高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第三章十大題型歸納（基礎(chǔ)篇）題型1利用題型1利用橢圓的定義解題1．如果橢圓x2100+y236=1上一點P到焦點FA．4 B．14 C．12 D．8【解題思路】根據(jù)橢圓標(biāo)準方程確定a，再結(jié)合橢圓的定義可得答案.【解答過程】橢圓x2100+y236=1中a2=100,b2=36，所以a=10,b=6由橢圓的定義可得2．如果橢圓x281+y225=1上一點M到此橢圓一個焦點F1的距離為2，N是A．6 B．10 C．8 D．12【解題思路】由橢圓定義可得MF【解答過程】如圖，連接ON，MF1，

由橢圓方程可得：a2=81，則a=9，由橢圓定義可得MF1+MF2=2a=18，所以MF2=18?M3．已知點P在焦點為F1,F2的橢圓x2【解題思路】利用勾股定理構(gòu)造方程，結(jié)合橢圓定義可求得結(jié)果.【解答過程】

由橢圓方程知：a=35，b=25，∴c=a2?b2=5，∵∠F4．設(shè)F1,F2分別是橢圓x2(1)若P是該橢圓上的一個動點，求PF(2)若C為橢圓上異于B的一點，且BF1＝λCF1，求【解題思路】（1）由橢圓定義得PF1+（2）設(shè)Cx0,【解答過程】（1）因為橢圓的方程為x24+y2=1，所以a＝2，又因為PF1+當(dāng)且僅當(dāng)PF1=（2）設(shè)Cx0,y0，因為B0,?1，F(xiàn)1?3因為BF1＝λCF1，即?3,1=λ又x024+y02因為C異于B點，故λ＝1舍去，所以λ＝－7．題型2題型2橢圓的標(biāo)準方程的求解1．已知橢圓C：x2a2+y2bA．x216+C．x24+【解題思路】由題設(shè)可得{2a=4【解答過程】由題設(shè)，知：{2a=42c=2，可得{a=2c=1，則b2故選：D.2．已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，點0,1在橢圓上，右焦點為A．x24+C．x23+【解題思路】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得a,b，則橢圓方程可求.【解答過程】由點0,1在橢圓上得b=1，由橢圓的對稱性可得AF+BF=2a=4故橢圓方程為x23．橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可得a=2，進而根據(jù)垂直關(guān)系可得PF12+P【解答過程】由橢圓的定義得2a=PF1因為PQ⊥PF1，所以有PF即有2+22+2?2故所求橢圓的標(biāo)準方程為x24．寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準方程，(1)焦點在x軸上，焦距為2，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為4；(2)兩個焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A3,?2和(3)經(jīng)過點1,2，焦點坐標(biāo)分別為0,3(4)焦點在x軸上，經(jīng)過點2,1，焦距為23【解題思路】利用橢圓的定義及待定系數(shù)法計算即可.【解答過程】（1）設(shè)橢圓焦距為2c，長軸長為2a，短軸長為2b，由題意可知2a=4,2c=2,b（2）不妨設(shè)橢圓方程為mx將兩點代入得3m+4n=112m+n=1?m=（3）設(shè)橢圓焦距為2c，長軸長為2a，短軸長為2b，由題意可設(shè)x2b2+y（4）設(shè)橢圓焦距為2c，長軸長為2a，短軸長為2b，則2c=23由題意可設(shè)x2a2+y題型3題型3求橢圓的離心率或其取值范圍1．已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直線l依次交x軸、橢圓Γ、y軸于點A．12 B．33 C．22【解題思路】根據(jù)題意分析可知：AB的中點即為弦PQ的中點，利用點差法運算求解.【解答過程】設(shè)直線l：y=12x+m設(shè)AB的中點為M，連接OM，則AM=BM，因為AP=QB，則PM=QM，即設(shè)Px1,y1可得x12a2+y1即12×?12=?b

2．點A為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>1)的右頂點，P為橢圓C上一點（不與A．12,1 B．22,1 C．【解題思路】設(shè)Px,y0<x<a，由PO?PA=0，得到x【解答過程】解：設(shè)Px,y0<x<a，又O0,0,Aa,0，且PO?PA=0，則x2+y2?ax=0即ca>223．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓的離心率；(2)已知以橢圓的離心率為斜率的直線經(jīng)過點A，且與橢圓相交于點P（點P異于點A），若AP?【解題思路】（1）表達出AB,BF，列出方程，得到（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，求出P(a2,3a4【解答過程】（1）由題意可得AB=a2因為AB=72BF，所以又a2=b2+（2）由（1）知，b=32a設(shè)P(x1,y1)，聯(lián)立y=其中點P異于點A，而A?a,0，故xP=又c=a2，所以AP=32a,3則AP=34a2?33故橢圓方程為x24．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點A(2,0)，P為橢圓(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)過點H(?1,0)的直線PH與橢圓C交于另一點Q，直線AP,AQ分別與y軸相交于點E，F(xiàn)．當(dāng)|EF|=2時，求直線PH的方程．【解題思路】(1)由橢圓的右頂點A(2,0)可得a=2，若要△AOP面積最大，則需PK最長，此時點P在y軸上，△AOP面積可得b=1，從而求得橢圓C的方程，再由a2=b(2)設(shè)直線PH的方程為：y=k(x+1),(k≠0)，與橢圓聯(lián)立方程組可解得一元二次方程，從而可得出韋達定理的表達式，再通過直線PA，QA的方程得出點E，F(xiàn)坐標(biāo)，進而表達出|EF|=2，從而可解得k，求得直線PH的方程.【解答過程】（1）橢圓C:x2a2+y2b2P為橢圓C上的動點，且點P不在x軸上，O是坐標(biāo)原點，過點P作PK⊥x軸，垂足為K，故△AOP面積為S△AOP若要△AOP面積最大，則需PK最長，此時點P在y軸上，即PK=OP時，使得△AOP面積最大，S△AOP=1∴橢圓C的方程為x24+（2）P為橢圓C上的動點，過點H(?1,0)的直線PH與橢圓C交于另一點Q，可記P(x1,當(dāng)直線PH的斜率不存在時，即PH⊥x軸時，PQ<2b=2，此時直線AP,AQ分別與y軸相交于點E，F(xiàn)．此時|EF|<當(dāng)直線PH的斜率存在時，設(shè)直線PH的方程為：y=k(x+1),(k≠0)，聯(lián)立y=k(x+1)x24+y2=1，消去y可得x由P(x1,y1)，Q(x2,y2)，A(2,0)，則直線PA的方程為：y=y1x1?2(x?2)，直線QA的方程為：y=y∴EF又P(x1,y1)，Q(x分別代入EF并化簡可得EF=23kx1+x22?4x1x2x1x2?2x1+x2+4即6x?6y+6=0題型4題型4利用雙曲線的定義解題1．如果雙曲線x24?y212=1上一點PA．4 B．12 C．4或12 D．不確定【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義即可求得答案.【解答過程】設(shè)雙曲線x24?y212=1由雙曲線定義可得||PF1|?|PF2||=2a=4，即||PF故點P到它的左焦點的距離是4或12，故選：C.2．已知雙曲線C:x2?y2m2=1(m>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過F2且與CA．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】結(jié)合雙曲線的定義來解決即可.【解答過程】雙曲線x2?y由雙曲線的定義，可得AF1?AF2=2a=2,B3．已知雙曲線x26?y23=1的焦點為F1，F(xiàn)2【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義以及焦點三角形中利用等面積法求解即可.【解答過程】

由題可得，a2=6,b設(shè)M(?3,yM)，則96?y根據(jù)雙曲線的定義可得，MF2?MF1=2a=26，解得在直角三角形MF1F2中，4．如圖，雙曲線C:x29?y216=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)

【解題思路】過點F2作PF1【解答過程】如圖，

由C:x29?y216∴??|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16，過點∴???|??AF題型5題型5雙曲線的標(biāo)準方程的求解1．設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，雙曲線的方程為（

）A．x29?C．x2100?【解題思路】根據(jù)題意列式求解a,b,c，即可得結(jié)果.【解答過程】∵雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為x2a2由題意可得c2=a2+2．已知雙曲線x2a2?yA．x24?y25=1 B．【解題思路】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，得到雙曲線的實半軸長，利用雙曲線的離心率得到c與b的值，從而得到雙曲線方程．【解答過程】拋物線y2=8x焦點（2，0），可得雙曲線的實半軸的長a=2，雙曲線x2a2?y2b3．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準方程：(1)c=6，焦點在x軸上，且過點A?5,2(2)b=4，一個焦點的坐標(biāo)是?8,0；(3)經(jīng)過兩點A?7,?62，【解題思路】（1）根據(jù)焦點位置及過點求出a,b得出標(biāo)準方程；（2）根據(jù)焦點及b，求出a即可得出標(biāo)準方程；（3）設(shè)雙曲線方程為mx【解答過程】（1）由于雙曲線的焦點在x軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準方程為x2因為雙曲線過點A?5,2，所以25a2?4b2因此，所求雙曲線的標(biāo)準方程為x2（2）由題意知，c=8,b=4，且焦點在x軸上，所以a2故所求雙曲線方程為：x（3）設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2則49m+72n=17m+9n=1，解得m=1n=?24．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準方程：(1)兩焦點坐標(biāo)為?5,0，5,0，且a=4；(2)兩焦點坐標(biāo)為0,?6，0,6，且經(jīng)過點2,?5；(3)焦點在y上，且經(jīng)過點3,?42和9【解題思路】（1）根據(jù)焦點及a求出b可寫出標(biāo)準方程；（2）根據(jù)焦點及雙曲線上的點利用定義求出a，再求b即可得解；（3）設(shè)出雙曲線方程，代入點求出a2，b【解答過程】（1）由題意，c=5,a=4，所以b2又焦點在x軸上，所以所求雙曲線方程為x2（2）由題意，焦點在y軸上，c=6，又經(jīng)過點2,?5，所以2a=|2所以a2=20，又b2（3）因為焦點在y上，所以設(shè)y2a2?x所以32a2?9b題型6題型6求雙曲線的離心率的值或取值范圍1．若雙曲線x2a2A．5 B．3 C．2 D．2【解題思路】利用點到直線距離公式求得焦點到漸近線的距離為b，由b=2a計算可得離心率為5.【解答過程】根據(jù)題意不妨取焦點F2c,0，漸近線方程為

可得焦點到漸近線的距離為bca2+b2=2．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2a2?y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，且與C的右支交于點Q，若A．2 B．3 C．2 D．3【解題思路】因為OQ//PF1，O是F1F2的中點，所以Q為PF2的中點．又QF2⊥OP，F(xiàn)2到漸近線y=ba【解答過程】根據(jù)對稱性不妨設(shè)P為第一象限的點，∵O為F1F2的中點，又OQ//PF1，∴Q為PF又F2（c，0）到y(tǒng)=bax的距離d=bca2+b2=b，∴|

連接QF1，所以QF1=QF2+2a=b2+2a，又|F1F2∴QF2的斜率為?ab，∴tan∠QF2F1=abc=4c2+b4?b23．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F，過F的直線(1)求雙曲線C的離心率e；(2)當(dāng)l傾斜角為π4時，線段MN垂直平分線交x軸于P，求MN【解題思路】（1）根據(jù)題意可得：2b2a（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得雙曲線C的方程為3x2?y2聯(lián)立方程組，利用韋達定理和中點坐標(biāo)公式可得MN的垂直平分線的方程為y+3a=?x+a，進而得到P的坐標(biāo)為?4a,0，計算可得PF=6a，【解答過程】（1）根據(jù)題意2b2a=6a．所以b2（2）由（1）知F2a,0，雙曲線C的方程為3x2?y聯(lián)立方程組3x2?y2=3a2x=y+2a則y1+y2=?6a，y1yMN的垂直平分線的方程為y+3a=?x+a，所以P的坐標(biāo)為?4a,0，所以PF又MN=1+14．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1、F(1)若雙曲線C的離心率為3，虛軸長為22，求雙曲線C(2)設(shè)a=1，b=3，若l的斜率存在，且F1A(3)設(shè)l的斜率為35，且OA+OB【解題思路】（1）由離心率公式和a,b,c的關(guān)系，即可得到結(jié)果；（2）求出右焦點的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達定理結(jié)合已知條件，即可求出直線的斜率．（3）設(shè)直線l的方程為y=k(x?c)，與雙曲線方程聯(lián)立，消元，運用韋達定理，結(jié)合由題意得出的OA?OB=0，即可得到a【解答過程】（1）解：由題意得2b=22,e=c故雙曲線C的焦點坐標(biāo)為(?3（2）解：雙曲線x2?y23=1，可得F2設(shè)直線l的方程為y=k(x?2)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程y=kx?2kx消去y得3?k由直線與雙曲線有兩個交點，則3?k2≠0且Δ可得x1+x又F1AF1A+即x1將k=y2?得4k2k2?3+4+12kk2（3）解：右焦點為F2(c,0)，設(shè)直線l的方程為y=k(x?c)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程y=k(x?c)x2a2?Δ=4c2則y1由OA+OB=整理得OA?OB=0，則x則a2b2因為l的斜率k=35，所以35則c2?a2=3a2題型7題型7利用拋物線的定義解題1．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，點M在拋物線C上，若M到直線x=?3的距離為7，則MFA．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為點M到準線x=?1的距離為5，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【解答過程】由拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0)

因為點M在C上，且M到直線x=?3的距離為7，可得M到直線x=?1的距離為7?2=5，即點M到準線的距離為5，根據(jù)拋物線的定義，可得點M2．已知拋物線C:x2=8y的焦點為F，C的準線與對稱軸交于D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且AB=2BD，若FB為∠DFAA．83 B．8 C．10 D．【解題思路】由題意可得F0,2，D0,?2，從而可求DF=4．過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為A1，【解答過程】F0,2，D0,?2，所以DF=4．過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為A1，因為FB為∠DFA的平分線．則ABBD=AFDF，又AB=2BD，∴AA3．已知點P到點F(2,0)的距離等于它到直線x=?2的距離，(1)求點P的軌跡方程;(2)若A(2,2)，求△PAF周長的最小值.【解題思路】（1）利用拋物線的定義得解；（2）根據(jù)拋物線的定義可將問題轉(zhuǎn)化成PA+【解答過程】（1）由題意知動點P到F(2,0)的距離與它到直線x=?2的距離相等，所以動點P的軌跡為以F(2,0)為焦點、以直線x=?2為準線的拋物線，因此動點P的軌跡方程為y2（2）由題意知，焦點為F2,0,FA=02+設(shè)點P在拋物線的準線上的射影為N′，根據(jù)拋物線的定義，可知P因此PA+PF的最小值即根據(jù)平面幾何的知識可得，當(dāng)N′，P，A三點共線時，即可A與拋物線交于M′,此時N，M所以△PAF周長的最小值為2+4=6.4．已知Ax0,y0y0(1)求E的標(biāo)準方程；(2)F是E的焦點，直線AF與E的另一交點為B，AF=5，求AF【解題思路】（1）將點(9,6)代入拋物線方程求解作答.（2）設(shè)出直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線定義結(jié)合韋達定理求出點B的橫坐標(biāo)作答.【解答過程】（1）依題意，拋物線E:y2=2px過點(9,6)，則6所以E的標(biāo)準方程為y2（2）由（1）知，拋物線E的焦點F(1,0)，準線方程為x=?1，

顯然直線AF不垂直于y軸且斜率不為0，設(shè)直線AF的方程為：x=ty+1，點A(x由x=ty+1y2=4x消去x并整理得：y2?4ty?4=0而AF=x1+1=5，解得x1=4，于是題型8題型8求拋物線的標(biāo)準方程1．已知拋物線的焦點在y軸上，且焦點到坐標(biāo)原點的距離為1，則拋物線的標(biāo)準方程為（

）A．x2=2y B．xC．x2=4y D．x【解題思路】利用拋物線的定義及標(biāo)準方程計算即可.【解答過程】由題意可知該拋物線的焦點坐標(biāo)為0,1或0,?1，所以其對應(yīng)標(biāo)準方程為為x22．設(shè)點F是拋物線y2=2pxp>0的焦點，l是該拋物線的準線，過拋物線上一點A作準線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準線l于點C，若AB=2，A．y2=x C．y2=4x 【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義及性質(zhì)，即可求解.【解答過程】解：由題意得：AB=2，BC=23，可得∠CAB=60°，由拋物線的定義得AB=AF所以△ABF是等邊三角形，所以p=123．已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點（1）求拋物線C的標(biāo)準方程；（2）若拋物線C上的點P滿足PF=6，求P【解題思路】（1）求出雙曲線E的右焦點坐標(biāo)，可求出p的值，即可得出拋物線C的標(biāo)準方程；（2）設(shè)點Px0,y0，由拋物線的定義求出x0的值，代入拋物線【解答過程】（1）由雙曲線方程x23?y2所以c2=a2+b2=4，解得c=2.則曲線因此，拋物線C的標(biāo)準方程為y2（2）設(shè)Px0,y0代入拋物線方程可得y02=8×4=32，解得y0=±42，所以4．如圖，AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦，M是AB的中點，l是拋物線的準線，MN⊥l,N為垂足，點N坐標(biāo)為(1)求拋物線的方程；(2)求△AOB的面積（O為坐標(biāo)系原點）.【解題思路】（1）由已知得準線l方程為：x=?2，由此可求得拋物線的方程；（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，代入拋物線的方程作差得y1【解答過程】（1）解：點N(?2,?3)在準線l上，所以準線l方程為：x=?2，則p2=2，解得p=4，所以拋物線的方程為：（2）解：設(shè)Ax1,y1所以y12=8又MN⊥l，所以點M縱坐標(biāo)為?3,M是AB的中點，所以y1所以?6y1?y2=8x1?x2聯(lián)立拋物線的方程y2=8x，得y2+6y?16=0，解得y=2或所以S△AOB題型9題型9判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線y=2x?1與橢圓x29+A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【解題思路】根據(jù)直線恒過0,?1，且0,?1在橢圓內(nèi)可直接得到結(jié)論.【解答過程】∵029∵y=2x?1恒過點0,?1，∴直線y=2x?1與橢圓x22．拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，AA．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【解題思路】求出直線AF的中垂線方程，代入y2=2px，可得【解答過程】設(shè)A?p2,a，F(xiàn)p2,0，則AF的中點坐標(biāo)為0,a2，kAF∴Δ=4a2?43．判斷下列直線與圓錐曲線的交點情況：(1)直線x?2y?1=0與拋物線y2(2)直線x2+y【解題思路】(1)聯(lián)立方程，根據(jù)判別式判斷即可；（2）聯(lián)立方程，根據(jù)判別式判斷即可.【解答過程】（1）解：聯(lián)立方程x?2y?1=0y2=4x因為Δ=64+16>0，所以方程y所以直線x?2y?1=0與拋物線y2（2）解：聯(lián)立方程x24+y2所以直線x2+y4．過點P7,5且與雙曲線【解題思路】若直線的斜率不存在，可得直線方程為x=7滿足條件；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為y?5=k【解答過程】若直線的斜率不存在，則直線方程為x=7，此時僅有一個交點7若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為y?5=kx?則y=kx+5?7k，代入到雙曲線方程，得所以25?7k當(dāng)k=5當(dāng)k=?577當(dāng)k≠±577化簡后知方程無解，所以不滿足條件.所以滿足條件的直線有兩條，直線方程分別為x=7和y=?題型10直線與圓錐曲線的實際應(yīng)用題型10直線與圓錐曲線的實際應(yīng)用1．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都經(jīng)過橢圓的另一焦點．電影放映機聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，燈絲（看成一個點）在橢圓的右焦點F2處，燈絲與反射鏡的頂點A的距離F2A=2cm，過焦點F2且垂直于軸的弦A．10cm B．8cm C．6cm【解題思路】利用右焦點到右頂點的距離及橢圓的通經(jīng)，結(jié)合橢圓中a,b,c三者的關(guān)系及焦距的定義即可求解.【解答過程】由題設(shè)知a?c=22b2a=6.4故選：C.2．北京冬奧會火種臺（圖1）以“承天載物”為設(shè)計理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器——尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高50cm，上口直徑為1003cm，底座直徑為25cm，最小直徑為20cm，則這種尊的軸截面的邊界所在雙曲線的離心率為（A．2 B．13C．74 D．【解題思路】建立雙曲線標(biāo)準方程下的直角坐標(biāo)系，得雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，利用實軸長為20，A(503【解答過程】建立雙曲線標(biāo)準方程的直角坐標(biāo)系，最小直徑在x軸，如圖，雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，則2a=20，a=10，A(由25009×100?y12b2=12524×100?y22b2=1，即3．如圖，一拋物線型拱橋的拱頂O離水面高4米，水面寬度AB=10米．現(xiàn)有一船只運送一堆由小貨箱碼成的長方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．(1)問船只能否順利通過該橋？(2)已知每增加一層貨箱，船體連貨物高度整體上升4cm；每減少一層貨箱，