足，且 D．存在，滿足，且15．（3分）集合，各有8個(gè)元素，有6個(gè)元素，若集合滿足：，則滿足條件的集合共有A．32個(gè) B．16個(gè) C．8個(gè) D．4個(gè)16．（3分）設(shè)集合，中至少兩個(gè)元素，且，滿足：①對(duì)任意，，若，則，②對(duì)任意，，若，則，下列說(shuō)法正確的是A．若有2個(gè)元素，則有3個(gè)元素 B．若有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素 C．存在3個(gè)元素的集合，滿足有5個(gè)元素 D．存在3個(gè)元素的集合，滿足有4個(gè)元素三、解答題(10’+10+10'+10’+12’，本大題共5題，解答下列各題須寫出必要的步驟）17．（10分）證明：若，則或．18．（10分）比較與的大?。?9．（10分）設(shè)全集為，集合，．（1）求；（2）若，求的取值范圍．20．（10分）已知集合，集合．（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）集合，，，是由個(gè)正整數(shù)組成的集合，如果任意去掉其中一個(gè)元素，2，，之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集合”．（1）判斷集合，2，3，、，3，5，7，9，11，是否為“可分集合”（不用說(shuō)明理由）；（2）求證：五個(gè)元素的集合，，，，一定不是“可分集合”；（3）若集合，，，是“可分集合”，證明是奇數(shù)．

參考答案一．選擇題（共4小題）題號(hào)13141516答案BCBA一、填空題（本大題共12題，每題3分，共36分）1．（3分）已知集合，3，，，3，，．解：集合，3，，，3，，故答案為：2．（3分）若全集，，集合，，則，1，3，．解：全集，，1，2，3，4，，集合，，則，1，3，．故答案為：，1，3，．3．（3分）不等式的解集為．解：已知，則．故答案為：．4．（3分）“且”是“”的充要條件．（填“充要”“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”解：若且，顯然有，即且，充分性成立，若，又，，所以，即，則可以推出且，必要性成立，所以“且”是“”的充要條件．故答案為：充要．5．（3分）已知集合，，，，則．解：集合，，，，則．故答案為：．6．（3分）滿足，2，3，的集合有8個(gè)．解：因?yàn)椋?，3，，所以的可能集合是：，，，，，，，，2，，，2，，，3，，，2，3，共8個(gè)．故答案為：8．7．（3分）已知，，且是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解：，解得，設(shè)，，若是的充分不必要條件，則，則有，且等號(hào)不會(huì)同時(shí)取到，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．8．（3分）集合，2，，，，若集合中有三個(gè)元素，則實(shí)數(shù)或．解：中有三個(gè)元素，或，解得或．故答案為：或．9．（3分）若集合，，，，則集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為14．解：集合，1，，，，，1，2，，集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為：．故答案為：14．10．（3分）設(shè)全集，集合，，集合，，則如圖陰影部分表示的集合為，．解：由題可得，故，，故如圖陰影部分表示的集合為，．故答案為：，．11．（3分）已知不等式的解集為，則不等式的解集為．解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以?是方程的兩解，且；由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，；所以可化為，因?yàn)?，所以可化為，即，解得或，所以不等式的解集為．故答案為：?2．（3分）是正整數(shù)集的子集，滿足：，，，并有如下性質(zhì)：若、，則，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則的非空子集數(shù)為．解：根據(jù)題意，若，，則、、、均屬于，而事實(shí)上，若，則，故區(qū)間，中有正整數(shù)，所以中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2，故2、3、、，若，，則有，與矛盾，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，2，，，可得的非空子集有．故答案為：．二、選擇題（本大題共4題，每題3分，共12分）13．（3分）已知集合，集合，則A． B． C． D．，解：因?yàn)?，，集合表示的是的偶?shù)倍構(gòu)成的集合，集合表示的是的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，即，故．故選：．14．（3分）已知集合，，若不是的子集，則下列命題中正確的是A．對(duì)任意的，都有 B．對(duì)任意的，都有 C．存在，滿足，且 D．存在，滿足，且解：對(duì)于選項(xiàng)、：例如，，，，滿足不是的子集，但，，故錯(cuò)誤；，，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：對(duì)任意的，都有，則，若不是的子集，則存在，滿足，且，故正確；對(duì)于選項(xiàng)：例如，，滿足不是的子集，但不存在，滿足，且，故錯(cuò)誤．故選：．15．（3分）集合，各有8個(gè)元素，有6個(gè)元素，若集合滿足：，則滿足條件的集合共有A．32個(gè) B．16個(gè) C．8個(gè) D．4個(gè)解：由題知，各有8個(gè)元素，且有6個(gè)元素，設(shè)，，，，，，且，，，，，，，，，，，，，，，，則畫圖如下：因?yàn)?，所以，，，，，，，，，，，，，，，所以集合的個(gè)數(shù)，即是，，，的子集的個(gè)數(shù)個(gè)．故選：．16．（3分）設(shè)集合，中至少兩個(gè)元素，且，滿足：①對(duì)任意，，若，則，②對(duì)任意，，若，則，下列說(shuō)法正確的是A．若有2個(gè)元素，則有3個(gè)元素 B．若有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素 C．存在3個(gè)元素的集合，滿足有5個(gè)元素 D．存在3個(gè)元素的集合，滿足有4個(gè)元素解：若有2個(gè)元素，不妨設(shè)，，因?yàn)橹兄辽儆袃蓚€(gè)元素，不妨設(shè)，，由②知，，因此集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，故可設(shè)，，由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，故至少還有另外一個(gè)元素，當(dāng)集合有2個(gè)元素時(shí)，由②得：，則，，或，．當(dāng)集合有多于2個(gè)元素時(shí)，不妨設(shè)，，，其中，，，，，，由于，，，所以，，若，則，但此時(shí)，，即集合中至少有，，這三個(gè)元素，若，則集合中至少有，，這三個(gè)元素，這都與集合中只有2個(gè)運(yùn)算矛盾，綜上，，，，故正確；當(dāng)集合有3個(gè)元素，不妨設(shè)，，，其中，則，，，所以，，，，，，集合中至少兩個(gè)不同正數(shù)，兩個(gè)不同負(fù)數(shù)，即集合中至少4個(gè)元素，與，，矛盾，排除，．故選：．三、解答題(10’+10+10'+10’+12’，本大題共5題，解答下列各題須寫出必要的步驟）17．（10分）證明：若，則或．【解答】證明：假設(shè)，，，這與已知條件矛盾，假設(shè)不成立，即“若，則或”成立．18．（10分）比較與的大?。猓河?，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．19．（10分）設(shè)全集為，集合，．（1）求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）不等式，，不等式，，，，或．（2）不等式，①當(dāng)時(shí)，，不等式，解集為，，此時(shí)成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，或，或，或若，則有，解得，此時(shí)，的取值范圍是，，③當(dāng)時(shí)，，或，或，或若，則有，解得，此時(shí)，的取值范圍是；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．20．（10分）已知集合，集合．（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，得．，關(guān)于的不等式的解集為．（2）集合．若，則有如下兩種情況：實(shí)數(shù)滿足或，即或．實(shí)數(shù)的取值范圍是，或．21．（12分）集合，，，是由個(gè)正整數(shù)組成的集合，如果任意去掉其中一個(gè)元素，2，，之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集合”．（1）判斷集合，2，3，、，3，5，7，9，11，是否為“可分集合”（不用說(shuō)明理由）；（2）求證：五個(gè)元素的集合，，，，一定不是“可分集合”；（3）若集合，，，是“可分集合”，證明是奇數(shù)．解：（1）對(duì)于，2，3，，去掉3后，，2，不滿足題中條件，故，2，3，不是“可分集合”，對(duì)于，3，5，7，9，11，，集合，3，5，7，9，11，所有元素之和為49．當(dāng)去掉元素1時(shí)，剩下的元素之和為48，剩下元素可以組合，5，7，、，這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素3時(shí)，剩下的元素之和為46，剩下元素可以組合，9，、，7，這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素5時(shí)，剩下的元素之和為44，剩下元素可以組合，3，7，、，這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素7時(shí)，剩下的元素之和為42，剩下元素可以組合，9，、，5，這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素9時(shí)，剩下的元素之和為40，剩下元素可以組合，3，5，、，這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素11時(shí)，剩下的元素之和為38，剩下元素可以組合，7，、，5，這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素13時(shí)，剩下的元素之和為36，剩下元素可以組合，3，5，、，這兩個(gè)集合，顯然符合題意．綜上所述，集合，3，5，7，9，11，是“可分集合”．（2）證明：不妨設(shè)，若去掉元素，將集合，，，分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有①，或者②，若去掉元素，將集合，，，分成兩個(gè)交集為空集的子集，且