答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁云南省臨滄市部分學校2025-2026學年高二上學期開學考試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復數(shù)在復平面上對應的點為，則（

）A． B．C． D．是純虛數(shù)2．設(shè)集合，集合，則（

）A． B．C． D．3．經(jīng)過簡單隨機抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為，，…，，且數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，則下列說法正確的是（

）A．若，則所有的數(shù)據(jù)都為0B．若，則的平均數(shù)為6C．若，則的方差為12D．若該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為90，則可以估計總體中至少有75%的數(shù)據(jù)不大于904．的值為A．4 B．8 C．16 D．325．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是A． B． C． D．6．我國的5G通信技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一是著名的香農(nóng)（Shannon）公式，香農(nóng)提出并嚴格證明了“在被高斯白噪聲干擾的信道中，計算最大信息傳送速率的公式，其中是信道帶寬（赫茲），是信道內(nèi)所傳信號的平均功率（瓦），是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（瓦），其中叫做信噪比．根據(jù)此公式，在不改變的前提下，將信噪比從99提升至，使得大約增加了60%，則的值大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．1559 B．3943 C．1579 D．25127．某圓臺的上、下底面半徑分別為、，且，圓臺的體積為，若一個球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，則該球的體積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是定義在或上的偶函數(shù),且時,.若函數(shù),則滿足不等式的實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題9．下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實數(shù)使得C．兩個非零向量，若，則與共線且反向D．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是10．已知，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．如圖，三棱錐平面，，為的中點，點為三棱錐外接球球心，則（

）A．當時，B．當時，二面角大小為C．當異面直線與所成角為時，D．當點到平面的距離為時，三、填空題12．已知復數(shù)，滿足，且，則．13．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，，且．若，則的面積為．14．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，給出下列判斷：；在上是增函數(shù)；的圖象關(guān)與直線對稱；函數(shù)在處取得最小值；函數(shù)沒有最大值，其中判斷正確的序號是．四、解答題15．O是平面直角坐標系的原點，，，記，.(1)求在上的投影向量坐標；(2)若四邊形為平行四邊形，求點C的坐標；(3)若向量，滿足條件：與互補，求.16．已知函數(shù)，且.（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求的值.17．在一次區(qū)域的統(tǒng)考中，為了了解學生數(shù)學學科成績的情況，從所有考生的成績中隨機抽取了40位考生的成績進行統(tǒng)計分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這40名學生的數(shù)學成績的平均數(shù)與上四分位數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果保留1位小數(shù)）；(2)為了進一步了解70分以下的學生的數(shù)學學習情況，調(diào)查方從成績在分數(shù)段的同學中按組（各算一組從樣本中分層抽取了6個人進行深入地學習交流，學習交流完后再從這6個人中隨機抽取2個人進行再測試，求這兩個人中至少有一個人在之前的統(tǒng)考中成績位于的概率；(3)已知落在的平均成績，方差，落在的平均成績，方差，求落在的平均成績，并估計落在的成績的方差．18．如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，．平面，點為棱上的點，點為棱上的點，點為棱上的點．(1)若、分別為棱，的中點，證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)若，當取何值時，三棱錐體積取得最大．19．已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，（a為常數(shù)).（1）當x<0時，求的解析式：(2)設(shè)函數(shù)在[0，5]上的最大值為,求的表達式；(3)對于（2)中的，試求滿足的所有實數(shù)m的取值集合.《云南省臨滄市部分學校2025-2026學年高二上學期開學考試數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案DBCCCCBDABDACD題號11答案ACD1．D【分析】根據(jù)題意，求出復數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)和共軛復數(shù)概念，復數(shù)的模長公式逐項判斷即可.【詳解】復數(shù)在復平面上對應的點為，A選項，由復數(shù)的幾何意義可知，，A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，，C錯誤；D選項，，則是純虛數(shù)，D正確.故選：D.2．B【分析】化簡集合，根據(jù)集合的交集、并集、補集求解.【詳解】因為，所以，，，因為，所以，故選：B3．C【分析】由平均數(shù)的方差的性質(zhì)可判斷A，B，C；由百分位數(shù)的定義可判斷D.【詳解】對于A，數(shù)據(jù)，，…，的方差時，說明所有的數(shù)據(jù)，，…，都相等，但不一定為0，故選項A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故選項B錯誤；對于C，數(shù)據(jù)，，…，的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，故選項C正確；對于D，數(shù)據(jù)，，…，的25%分位數(shù)為90，則可以估計總體中有至少有75%的數(shù)據(jù)大于或等于90，故選項D錯誤.故選：C.4．C【分析】由條件利用三角恒等變換化簡，對降次，結(jié)合二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡可得結(jié)果．【詳解】：，故選C.【點睛】本題主要考查了三角恒等變換、兩角差的正弦公式及二倍角公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．C【詳解】試題分析：開機密碼的可能有，，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是，故選C．【考點】古典概型【解題反思】對古典概型必須明確兩點：①對于每個隨機試驗來說，試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時滿足①、②的條件下，運用的古典概型計算公式（其中n是基本事件的總數(shù)，m是事件A包含的基本事件的個數(shù)）得出的結(jié)果才是正確的．6．C【解析】由題意可得的方程，再由對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可．【詳解】由題意得：，則，，故選：C7．B【分析】結(jié)合圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)圓臺的軸截面圖，利用勾股定理用表示圓臺的高，再利用圓臺體積建立的方程，解出再求出球的半徑即可得球的體積.【詳解】如圖，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，因為球與圓臺的上，下底面及側(cè)面均相切，則圓臺內(nèi)切球的球心O在的中點處，設(shè)球O與母線切于M點，所以，且，，則，同理，所以，過A作，垂足為G，則，所以，，即圓臺的高為，該圓臺的體積為，解得，則球的直徑，半徑為，則球的體積為.故選：B.8．D【解析】根據(jù)題意可得關(guān)于對稱,且當時,為增函數(shù),由可得,利用函數(shù)的對稱性只需即可求解.【詳解】當時,，即函數(shù)在為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，令，令，所以，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知在為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，由題可知函數(shù)關(guān)于對稱,且當時,為增函數(shù),而由不等式可得,,從而﹐得實數(shù)a的取值范圍是.故選：D【點睛】本題考查了函數(shù)的對稱性的應用以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.9．ABD【分析】根據(jù)向量的概念依次判斷即可.【詳解】A.取，盡管，但不一定成立，故A錯誤；B.若，對于非零向量，當時，則不存在任意實數(shù)使得，故B錯誤；C.由，兩邊平方可得，從而，則與共線且反向，故C正確；D.當與的夾角為銳角，則，即，則，解得，但當時，與的夾角為零角，不滿足題意，所以的取值范圍是，故D錯誤；故選：ABD.【點睛】本題主要考查向量共線的問題，屬于簡單題.10．ACD【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式轉(zhuǎn)化變形，然后對選項逐一判斷，即可證明.【詳解】對于A，由，利用基本不等式，可得，解得，又（當且僅當時，等號成立），而，所以，所以，故A正確；對于B，由，利用基本不等式，由得，則（當且僅當時，等號成立），解得，即，故B錯誤；對于C，，又，即，由B選項知，所以，故C正確；對于D，由配方得，則，，可解得，又因題設(shè)中，所以，故D正確，故選：ACD.11．ACD【分析】對于A，通過計算即可證，對于B，根據(jù)題意可得，就是二面角的平面角，計算即可得到二面角，對于C，設(shè)，作出異面直線夾角，再利用余弦定理結(jié)合條件列方程可得；對于D，根據(jù)錐體外接球球心的作法，可作球心，且即可判斷.【詳解】對于A，連接，平面，平面，，即，又，所以，則，為的中點，所以，故A正確；對于B，設(shè)中點為，連接，平面，平面，，又，，，又為中點，所以，又，所以，，平面平面，就是二面角的平面角，，即二面角的為，故B錯誤；對于C，設(shè)中點為，連接，，設(shè)時，，中，，，，，解得，即，故C正確；對于D，設(shè)的外心為，過作平面的垂線，球心在垂線上，又平面，所以，又，所以在的垂直平分線上，則，故D正確；故選：ACD.12．【分析】設(shè)，，根據(jù)和可構(gòu)造方程組求得，由此可計算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，；，，又，，解得：或，或，.故答案為：.13．/【分析】根據(jù)向量垂直的坐標關(guān)系，結(jié)合正弦定理邊角互化可得，進而根據(jù)余弦定理求解，即可由面積公式求解.【詳解】由可得,由正弦定理可得,即，則，由于，故，由于,則，由余弦定理可得，故，則，故三角形的面積為,故答案為：14．①④【分析】由可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，結(jié)合偶函數(shù)可得是周期函數(shù)，再逐一分析各個命題判斷作答.【詳解】由恒成立知，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，又是偶函數(shù)，由得，則有，即，因此，是周期為4的周期函數(shù)，對于①，在中，當時，，則，①正確；對于②，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，而的圖象關(guān)于點對稱，所以在上是減函數(shù)，②不正確；對于③，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，③不正確；對于④，由①②的信息知，在上單調(diào)遞減，由是偶函數(shù)知，在上單調(diào)遞增，由周期是4知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得最小值，④正確；對于⑤，由④的信息知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值，⑤不正確.故答案為：①④【點睛】方法點睛：函數(shù)的定義域為，，存在常數(shù)，使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.15．(1)(2)(3)【分析】（1）首先求出，，即可求出，再根據(jù)求出在上的投影向量；（2）設(shè)點，依題意可得，根據(jù)向量相等的充要條件得到方程組，解得即可；（3）首先求出，依題意可得，即可得到方程，從而求出；【詳解】（1）解：因為，，所以，，所以，，，所以在上的投影向量為；（2）解：設(shè)點，為平行四邊形，則有，，，所以，解得，故.（3）解：因為，又與互補，所以，即，推得，解得或，顯然時，不符合題意，故.16．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為；(2).【分析】（1）根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，然后可求出它的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）結(jié)合條件求出，然后由可得結(jié)果．【詳解】（1）．∵，∴，∴的最大值為1，最小值為．又，且，∴函數(shù)的最小正周期為，∴，∴．由，得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）得，∴．∵，∴，∴．∵且，∴，∴．∴．【點睛】（1）解答有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題時，首項把函數(shù)解析式化為的形式，然后再結(jié)合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解，解題時注意系數(shù)對結(jié)果的影響．（2）對于三角變換中的“給值求值”問題，在求解過程中注意角的變換，通過角的“拆”、“拼”等手段轉(zhuǎn)化為能應用條件中所給角的形式，然后再利用整體思想求解．17．(1)平均數(shù)約為75分，上四分位數(shù)約為83.3分；(2)．(3)平均數(shù)為88；方差為10【分析】（1）借助平均數(shù)與上四分位數(shù)定義計算即可得；（2）結(jié)合分層抽樣定義可得抽取6人中成績在及的人數(shù)，再借助列舉法計算即可得；（3）借助分層抽樣的平均數(shù)與方差公式計算即可得.【詳解】（1）設(shè)平均數(shù)為，上四分位數(shù)為；則，上四分位數(shù)滿足方程，．這40名學生的數(shù)學成績的平均數(shù)約為75分，上四分位數(shù)約為83.3分；（2）由頻率分布直方圖可知，分數(shù)在的人數(shù)有4人，分數(shù)在的人數(shù)有8人，分層抽樣的抽樣比為，分數(shù)在的學生中抽取2人，分數(shù)在的學生中抽取4人，將抽取的這6個人編號：1，2，3，4，5，6，其中1，2是成績在的兩個學生，則這兩個人的所有可能情況有：、、、、、、、、、、、、、、，共15種可能；其中至少有一個人在之前的統(tǒng)考中成績位于的情況有：、、、、、、、、，共9種可能；這兩個人中至少有一個人在之前的統(tǒng)考中成績位于的概率為；（3）在內(nèi)有人，在內(nèi)有人，在內(nèi)的平均成績，估計在內(nèi)數(shù)據(jù)的原始成績的方差為：.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取的中點，連接，利用線面平行的判定定理證明平面，平面，進而利用面面平行的判定定理證明平面平面，最后利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行.（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法求解線面角的正弦值.（3）法一：設(shè)點到平面的距離為，三棱錐體積為，利用向量法求得點到平面距離，即得點到平面距離，利用等面積法求得點到棱的距離，進而求出的面積及，利用導數(shù)法求得其最大值；法二：由等積法可知，設(shè)，利用導數(shù)法求得其最大值．【詳解】（1）取的中點，連接，因為、分別為棱，的中點，所以，因為平面平面，所以平面，同理平面，因為平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面.（2）由題意中平面得兩兩垂直，以為正交基底建立空間直角坐標系，則因為，所以，所以．設(shè)平面的一個法向量，則，不妨設(shè)，則，即：，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）法一：設(shè)點到平面（也即平面）的距離為，三棱錐體積為，則，由（2）可知平面的一個法向量，點到平面距離，因為，所以點到平面距離．，所以，即為直角三角形，所以，所以點到棱的距離為，又因為，所以，且點到邊的距離為，所