2025年大學《數學與應用數學》專業(yè)題庫——數值代數中的矩陣分解考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內）1.對于一個非奇異矩陣A，如果存在矩陣L（下三角）和U（上三角），使得PA=LU（P為行置換矩陣），則稱A可進行（）。(A)Doolittle分解(B)Crout分解(C)完全選主元LU分解(D)平行四邊形分解2.在Householder變換q=I-2uu?（u為某向量）中，若要將其作用到一個向量x上得到y(tǒng)=qx，則向量u通常需要滿足的條件是（）。(A)||u||=1(B)u?x=0(C)u與x的方向相同(D)u與x的方向相反或相同3.若矩陣A為m×n的實矩陣，其奇異值分解為A=UΣV?，其中Σ是m×n的對角矩陣，對角線元素σ?,σ?,...,σ_r（r為A的秩）為非負實數且滿足σ?≥σ?≥...≥σ_r≥0，則σ?,σ?,...,σ_r被稱為矩陣A的（）。(A)特征值(B)奇異值(C)譜半徑(D)范數4.對于一個非奇異的n階對稱正定矩陣A，其Cholesky分解存在且唯一，即存在一個下三角矩陣L（對角元素為正），使得（）。(A)A=LL?(B)A=L?L(C)A=UU?（U為上三角）(D)A=U?U（U為上三角）5.在求解線性方程組Ax=b的最小二乘問題中，若矩陣A的滿秩分解為A=QR（Q為正交矩陣，R為上三角矩陣），則其最小二乘解x的最優(yōu)表達式為（）。(A)x=R?1Q?b(B)x=QR?1Q?b(C)x=R?1Q?(D)x=R?1b二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）6.LU分解中，若矩陣A在分解過程中需要行交換，得到的分解形式PA=LU稱為______分解。若在LU分解過程中始終不進行行交換，則稱A具有______。7.在Householder變換的QR分解中，每次應用Householder變換的目的通常是將矩陣的某一行的一個非零元素變換為______，從而逐步將矩陣上三角化。8.奇異值分解A=UΣV?不僅可以用于求解線性方程組的最小二乘問題，還可以計算矩陣的偽逆，特別是當矩陣A是______矩陣時，其偽逆的計算更為直接。9.對于一個n階矩陣A，其QR分解總是存在的，但若要求QR分解是唯一的，通常需要進一步規(guī)定Q為______矩陣，或者R的對角元素為______。10.若矩陣A可進行LU分解為A=LU，則矩陣A的秩等于矩陣L或矩陣U的______。三、計算題（共35分）11.（10分）已知矩陣A如下：A=[[4,12,-16],[12,37,-43],[-16,-43,98]]（1）試用Doolittle方法求A的LU分解（L為下三角矩陣，U為上三角矩陣）。（2）利用所得的LU分解，計算矩陣A的行列式|A|。12.（10分）給定矩陣A和向量b如下：A=[[1,2,3],[2,1,2],[3,2,1]]b=[[1],[2],[3]]（1）構造一個Householder反射向量u，使得應用Householder變換H=I-2uu?可將向量b的第一分量（即b?）變?yōu)橄喾磾担?b?）。（2）計算變換后的向量y=Hb。（注意：此處為簡化，僅對向量b進行變換，實際QR分解需對矩陣進行操作）。13.（15分）已知矩陣A如下：A=[[1,0,2],[0,3,0],[2,0,1]]（1）計算矩陣A的奇異值分解A=UΣV?。（2）利用所得的SVD，計算矩陣A的偽逆A?。（提示：Σ的偽逆是將非零奇異值取倒數，零值位置保留為零）。四、證明題（共30分）14.（15分）證明：如果矩陣A可進行LU分解（A=LU），且L為單位下三角矩陣（對角線元素均為1），U為上三角矩陣，那么矩陣A的行列式|A|等于U的對角線元素的乘積。15.（15分）設Q為m×m正交矩陣，R為m×n上三角矩陣。證明：如果矩陣A為m×n矩陣，且存在滿秩分解A=QR，那么QR分解是唯一的（即在規(guī)定了Q為正交矩陣后，R也是唯一的）。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(A)3.(B)4.(B)5.(A)二、填空題6.完全選主元，非奇異7.零8.滿秩（或列滿秩）9.正交，正10.行數（或列數）三、計算題11.（1）進行Doolittle分解A=LU：第一步：L??=4,U??=4,U??=12/4=3,U??=-16/4=-4第二步：L??=12/4=3,L??=37-32=28,L??=(-43)-3*(-4)=-43+12=-31第三步：L??=-16/4=-4,L??=(-43)-(-4)*3=-43+12=-31,L??=98-(-4)2-(-31)2=98-16-961=-877得到：L=[[1,0,0],[3,1,0],[-4,-31/28,1]],U=[[4,3,-4],[0,28,-31],[0,0,-877/28]]（注意：此處計算L和U的具體數值可能因步驟細節(jié)或書寫格式略有差異，但結構應為下三角和上三角）（2）利用LU分解計算行列式|A|。根據行列式的性質，|A|=|L||U|。由于L為單位下三角矩陣，|L|=1；U為上三角矩陣，|U|是主對角元素的乘積，即|U|=4*28*(-877/28)=4*(-877)=-3508。所以，|A|=-3508。12.（1）需要構造向量u，使得Hx=x-2uu?x=-x。設u=x+αe?，其中e?=[1,0,0]?。則u?x=(x+αe?)?x=x?x+α。要求Hx=-x，即x-2(x?x+α)=-x，解得α=x?x。因此，u=x+x?xe?。對于b=[[1],[2],[3]]，計算x?x=12+22+32=14。所以α=14，u=[[1],[2],[3]]+14[[1],[0],[0]]=[[15],[2],[3]]。（注意：此處構造的u需滿足||u||=√(152+22+32)，計算時需歸一化）（2）計算y=Hb=(I-2uu?)b=b-2uu?b。已知u?b=15*1+2*2+3*3=14+6=20。計算2uu?b=2*20*[[15],[2],[3]]?=40*[[15],[2],[3]]=[[600],[80],[120]]。所以，y=b-[[600],[80],[120]]=[[1],[2],[3]]-[[600],[80],[120]]=[[-599],[-78],[-117]]。13.（1）計算A?A：A?A=[[1,0,2],[0,3,0],[2,0,1]]*[[1,0,2],[0,3,0],[2,0,1]]=[[5,0,4],[0,9,0],[4,0,5]]。計算A?A的特征值λ：解det(A?A-λI)=0，即det([[5-λ,0,4],[0,9-λ,0],[4,0,5-λ]])=0。展開得(9-λ)[(5-λ)2-16]=0，即(9-λ)(λ2-10λ+9)=0，(9-λ)(λ-1)(λ-9)=0。特征值為λ?=9,λ?=9,λ?=1。計算對應的特征向量（單位化）：對λ=9，解([0,0,-1],[-4,0,-4],[0,0,-4])v=0，得v?=[-1,0,1]?，歸一化得q?=[-1/√2,0,1/√2]?。對λ=1，解([4,0,-4],[0,8,0],[0,0,4])v=0，得v?=[0,1,0]?，歸一化得q?=[0,1,0]?。對λ=9（重根），找與q?,q?正交的單位向量，如v?=[1/√2,0,1/√2]?，歸一化得q?=[1/√2,0,1/√2]?。構造V=[q?,q?,q?]=[[-1/√2,0,1/√2],[0,1,0],[1/√2,0,1/√2]]。計算Σ=[[√9,0,0],[0,√9,0],[0,0,√1]]=[[3,0,0],[0,3,0],[0,0,1]]。計算U：U=AV=[[1,0,2],[0,3,0],[2,0,1]]*[[-1/√2,0,1/√2],[0,1,0],[1/√2,0,1/√2]]=[[0,0,3/√2],[0,3,0],[3/√2,0,0]]。（注：此處U的計算結果形式可能因V的排列順序或細節(jié)不同，但應保持正交性且與Σ對角線元素匹配，U的列向量是A的奇異向量對應的單位化特征向量）（2）利用SVDA=UΣV?計算偽逆A?。根據SVD，A?=VΣ?U?。計算Σ?：將Σ的非零奇異值取倒數，零值位置保留為零，得到Σ?=[[1/3,0,0],[0,1/3,0],[0,0,1]]。計算A?=VΣ?U?=[[-1/√2,0,1/√2],[0,1,0],[1/√2,0,1/√2]]*[[1/3,0,0],[0,1/3,0],[0,0,1]]*[[0,0,3/√2],[0,3,0],[3/√2,0,0]]?=[[-1/√2,0,1/√2],[0,1/3,0],[1/√2,0,1/√2]]*[[0,0,3/√2],[0,1,0],[3/√2,0,0]]?=[[(-1/√2)*(3/√2)+(1/√2)*(3/√2),0,(-1/√2)*0+(1/√2)*0],[(0)*(3/√2)+(1/3)*(0),(0)*(1)+(1/3)*(3),(0)*(0)+(1/3)*(0)],[(1/√2)*(3/√2)+(1/√2)*(3/√2),0,(1/√2)*0+(1/√2)*0]]=[[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]。四、證明題14.證明：已知A=LU，其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣。設L=[l??]，U=[u??]，其中l(wèi)??=1若i=j且i-1≥j，否則l??=0；u??=0若j>i。行列式|A|=|LU|。根據行列式的乘法性質，|A|=|L||U|。計算|L|：由于L為單位下三角矩陣，其行列式等于主對角線元素的乘積。主對角線元素均為1，故|L|=1。計算|U|：由于U為上三角矩陣，其行列式等于主對角線元素的乘積。主對角線元素為u??,u??,...,u<0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0x99>。故|U|=u??*u??*...*u<0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0x99>。因此，|A|=|L||U|=1*(u??*u??*...*u<0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0x99>)=u??*u??*...*u<0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0