量子力學(xué)期末考試題庫（含答案）選擇題（每題3分，共30分）下列關(guān)于波函數(shù)的描述，正確的是（）波函數(shù)的物理意義是粒子在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的概率波函數(shù)必須滿足單值、連續(xù)、有限的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)的模的平方表示粒子在空間某點(diǎn)的概率密度不同粒子的波函數(shù)可以任意疊加一維無限深勢阱中，粒子的能量本征值為E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}（n=1,2,3\cdots），其中a為勢阱寬度。當(dāng)n=2時，粒子出現(xiàn)概率最大的位置是（）A.x=0和x=aB.x=\frac{a}{4}和x=\frac{3a}{4}C.x=\frac{a}{2}D.x=\frac{a}{3}和x=\frac{2a}{3}已知算符\hat{A}和\hat{B}的對易關(guān)系為[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar，則下列等式成立的是（）A.\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}B.\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=i\hbarC.\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}=i\hbarD.\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}+\hbar氫原子的基態(tài)能量E_1=-13.6\\text{eV}，則其n=3激發(fā)態(tài)的能量為（）A.-1.51\\text{eV}B.-3.4\\text{eV}C.-4.53\\text{eV}D.-13.6\\text{eV}下列關(guān)于自旋角動量的說法，錯誤的是（）電子的自旋角動量是內(nèi)稟角動量，與軌道角動量無關(guān)自旋角動量的大小為\sqrt{s(s+1)}\hbar，其中s=\frac{1}{2}自旋角動量在任意方向的投影只能取\pm\frac{\hbar}{2}自旋角動量的分量算符滿足[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=0定態(tài)薛定諤方程的形式為（）A.i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partialt}=\hat{H}\PsiB.\hat{H}\Psi=E\PsiC.\frac{\partial^2\Psi}{\partialx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\Psi=0D.\Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}若兩個力學(xué)量對應(yīng)的算符對易，則這兩個力學(xué)量（）一定存在共同的本征函數(shù)系B.不可能同時具有確定值測量結(jié)果一定完全相同D.對應(yīng)的本征值一定相等一維自由粒子的波函數(shù)為\Psi(x,t)=Ae^{i(px-Et)/\hbar}，其中p為動量，E為能量。該波函數(shù)描述的是（）A.束縛態(tài)B.定態(tài)C.非定態(tài)D.歸一化波函數(shù)下列現(xiàn)象中，不能用經(jīng)典力學(xué)解釋，需用量子力學(xué)解釋的是（）A.行星繞太陽的軌道運(yùn)動B.自由落體運(yùn)動C.光電效應(yīng)D.單擺的簡諧運(yùn)動已知粒子的波函數(shù)為\psi(x)=\begin{cases}A\sin(\frac{\pix}{a}),&0\leqx\leqa\\0,&\text{其他}\end{cases}，則歸一化常數(shù)A的值為（）A.\sqrt{\frac{2}{a}}B.\sqrt{\frac{1}{a}}C.\frac{2}{a}D.\frac{1}{a}填空題（每空2分，共20分）德布羅意關(guān)系指出，微觀粒子的波長\lambda與動量p的關(guān)系為\lambda=\frac{\hbar}{p}，能量E與頻率\nu的關(guān)系為E=__________。算符\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partialx}是__________力學(xué)量對應(yīng)的算符，其本征方程為\hat{p}_x\psi=p_x\psi，本征函數(shù)為\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ip_xx/\hbar}。氫原子的能級由主量子數(shù)n、角量子數(shù)l和磁量子數(shù)m_l共同決定，但能量主要由__________決定，其表達(dá)式為E_n=-\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2n^2}。粒子在一維勢場V(x)中運(yùn)動，若勢場不隨時間變化，則粒子的能量E為守恒量，此時波函數(shù)可表示為空間部分與時間部分的乘積，即\Psi(x,t)=__________，這種狀態(tài)稱為定態(tài)。自旋角動量的x分量算符\hat{S}_x=\frac{\hbar}{2}\sigma_x，其中\(zhòng)sigma_x為泡利矩陣，\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，則\hat{S}_x的本征值為__________。量子力學(xué)中，力學(xué)量的平均值公式為\langleA\rangle=\int\Psi^*\hat{A}\Psid\tau，若\Psi是\hat{A}的本征函數(shù)，且本征值為a，則\langleA\rangle=__________。一維無限深勢阱（0\leqx\leqa）中，粒子的基態(tài)（n=1）波函數(shù)為\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{\pix}{a})，則粒子在x=\frac{a}{2}處的概率密度為__________。對易關(guān)系[\hat{x},\hat{p}_x]=__________，這是量子力學(xué)中的基本對易關(guān)系，體現(xiàn)了坐標(biāo)和動量的不確定性關(guān)系。若粒子的波函數(shù)滿足\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=1，則稱該波函數(shù)是__________的，其物理意義是粒子在整個空間出現(xiàn)的總概率為1。隧道效應(yīng)是指粒子能夠穿越其能量小于勢壘高度的勢壘的現(xiàn)象，這是__________力學(xué)特有的現(xiàn)象，經(jīng)典力學(xué)中粒子無法穿越此類勢壘。計(jì)算題（每題10分，共40分）1.一維無限深勢阱中，粒子的勢場為V(x)=\begin{cases}0,&0\leqx\leqa\\\infty,&x<0\text{或}x>a\end{cases}，已知粒子處于n=2的定態(tài)，求：粒子的能量本征值；粒子的波函數(shù)；粒子在0\leqx\leq\frac{a}{2}區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率。2.已知?dú)湓犹幱诨鶓B(tài)\psi_{100}(r,\theta,\phi)=\frac{1}{\sqrt{\pia_0^3}}e^{-r/a_0}，其中a_0為玻爾半徑，求電子到原子核的平均距離\langler\rangle。3.一維線性諧振子的哈密頓算符為\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2，其能量本征值為E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega（n=0,1,2\cdots），基態(tài)波函數(shù)為\psi_0(x)=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}}}e^{-\alpha^2x^2/2}（\alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}）。求：（1）基態(tài)能量E_0；（2）基態(tài)下位置x的平均值\langlex\rangle。4.已知粒子的波函數(shù)為\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar}+\psi_2(x)e^{-iE_2t/\hbar}]，其中\(zhòng)psi_1(x)和\psi_2(x)是哈密頓算符\hat{H}的兩個歸一化本征函數(shù)，對應(yīng)的本征值分別為E_1和E_2（E_1\neqE_2）。求：（1）粒子的能量平均值\langleE\rangle；（2）粒子的概率密度|\Psi(x,t)|^2，并判斷該狀態(tài)是否為定態(tài)。證明題（10分）證明：坐標(biāo)算符\hat{x}和動量算符\hat{p}_x的對易關(guān)系為[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar。參考答案選擇題1.C解析：波函數(shù)本身無直接物理意義，其模的平方表示概率密度（A錯，C對）；波函數(shù)需滿足單值、連續(xù)、有限且歸一化（B錯）；相同粒子的波函數(shù)疊加需考慮統(tǒng)計(jì)對稱性，不同粒子疊加無意義（D錯）。2.B解析：n=2時，波函數(shù)\psi_2(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{2\pix}{a})，概率密度|\psi_2(x)|^2=\frac{2}{a}\sin^2(\frac{2\pix}{a})，令導(dǎo)數(shù)為零得極值點(diǎn)x=\frac{a}{4},\frac{a}{2},\frac{3a}{4}，代入計(jì)算得x=\frac{a}{4}和x=\frac{3a}{4}時概率密度最大。3.B解析：對易關(guān)系定義為[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}，已知[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar，故B正確。4.A解析：氫原子能級E_n=\frac{E_1}{n^2}，n=3時，E_3=\frac{-13.6}{9}\approx-1.51\\text{eV}。5.D解析：自旋角動量分量算符滿足[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=i\hbar\hat{S}_z\neq0（D錯），其余選項(xiàng)均正確。6.B解析：A為含時薛定諤方程，B為定態(tài)薛定諤方程，C為一維定態(tài)薛定諤方程的具體形式（非普遍形式），D為定態(tài)波函數(shù)的表達(dá)式（非方程），故B正確。7.A解析：對易算符存在共同本征函數(shù)系，可同時具有確定值（A對，B錯）；測量結(jié)果由本征值決定，不一定相同（C錯）；本征值由算符本身決定，與對易性無關(guān)（D錯）。8.B解析：該波函數(shù)滿足\Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}，能量E為定值，故為定態(tài)（B對，C錯）；自由粒子波函數(shù)無法歸一化，是非束縛態(tài)（A、D錯）。9.C解析：光電效應(yīng)需用量子化能量解釋，其余現(xiàn)象可由經(jīng)典力學(xué)解釋。10.A解析：由歸一化條件\int_{0}^{a}|\psi(x)|^2dx=1，即\int_{0}^{a}A^2\sin^2(\frac{\pix}{a})dx=1，計(jì)算得A^2\cdot\frac{a}{2}=1，故A=\sqrt{\frac{2}{a}}。填空題1.h\nu（或\hbar\omega，\omega=2\pi\nu）2.動量（x分量）3.主量子數(shù)n4.\psi(x)e^{-iEt/\hbar}5.\pm\frac{\hbar}{2}解析：\hat{S}_x的本征方程為\frac{\hbar}{2}\sigma_x\chi=s_x\chi，求解得本征值s_x=\pm\frac{\hbar}{2}。6.a解析：\langleA\rangle=\int\psi^*\hat{A}\psid\tau=\int\psi^*a\psid\tau=a\int|\psi|^2d\tau=a（歸一化條件）。7.\frac{2}{a}解析：|\psi_1(\frac{a}{2})|^2=\frac{2}{a}\sin^2(\frac{\pi\cdot\frac{a}{2}}{a})=\frac{2}{a}\sin^2(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{a}。8.i\hbar9.歸一化10.量子計(jì)算題解：能量本征值E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}，n=2時，E_2=\frac{4\pi^2\hbar^2}{2ma^2}=\frac{2\pi^2\hbar^2}{ma^2}。波函數(shù)\psi_2(x)=\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{2\pix}{a}),&0\leqx\leqa\\0,&\text{其他}\end{cases}。概率P=\int_{0}^{\frac{a}{2}}|\psi_2(x)|^2dx=\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{2}{a}\sin^2(\frac{2\pix}{a})dx，令u=\frac{2\pix}{a}，dx=\frac{a}{2\pi}du，積分得P=\frac{1}{2}。解：平均距離\langler\rangle=\int|\psi_{100}|^2rd\tau，球坐標(biāo)下d\tau=r^2\sin\thetadrd\thetad\phi，代入波函數(shù)得：\langler\rangle=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\int_