高二上學期期末復習第四章十二大題型歸納（拔尖篇）題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項、通項公式題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項、通項公式1．已知數(shù)列an，滿足an?an?1=2，A．18 B．36 C．72 D．144【解題思路】利用累加法計算即可.【解答過程】由題意可知：a10故選：A.2．已知數(shù)列an的項滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【解題思路】由an+1=n【解答過程】由an+1=n所以a2a1=13，a3a2所以a2a1因為a1=1，所以an=2n(n+1)3．已知數(shù)列an中，a1=2，a(1)求a3，a(2)求an的前2023項和S【解題思路】（1）由遞推公式令n=1和n=3代入即可得出答案；（2）由遞推公式可證明數(shù)列an【解答過程】（1）當n=1時，a1a3=1，所以a3=1（2）當n=2時，a2a4由anan+2=1知an+2即a4n=a4=2，a所以S20234．已知數(shù)列an滿足a1=2(1)求數(shù)列an(2)設bn=nan2n，且數(shù)列bn的前【解題思路】（1）寫出當n≥2時的等式，再與原式兩式相除求解即可；（2）由（1）bn=n+12n，再根據(jù)錯位相減求解可得Sn=3?【解答過程】（1）a1當n≥2時，a1?a又a1=2符合上式，故（2）bn=n12錯位相減得：12即Sn=3?n+32n設f(n)=(n+1)(n+3)2n故f(n+1)?f(n)=(n+2)(n+4)2n+1由n∈N?可知，?n故?n2?2n+2≤?1?2+2=?1<0，故f(n+1)?f(n)<0故f(n)的最大值為f(1)=4，則λ≥4.題型2題型2數(shù)列的周期性的應用1．已知數(shù)列an滿足a1=3,an+1A．3 B．12 C．?13【解題思路】根據(jù)遞推形式求數(shù)列的前幾項，判斷數(shù)列是周期數(shù)列，再求值.【解答過程】a1=3，a2=12，a3又2023=4×505+3，所以a20232．已知數(shù)列an的前n項和為Sn,anA．1012 B．?1012 C．2023 D．?2023【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到a1【解答過程】因為數(shù)列an的前n項和為Sn，且則a1=cosπ=?1，a2所以a1+a依次類推，a5+a6=2，所以S=1011×2?4045=?2023.故選：D.3．數(shù)列an中，a1=3，a2=6【解題思路】利用遞推公式可驗證出數(shù)列an為周期為6的周期數(shù)列，從而可得a【解答過程】數(shù)列an中，a1=3，a令n=1，則a令n=2，則a令n=3，則a令n=4，則a令n=5，則a令n=6，則a∴數(shù)列an為周期為6的周期數(shù)列∴.a4．在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3【解題思路】根據(jù)遞推式依次計算出數(shù)列的前幾項，歸納出數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為6，用6項的和為0．由此易計算出和S2021【解答過程】由a1=1，a2=3，a3=2，an+2a7=1，a8=3，a9=2，a10且a1+a題型3題型3求數(shù)列的最大項、最小項1．若數(shù)列an的前n項積Tn=1?215A．?3 B．?1 C．2 D．3【解題思路】由題可得an【解答過程】∵數(shù)列an的前n項積Tn=1?215n，當n=1時，an=TnT∴當n≤8時，數(shù)列an單調(diào)遞減，且an<1，當n≥9時，數(shù)列an單調(diào)遞減，且a故an的最大值為a9=3，最小值為a2．關(guān)于“函數(shù)fx=2x?2A．函數(shù)fx無最大、最小值，數(shù)列aB．函數(shù)fx無最大、最小值，數(shù)列aC．函數(shù)fx有最大、最小值，數(shù)列aD．函數(shù)fx有最大、最小值，數(shù)列a【解題思路】依題意可得fx=1【解答過程】解：函數(shù)fx令gx=1+1122x?因為2x?152>?則1122x?15又y=1x在?∞,0，所以fx在?∞,log2152因為2<log215則a1=0>a2=?27所以數(shù)列an有最小項a2=?23．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，(1)求數(shù)列an的通項公式a(2)若數(shù)列bn滿足：bn=【解題思路】（1）根據(jù)an（2）求出b1=15，當n≥2時，計算出bn+1bn=1【解答過程】（1）Sn=2n+3當n≥2時，an=Sn（2）當n=1時，b1=12a1=當n=2時，b3b2=98>1，當n≥3故n≥2時，bn的最大項為b3=94，又b4．數(shù)列{an}，{bn}滿足(1)求證：{a(2)設a1=4，b1【解題思路】（1）將所給等式化簡可得2an+1=（2）由（1）可得an+1=12an+【解答過程】（1）∵an+1=12an∴bn+1=2a（2）由（1）anbn=a1b∵a1=4，∴當n≥2時，an+1?2=12a∵an>2，∴an+1?an<0題型4題型4等差數(shù)列的判定與證明1．“a3+a9=2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件與必要條件的證明即可得出答案.【解答過程】如果數(shù)列an是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項的擴展可得一定有a反之a(chǎn)3+a2．已知數(shù)列an滿足an+A．a(chǎn)n B．a(chǎn)2n?1 C．a(chǎn)2n【解題思路】根據(jù)已知條件進行轉(zhuǎn)化，從而求得正確答案.【解答過程】由an+a∴an+5?a故an+6?an+3=a3．設Sn為數(shù)列an的前n項和，Tn為數(shù)列Sn的前(1)求S1，S(2)求證：數(shù)列1S(3)求數(shù)列an【解題思路】（1）直接令1Tn=Sn（2）通過1Tn=Sn（3）當n≥2時，通過an=Sn?【解答過程】（1）由1Tn=Sn當n=1時，1T1=S1?1S1=（2）對于1Tn=Sn①÷②得Tn?1Tn=S又1S1?1=1，（3）由（2）得1Sn?1當n≥2時，an又n=1時，a1=S1=24．已知數(shù)列an中，a1=2(1)證明數(shù)列1an?1(2)若對任意n∈N?，都有a1【解題思路】（1）根據(jù)已知可推出1an+1?1?1（2）經(jīng)化簡可得，k≥n+122n.令bn=n+122【解答過程】（1）證明：由已知可得an≠1，1a又a1=2，所以1a所以1an?1=1+n?1（2）由（1）知，an所以a1a2則由a12?a2令bn=n+122n，假設數(shù)列當r≥2時則，有br≥br?1b解得2≤r≤2+1，所以2≤r≤2+1.因為r∈又b1=2，所以數(shù)列bn中第2項最大，即b所以由k≥n+122n對任意題型5題型5利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題1．數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3=3,1aA．52 B．5 C．9 【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求解【解答過程】因為數(shù)列an為等差數(shù)列，且a3=3因為1a1+1a5=62．已知等差數(shù)列an滿足a3+a6A．－3 B．3 C．－12 D．12【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若m+n=p+q則am【解答過程】由等差中項的性質(zhì)可得，a3+a∵a7+a113．在等差數(shù)列an(1)若a2+a(2)已知a1+2a【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am【解答過程】（1）在等差數(shù)列an中,∴a2+a∴a9?1（2）∵a1+2a8+4．已知在等差數(shù)列an中，a1+(1)求an(2)求數(shù)列12n+1an的前n【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)和通項公式可求得公差d，代入通項公式即可求得an（2）采用裂項相消法可求得Sn【解答過程】（1）設等差數(shù)列an的公差為d∵a1+a5∴a（2）由（1）得：12n+1∴Sn=題型6題型6求等差數(shù)列的前n項和及其最值1．等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1+aA．63 B．45 C．49 D．56【解題思路】先根據(jù)已知求出公差d，再利用求和公式得出結(jié)果.【解答過程】設公差為d，由a1+a3=10a5故選：A.2．等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，公差為d，前n項和為Sn，滿足a7A．d<0 B．a(chǎn)C．當n=5時Sn最小 D．Sn>0時【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得a1=?3d，進而根據(jù)遞增即可判斷AB,根據(jù)an【解答過程】由a7=3a由于an是遞增數(shù)列，所以d>0，aan=a故當n>4,n∈N?時，an=n?4當n<4,n∈N?時，an=n?4d<0，因此當n=3或n=4時Sn最小，故C錯誤，Sn=na1+3．已知等差數(shù)列an中，(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項和Sn【解題思路】（1）利用等差數(shù)列的通項公式列出關(guān)于a1（2）利用等差數(shù)列的前n項公式即可得解.【解答過程】（1）依題意，設數(shù)列an的首項是a1，公差是因為a3=2,a9=14所以數(shù)列an的通項公式a（2）因為a1=?2,d=2，所以Sn4．已知等差數(shù)列an，Sn是數(shù)列an的前n項和，且S(1)求數(shù)列an(2)求Sn的最大值，并求Sn取最大值時【解題思路】（1）由等差數(shù)列基本量的計算即可求解公差和首項，進而可求通項，（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【解答過程】（1）由題意，S（2）∵Sn=72題型7題型7等比數(shù)列的判定與證明1．在數(shù)列an中,a1=14,aA．a(chǎn)n2n+3是等比數(shù)列C．a(chǎn)n2n+3【解題思路】根據(jù)an+12n+1=a【解答過程】解:由題知an+12n+1=a所以an22．已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,Sn+1=①an+1是等差數(shù)列

②an+1是等比數(shù)列

③aA．①③ B．②③ C．①④ D．②④【解題思路】由數(shù)列的遞推式可得an+1=Sn+1?【解答過程】由Sn+1=Sn+2由S1=a則an+1=2n，即an又2nT則Tn?1=?12n+1?13．在數(shù)列an中，a1=1(1)證明an(2)若bn=log2an+1【解題思路】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即得；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式結(jié)合條件可得bn【解答過程】（1）由已知可得an+1∴an+1+1n+1=2an（2）由（1）可得an+1n=2所以Sn4．設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1(1)設bn=a(2)求數(shù)列an2n的前n【解題思路】（1）利用an與Sn間的關(guān)系，得到an+1（2）利用（1）中結(jié)果得到數(shù)列an2n【解答過程】（1）由a1=2及Sn+1=4an+2又Sn+1=4a∴an+1?2an=2故數(shù)列bn是首項b（2）由（1）知bn=an+1?2故數(shù)列an2nTn題型8題型8等比數(shù)列性質(zhì)的應用1．已知正項等比數(shù)列an的前n項積為Mn，且M2024=3M2019，若A．15 B．25 C．35【解題思路】根據(jù)題意可得a2020a2021【解答過程】∵M2024=3M∴a2020a2021a2022a2023∴b10232．在等比數(shù)列an中，如果a1+a2=16，A．40 B．36 C．54 D．81【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項公式進行求解.【解答過程】由等比數(shù)列性質(zhì)知，a1+a2，a3+a4，a53．已知等比數(shù)列an的公比q=2，且a1a【解題思路】根據(jù)下標和性質(zhì)得到a15?a【解答過程】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1所以a1?a∵公比q=2，又a3∴a題型9題型9求等比數(shù)列的前n項和及其最值1．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a3=2，A．數(shù)列an為等比數(shù)列 B．數(shù)列SC．S100=32【解題思路】由anan+1=2n，得an+1an+2【解答過程】由anan+1=2所以數(shù)列an的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以2為公比的等比數(shù)列，又a3=2，則a因為a3a2由a3=2，anan+1=2n，得a2=2，由AB選項可得，當n為奇數(shù)時，an=1×2n+12則a2024S==322．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若A．{an}為遞減數(shù)列 C．數(shù)列{Sn}有最小項 【解題思路】由已知?a1<a2<a1，分析等比數(shù)列的公比范圍，進而可以判斷{an}的單調(diào)性，判斷A，B【解答過程】設等比數(shù)列{an}的公比為q由?a1<a1可得a1>0，又a2<a1故等比數(shù)列{an}首項a1>0，公比q當?1<q<0時，等比數(shù)列{a當0<q<1時，an+1?a又Sn=所以當?1<q<0時，由于Sn+2則S1=a此時數(shù)列{Sn}的最小項為S當0<q<1時，有Sn+1則數(shù)列{Sn}3．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a4(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=2an?3【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前n項和為Sn求得首項a1與公差d即可得數(shù)列（2）由（1）得bn=2n，直接利用等比數(shù)列的前【解答過程】（1）設等差數(shù)列an的公差為d，則a1+3d=72a∴an（2）∵bn=2an?3，∴Tn4．已知數(shù)列an的前n項和為S(1)求數(shù)列an(2)設bn=n?1n+1an，求數(shù)列【解題思路】（1）利用an（2）由（1）可知bn=n22n?2n，設n22【解答過程】（1）當n=1時，a1=S1=2所以an=2an?1，又a1（2）由（1）可知bn設n22n的前n項和為P2P兩式相減得，?P?2P兩式相減得，Pn=2+22又因為2n的前n項和是Sn=題型10題型10等差、等比數(shù)列的綜合應用1．已知等差數(shù)列an的公差不為0，設bi=anii∈N?，若n2=2A．a(chǎn)81 B．a(chǎn)121 C．a(chǎn)122【解題思路】根據(jù)題意計算得到d=2a1，an【解答過程】根據(jù)題意知：b2=a2，b3=a故a1+4d2=a1+da81=161aa122=243a1=故選：C.2．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，公差d≠0，a1A．136 B．2 C．10?1 【解題思路】由a1,a2,a5【解答過程】∵a1,a2,∴Sn令t=n+1，令y=12(t+∵函數(shù)y在(0,10]遞減，在[10,+∞)遞增，∴當t=3時，y=136；當故選：A.3．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差d≠0，且S3+S5=50(1)求數(shù)列an(2)設bn①求數(shù)列bn的前n項和T②若不等式λTn?Sn【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，結(jié)合等比中項進行求解；（2）①先計算bn的通項公式，再用錯位相減法求解T

②代入Tn,Sn，得到λ≤2?n3n【解答過程】（1）依題意得3a1+∴an=（2）①bnanTn3T所以?2Tn=3+2?3+2?32∴T②由（1）易求得Sn=n(n+2)，所以不等式λT即轉(zhuǎn)化為λ≤2?n3n對一切n∈N?又fn+1當1≤n≤2時，fn+1?fn<0；所以f(1)>f(2)>f(3)，且f(3)<f(4)<?，則λ≤fn所以實數(shù)λ的最大值為?14．已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a(1)求an的通項公式和i=(2)已知bn是等比數(shù)列，對于任意正整數(shù)k，若2k?1≤n≤①當k≥2時，求證：2k②求bn的通項公式及其前n【解題思路】（1）由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得a1=3d=2（2）①利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，即可得證題中的不等式；②結(jié)合①的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進而求得數(shù)列得通項公式，最后由等比數(shù)列的前n項和公式計算即可.【解答過程】（1）由題意可知a2+a5=2a1i==2=2×（2）①由題意可知，當2k?1≤n≤2取n=2k?1，則bk當2k?2≤n≤2取取n=2k?1?1，此時a綜上可得：2②由①可知2k?1<b則數(shù)列bn的公比q滿足2當k∈N?，k→+∞時，2?32所以2k?1<b當k∈N?，k→+∞時，2?12k?1→2其前n項和為：Sn題型11題型11數(shù)列的求和1．已知函數(shù)fx滿足fx+f1?x=2(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足b1=23，bn=1an?an+1（n≥2【解題思路】（1）由fx（2）由（1）可得bn的通項公式，由數(shù)列的裂項相消求和可得S【解答過程】（1）因為f(x)+f(1?x)=2,由an則an所以①+②可得：故an=n+1，（2）由（1）知，an=n+1，則n≥2時，所以Sn=b1+又由Sn<λan+1對一切即有λ>1n+2?當n=1時,?1n+2?122+142．已知等差數(shù)列an滿足：a1=1，d=2，數(shù)列bn滿足b1(1)證明：數(shù)列bn(2)若數(shù)列cn滿足cn=an4n?1【解題思路】（1）依題意，對原式進行化簡，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可；（2）依題意，利用等差數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列an的通項，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，得出數(shù)列bn的通項，從而得到數(shù)列cn的通項，然后利用數(shù)列的錯位相減法求和，即可求出數(shù)列cn的前【解答過程】（1）證明：因為bn≠2，且所以3bn+2=4bn+1又因為b1=3，所以數(shù)列bn?2是以首項為（2）解：等差數(shù)列an滿足a1=1，d=2由（1）可知，bn?2=3因為Tn=c13①?②，得：23T=2?2n+1×13．已知數(shù)列an滿足a1=3(1)證明數(shù)列an?n是等比數(shù)列，并求出數(shù)列(2)設bn=1log2an?n，數(shù)列bnbn+1【解題思路】（1）變換得到an+1?n+1（2）計算bn=1n，根據(jù)裂項求和得到【解答過程】（1）an+1=2an?n+1，故a故an?n是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，an（2）bn=1Tn=1所以由Tn<m2?m+14．已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an(1)寫出b1，b(2)證明bn為等比數(shù)列，并求數(shù)列b(3)求數(shù)列an的前2n項和S【解題思路】（1）由數(shù)列an的前幾項，結(jié)合所選的條件寫出b1，（2）結(jié)合所選的條件和數(shù)列an的遞推，定義法證明bn為等比數(shù)列，利用首項和公比求數(shù)列（3）結(jié)合所選的條件和數(shù)列bn的通項公式，求出數(shù)列an的通項公式，使用并項求和法求前2n項和【解答過程】（1）數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an+1,n為奇數(shù)選擇①bn=a2n?1+2選擇②bn=a2n+1?（2）選擇①bn證明：∵a1=1，an+1=a∵bn∴bn是等比數(shù)列，首項b1=a1選擇②b證明：∵a1=1，an+1=a∵bn+1∴bn是等比數(shù)列，首項b1=3，公比q=2（3）選擇①bn由（2）可得bn=∴a2n+1=2令c∴S=3選擇②bn由（2）可得a2n+1a2n?1∴a2n?1=3?2n?1?2令cn∴S=32題型12題型12數(shù)學歸納法的應用1．用數(shù)學歸納法證明以下恒等式n∈N(1)?1+3?5+?+?1(2)n+1n+2【解題思路】（1）按照數(shù)學歸納法的步驟證明即可；（2）按