沈陽數(shù)學(xué)考研真題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)是f(x)在x0處連續(xù)的（）條件。A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：A2.極限lim(x→0)(sinx/x)的值是（）。A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在答案：B3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)是（）。A.3x^2-3B.3x^2+3C.2x^3-3xD.3x^2-2答案：A4.不等式|2x-1|<3的解集是（）。A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-2,4)答案：C5.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)是（）。A.-2B.2C.-5D.5答案：C6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得（）。A.f(ξ)=0B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.f(ξ)=f(b)-f(a)D.f(ξ)=f(a)+f(b)答案：B7.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)的收斂性是（）。A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判斷答案：C8.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值是（）。A.e-1B.e/2C.1D.e答案：B9.設(shè)向量u=[1,2,3]和v=[4,5,6]，則向量u和v的點積是（）。A.32B.36C.42D.48答案：A10.圓x^2+y^2=4的面積是（）。A.4πB.2πC.πD.8π答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=sinx答案：BCD2.極限lim(x→∞)(x^2/(x^2+1))的值是（）。A.0B.1C.∞D(zhuǎn).1/2答案：BD3.下列不等式成立的有（）。A.e^x>x^2(x>1)B.log(x)>x(x>1)C.x^2>x(x>1)D.2^x>x^2(x>4)答案：AD4.矩陣A=[[1,0],[0,1]]和矩陣B=[[1,2],[3,4]]的乘積AB是（）。A.[[1,2],[3,4]]B.[[1,0],[0,1]]C.[[1,2],[3,4]]D.[[1,0],[0,1]]答案：A5.下列級數(shù)中，收斂的有（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(1/n^3)答案：BD6.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上連續(xù)的有（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sinxC.f(x)=x^2D.f(x)=|x|答案：BCD7.下列向量中，線性無關(guān)的有（）。A.[1,0,0]B.[0,1,0]C.[0,0,1]D.[1,1,1]答案：ABC8.下列不等式成立的有（）。A.(1+x)^n≥1+nx(x≥0,n為正整數(shù))B.(1+x)^n≤1+nx(x≥0,n為正整數(shù))C.(1-x)^n≥1-nx(x≤0,n為正整數(shù))D.(1-x)^n≤1-nx(x≤0,n為正整數(shù))答案：AC9.下列函數(shù)中，在x=0處可微的有（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=sinx答案：BCD10.下列級數(shù)中，絕對收斂的有（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n答案：BC三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)是f(x)在x0處連續(xù)的充分條件。（）答案：正確2.極限lim(x→0)(cosx-1)/x的值是0。（）答案：錯誤3.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的積分是1/3。（）答案：錯誤4.矩陣A=[[1,2],[3,4]]和矩陣B=[[1,0],[0,1]]是可逆的。（）答案：正確5.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^p)當(dāng)p>1時收斂。（）答案：正確6.函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間[0,2π]上是單調(diào)遞增的。（）答案：錯誤7.向量u=[1,2,3]和v=[4,5,6]是線性相關(guān)的。（）答案：正確8.不等式|2x-1|<3的解集是(-1,4)。（）答案：正確9.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的轉(zhuǎn)置矩陣是[[1,3],[2,4]]。（）答案：錯誤10.圓x^2+y^2=4的面積是4π。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)在某點處可導(dǎo)的定義。答案：函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)是指極限lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h存在。這個極限值稱為函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。2.簡述級數(shù)收斂的定義。答案：級數(shù)∑(n=1to∞)an收斂是指其部分和數(shù)列Sn=a1+a2+...+an當(dāng)n→∞時的極限存在。如果這個極限存在且為L，則稱級數(shù)收斂，其和為L。3.簡述矩陣可逆的定義。答案：矩陣A是可逆的，如果存在矩陣B使得AB=BA=I，其中I是單位矩陣。矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣，記作A^-1。4.簡述向量線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：向量組u1,u2,...,un線性相關(guān)是指存在不全為零的常數(shù)c1,c2,...,cn使得c1u1+c2u2+...+cnun=0。如果只有全為零的常數(shù)才滿足這個條件，則向量組線性無關(guān)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的單調(diào)性和極值。答案：函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x<-1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，x=-1是極大值點，x=1是極小值點。2.討論級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^p)的收斂性。答案：級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^p)當(dāng)p>1時絕對收斂，當(dāng)0<p≤1時條件收斂，當(dāng)p≤0時發(fā)散。3.討論矩陣A=[[1,2],[3,4]]的特征值和特征向量。答案：矩陣A的特征值滿足方程det(A-λI)=0，即(1-λ)(4-λ)-6=λ^2-5λ-2=0