..高等數(shù)學(下)期末考試試卷(Ⅰ)詳解則解解由于的原函數(shù)不是初等函數(shù)?所以二重積分化為累次積分時不能先對ｙ求積解６.級數(shù).(填“絕對收斂”“條件收斂”或“發(fā)散”)解因為所以發(fā)散...解由題?將方程分離變量得?兩邊同時積分得()?則?由初始條件知?所以滿足初始條件的特解為解該方程的特征方程為?特征根為?因此原方程的通解為.差分方程Δ的通解為.解首先將方程化為標準形式為?其特征方程為?特征根為.因此對應(yīng)齊次方程的通解為..由于１不是特征方程的根?設(shè)所求特解為??代入方程得.即方程的特解為.差分方程Δ的通解為.所以函數(shù)的極限隨ｋ的變化而不同.故極限不存在?因此函數(shù)不連續(xù).但所以偏導(dǎo)數(shù)存在.比較判別法可知收斂?即原級數(shù)絕對收斂.). .注意:如果題目中沒有存在這一條件?則收斂半徑不確定?沒有由題是對應(yīng)齊次方程特征根的二重根?則對應(yīng)齊次方程為ｙ″/.又為非齊次方程的特解?將其代入非齊次微分方程中得.故??.解?..(..)..(..)?).....５.求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)...?故應(yīng)齊次方程的特征根為±ｉ?則對應(yīng)齊次方程通解為?假設(shè)特解為ｙ?＝?代入方程得?所以非齊次方程的通解為解因為?所以由正項級數(shù)比較判別法的極限形式可得收斂?且..若生產(chǎn)函數(shù)為?其中α＋β.假設(shè)兩種要素的價格分別為和?試問:當產(chǎn)出量為時?兩要素各投入多少可以使得投入總費用最小?解由題?總費用函數(shù)為?則該問題可化為條件極值問題.解方程組得í得í?值點.(α)β(α)βèβ,(β)αèα,í?λβ?為唯一駐點?由于費用最小的點一定存在為唯一駐點?由于費用最小的點一定存在?所以í?(α)βèβ(α)βèβ,即為最小(β)即為最小(β)αèα,五、證明題(本題５分)若正項級數(shù)收斂?證明收斂. ..高等數(shù)學(下)期末考試試卷(Ⅱ)詳解故－ . 解解..所以７.級數(shù).(填“絕對收斂”“條件收斂”或“發(fā)散”)ｎ但單調(diào)遞減且趨于０?由交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法可知條件收斂.８.以和為特解的一階非齊次線性微分方程為.解由于為對應(yīng)的齊次方程的解?即對應(yīng)的齊次方程為ｙ/.設(shè)所求微 ＝..則原方程的通解為.考慮初值得?.則原方程的通解為.考慮初值得?.所以..差分方程Δ的通解為.解由于Δ?則方程轉(zhuǎn)化為?轉(zhuǎn)化為標準形式.差分方程Δ的通解為.函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在和函數(shù)連續(xù)無關(guān)?既非充分也非必要條件.例如ｆ(ｘ?ｙ)在但函數(shù)不連續(xù)...２所以故.則與都收斂則與都收斂則與斂散性不定則與斂散性不定由題表示所有正項的和?表示所有負項的和?所以若絕對收斂?因為≤?..若條件收斂,則和發(fā)散(否則,若和收斂,則和絕對收斂,即絕對收斂,矛盾).對應(yīng)齊次方程的特征方程為,其根為由此設(shè)非齊次方程特解為ｙ*().三、計算題(每小題７分,共分),,所以解由對稱性,可知..].對兩邊求導(dǎo)?得故.12.6.將f(x)=cos3x展開成x=0處的泰勒級數(shù).解x的通解.故特解為,其通解為四、綜合題(每小題8分,共16分)1.(1)寫出ln(1+x)的麥克勞林級數(shù);(2)設(shè)求的值.解則2.設(shè)某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,其利潤函數(shù)L=-x2-4y2+8只)分別是其產(chǎn)量,如果現(xiàn)有原料15000千克(不要求用完),生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每千只都要消耗原料2000千克.求:(1)使利潤最大時的x,y和最大利潤;(2)如果原料降至12000千克,此時使利潤最大的x,y和最大利潤.解(1)本問實質(zhì)上是在三角形區(qū)域上考慮利潤=-(x-4)2-4(y-3)2+37的最大值.由利潤函數(shù)的形式可得其在(4,3)點處取得最大值,而(4,3)∈D1,則利潤函數(shù)在(4,3)處取得最大值,最大利潤為37.(2)本問實質(zhì)上是在三角形區(qū)域D2={(x,y)x≥0,y≥0,x+y≤6}上考慮利潤函數(shù)..可能的極值點?接下來考慮的邊界.