2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學在氣象觀測中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題4分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.氣象觀測中，溫度的逐時變化通常被看作一個連續(xù)函數(shù)T(t)。若某地溫度T(t)在一天內(nèi)達到最大值和最小值各一次，根據(jù)羅爾定理，至少存在一個時刻t?使得（）。(A)T'(t?)=0(B)T''(t?)=0(C)T(t?)=0(D)T'(t?)>02.在大氣邊界層研究中，風速剖面常近似為對數(shù)律：u(z)=u?*ln(z/z?)，其中u(z)是高度z處的風速，u?是摩擦速度，z?是粗糙度長度。要計算高度從z?到z?的平均風速，下列哪個表達式是正確的？（假設z?>z?>0）(A)∫[z?toz?]u?*ln(z/z?)dz(B)(u?/ln(z?))*[z?*ln(z?)-z?*ln(z?)](C)(u?/ln(z?))*[z?-z?](D)(u?/2)*[ln(z?/z?)]3.氣象衛(wèi)星云圖上，某區(qū)域云頂亮溫分布呈現(xiàn)明顯的空間周期性，使用傅里葉變換分析時，其頻譜圖上會表現(xiàn)出（）。(A)單一尖銳峰值(B)多個成對的對稱峰(C)連續(xù)平滑曲線(D)隨機噪聲分布4.對一系列氣象要素的觀測數(shù)據(jù){x?,x?,...,xn}進行線性回歸分析，目的是找到最能代表數(shù)據(jù)線性關系的直線y=a+bx。下列哪個統(tǒng)計量常用于衡量回歸直線對數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度？（）(A)回歸系數(shù)b(B)截距a(C)決定系數(shù)R2(D)標準誤差σ5.某氣象模式使用了有限差分方法離散化控制方程。為了提高數(shù)值解的穩(wěn)定性，對于時間步長Δt的選擇，通常需要滿足（）條件（以一維波動方程為例）。(A)Δt≤Δx2(B)Δt≤2Δx2(C)Δt≤Δx(D)Δt≤1/2Δx二、填空題（每小題5分，共25分。請將答案填在題中的橫線上。）6.在進行氣象場診斷分析時，若要考察某物理量（如溫度）在水平空間上的梯度，通常需要計算該量的______和______。7.根據(jù)概率論中的大數(shù)定律，當氣象要素的樣本容量N足夠大時，樣本的______（如樣本均值）幾乎肯定收斂于其相應的______（如總體均值）。8.設大氣溫度T僅隨高度z變化，滿足T(z)=T?-Lz，其中T?是地面溫度，L是______。若空氣塊從z?升到z?，其絕熱冷卻（或增溫）量ΔT可用______公式計算。9.在使用最小二乘法擬合氣象數(shù)據(jù)時，最優(yōu)擬合直線（y=a+bx）的斜率b可通過公式b=[nΣ(xi*xj)-ΣxiΣxj]/[nΣ(xi*xj)-(Σxi)2]來計算，其中xj代表______，yj代表______。10.氣象觀測中常見的誤差類型包括系統(tǒng)誤差、隨機誤差和______誤差。三、計算題（每小題10分，共40分。請寫出詳細的計算過程。）11.已知大氣靜力穩(wěn)定度由干絕熱遞減率γd、環(huán)境垂直溫度遞減率Γ和濕絕熱遞減率γw決定。若γd=9.8J/(kg·K)，Γ=6.5K/km，γw≈6K/km。判斷在標準大氣條件下（Γ=6.5K/km），當溫度隨高度增加（Γ>γd）時，大氣的靜力穩(wěn)定度狀態(tài)。12.某氣象站連續(xù)五天的觀測記錄顯示，某要素X的值分別為：8,12,7,10,9。計算該五天觀測值的樣本均值、樣本方差和樣本標準差。13.在一個簡單的二維氣象模型中，風速矢量的分量u和v滿足如下初值問題：du/dt=-αux-βvydv/dt=-αvy+βux（其中α,β為常數(shù)）。若初始時刻t=0時，u=u?,v=0。求時間t后風速分量u和v的表達式。14.對某氣象要素x的n次觀測數(shù)據(jù)，計算其平均值μ和標準差σ。已知數(shù)據(jù)點x?與平均值μ的偏差平方和S=Σ(x?-μ)2=50，樣本容量n=10。請計算該組數(shù)據(jù)的決定系數(shù)R2（假設我們正在構建一個理想化的線性模型來擬合這組數(shù)據(jù)，且模型完全擬合，即殘差平方和RSS=0）。四、綜合應用題（每小題15分，共30分。請結合所學知識進行分析和解答。）15.解釋為什么在數(shù)值天氣預報（NWP）中，盡管大氣系統(tǒng)本身是連續(xù)的，但我們必須使用離散網(wǎng)格和有限時間步長來求解控制方程？簡述離散化過程可能帶來的主要誤差來源（至少列舉三種）。16.假設你獲得了一組描述某區(qū)域地面氣壓隨時間變化的觀測數(shù)據(jù){P?,P?,...,P?}（單位：hPa），其中P?是初始時刻的氣壓。使用有限差分法近似計算P在時刻t+1的值（假設時間步長為Δt，空間尺度為Δx，且忽略更高級的差分項）。請寫出差分格式，并說明該格式的一階和二階空間精度（如果可能）。試卷答案一、選擇題1.(A)2.(B)3.(B)4.(C)5.(A)二、填空題6.水平梯度；水平散度7.均值；期望值8.大氣訂正數(shù)（或稱lapserate）；絕熱過程9.自變量（或觀測點坐標）；因變量（或觀測值）10.系統(tǒng)性三、計算題11.解析思路：判斷靜力穩(wěn)定度需比較環(huán)境溫度遞減率Γ與絕熱遞減率。題目給定Γ>γd，說明環(huán)境大氣比干空氣更不穩(wěn)定，即給定條件下大氣傾向于垂直運動。又因γw<γd，濕空氣比干空氣更穩(wěn)定。綜合判斷，此條件通常對應于大氣的條件不穩(wěn)定狀態(tài)。答案：不穩(wěn)定（或條件不穩(wěn)定）12.解析思路：依次計算樣本均值（所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個數(shù)），樣本方差（各數(shù)據(jù)點與均值差的平方和除以n-1），樣本標準差（樣本方差的平方根）。答案：樣本均值μ=(8+12+7+10+9)/5=9.2；樣本方差s2=[(8-9.2)2+(12-9.2)2+(7-9.2)2+(10-9.2)2+(9-9.2)2]/(5-1)=[(-1.2)2+(2.8)2+(-2.2)2+(0.8)2+(-0.2)2]/4=(1.44+7.84+4.84+0.64+0.04)/4=14.8/4=3.7；樣本標準差s=√3.7≈1.92。13.解析思路：這是一個線性常系數(shù)齊次微分方程組?？杉僭O解為u=e^(λt),v=e^(λt)。代入方程組，得到特征方程：-αλ-βλx=0-αλy+βλx=0消去x,y，得到λ2+αβ=0，解得復數(shù)特征根λ=±i√(αβ)。因此，通解形式為：u=Acos(√(αβ)t)+Bsin(√(αβ)t)v=-Bcos(√(αβ)t)+Asin(√(αβ)t)利用初始條件t=0,u=u?,v=0，確定常數(shù)A和B：u(0)=A=u?v(0)=-B=0=>B=0所以，解為u=u?cos(√(αβ)t),v=u?sin(√(αβ)t)。答案：u=u?cos(√(αβ)t),v=u?sin(√(αβ)t)14.解析思路：決定系數(shù)R2定義為回歸平方和SSTR與總平方和SST的比值，即R2=SSTR/SST。SST=Σ(x?-μ)2=S=50。對于完全擬合的理想線性模型，殘差平方和RSS=0。根據(jù)關系SSTR=SST-RSS，此時SSTR=50-0=50。因此R2=50/50=1。答案：1四、綜合應用題15.解析思路：NWP模型基于連續(xù)的流體力學和熱力學方程，但計算機無法直接處理連續(xù)域。必須將連續(xù)空間（x,y,z）離散化為網(wǎng)格點，將連續(xù)時間（t）離散化為時間步。這種離散化是必要的計算前提。差分化是離散化的一種主要方法，將偏微分方程近似為有限差分方程。離散化過程會引入誤差，主要來源包括：1)空間離散化引入的離散誤差（如有限差分格式對連續(xù)導數(shù)的近似精度限制）；2)時間離散化引入的時間步長限制（如CFL條件限制）和誤差；3)數(shù)值格式本身可能引入的虛假粘性或耗散（影響波形捕捉）。答案：必要性：計算機處理離散數(shù)據(jù)，需將連續(xù)控制方程離散化。離散化方法：將空間域離散為網(wǎng)格，時間域離散為時間步。主要誤差來源：1)空間離散誤差（有限差分近似導數(shù)引入）；2)時間離散誤差（時間步長限制）；3)數(shù)值格式耗散/散焦效應。16.解析思路：使用最簡單的向前差分法對時間導數(shù)?P/?t進行近似，即?P/?t≈(P(t+Δt)-P(t))/Δt。代入微分方程（假設為簡單的氣壓擾動傳播方程，如?P/?t=-c2?2P，其中c是傳播速度，這里為簡化考慮其影響體現(xiàn)在差分格式選擇上，但題目未明確給出方程，僅要求差分格式本身），得到：(P(t+Δt)-P(t))/Δt≈-c2(?2P)≈-c2(?2P/?x2+?2P/?y2)（若為一維問題，則為?2P/?x2）P(t+Δt)≈P(t)-(c2Δt/Δx2)*(?2P/?x2)（若為一維）或P(t+Δt)≈P(t)-(c2Δt/Δx2)*(?2P/?x2)-(c2Δt/Δy2)*(?2P/?y2)（若為二維）這是顯式時間積分格式。一階空間精度是指用一階差分（如?P/?x≈(P(x+Δx)-P(x))/Δx）近似空間導數(shù)時的精度。二階空間精度是指用二階差分（如?2P/?x2≈(-P(x+Δx)+4P(x)-P(x-Δx))/(2Δx)2）近似空間二階導數(shù)時的精度。使用一階差分近似空間導數(shù)時，該差分格式具有一階空間精度。答案：差分格式：P(t+Δt)≈P