2025年高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽模擬試題（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）一、填空題（本大題共6小題，每小題5分，滿分30分）極限$\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cosx}{x\sinx}=$__________.設(shè)函數(shù)$f(x)=\int_0^xte^{-t^2},dt$，則曲線$y=f(x)$的拐點(diǎn)坐標(biāo)為__________.設(shè)平面區(qū)域$D$由曲線$y=x^2$與$y=\sqrt{x}$圍成，則二重積分$\iint_D(x+y),dxdy=$__________.微分方程$y''-4y'+4y=e^{2x}$的通解為$y=$__________.設(shè)向量$\boldsymbol{a}=(1,2,-1)$，$\boldsymbol=(2,k,1)$，若$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol$的夾角為鈍角，則$k$的取值范圍為__________.設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且$\int_0^1f(x),dx=2$，則$\int_0^1\left(\int_x^1f(t),dt\right)dx=$__________.二、解答題（本大題共7小題，滿分120分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）7.（本題滿分15分）求極限$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)$.8.（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極大值$2$，在$x=2$處取得極小值，求$a,b,c$的值及極小值.9.（本題滿分20分）計(jì)算定積分$\int_0^\pi\frac{x\sinx}{1+\cos^2x},dx$.10.（本題滿分20分）設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$由方程$x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-10=0$確定，求$f(x,y)$的極值.11.（本題滿分20分）設(shè)曲線$L$為從點(diǎn)$A(1,0,0)$到點(diǎn)$B(0,1,0)$再到點(diǎn)$C(0,0,1)$的折線，計(jì)算曲線積分$\int_L(x^2+yz)dx+(y^2+xz)dy+(z^2+xy)dz$.12.（本題滿分15分）證明：當(dāng)$x>0$時(shí)，$(1+x)e^{-2x}>1-x$.13.（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且$0<f(x)<1$，證明：方程$\int_0^xf(t),dt=2x-1$在$(0,1)$內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題$\frac{3}{2}$解析：泰勒展開$e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)$，$\cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$，代入得分子$\frac{3x^2}{2}+o(x^2)$，分母$x^2+o(x^2)$，極限為$\frac{3}{2}$.$(0,0)$解析：$f'(x)=xe^{-x^2}$，$f''(x)=e^{-x^2}(1-2x^2)$，令$f''(x)=0$得$x=0$，拐點(diǎn)為$(0,0)$.$\frac{3}{10}$解析：積分區(qū)域$D:0\leqx\leq1,x^2\leqy\leq\sqrt{x}$，原式$=\int_0^1dx\int_{x^2}^{\sqrt{x}}(x+y)dy=\int_0^1\left(x(\sqrt{x}-x^2)+\frac{1}{2}(x-x^4)\right)dx=\frac{3}{10}$.$(C_1+C_2x)e^{2x}+\frac{x^2}{2}e^{2x}$解析：特征方程$r^2-4r+4=0$，根$r=2$（二重根），特解設(shè)為$y^*=x^2e^{2x}$，代入得通解.$(-\infty,0)\cup(0,3)$解析：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=2+2k-1=2k+1<0$且$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol$不共線，解得$k<-\frac{1}{2}$且$k\neq0$（共線時(shí)$k=3$，但夾角為$180^\circ$非鈍角，故排除）.$1$解析：交換積分順序$\int_0^1dx\int_x^1f(t)dt=\int_0^1f(t)dt\int_0^tdx=\int_0^1tf(t)dt$，由$\int_0^1f(t)dt=2$，設(shè)$F(t)=\int_0^tf(s)ds$，則原式$=tF(t)\bigg|_0^1-\int_0^1F(t)dt=2-1=1$.二、解答題解：原式$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln2$.（15分）解：$f'(x)=3x^2+2ax+b$，由極值條件$\begin{cases}f(1)=2\f'(1)=0\f'(2)=0\end{cases}$，解得$a=-\frac{9}{2},b=6,c=\frac{5}{2}$，極小值$f(2)=-\frac{3}{2}$.（15分）解：令$x=\pi-t$，原式$=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{\sinx}{1+\cos^2x}dx=\frac{\pi}{2}\left[-\arctan(\cosx)\right]_0^\pi=\frac{\pi^2}{4}$.（20分）解：方程整理為$(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16$，$z=2\pm\sqrt{16-(x-1)^2-(y+1)^2}$，極大值$6$（上半球面頂點(diǎn)），極小值$-2$（下半球面頂點(diǎn)）.（20分）解：積分與路徑無關(guān)，原函數(shù)$u=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}+xyz$，原式$=u(C)-u(A)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0$.（20分）證明：設(shè)$f(x)=(1+x)e^{-2x}-1+x$，$f(0)=0$，$f'(x)=e^{-2x}(3-2x)-1$，$f''(x)=e^{-2x}(4x-8)$，$x>0$時(shí)$f''(x)<0$，$f'(x)$單調(diào)遞減，$f'(x)<f'(0)=2>0$，故$f(x)$單調(diào)遞增，$f(x)>0$.（15分）證明：設(shè)$F(x)=\int_0^xf(t)dt-2x+1$，$F(0)=1>0$，$F(1)=2-2=0$（矛盾，修正：$F(1)=\int_0^1f(t)d