重難點(diǎn)培優(yōu)01配湊角、半角和萬能公式、三倍角、和差化積、

積化和差公式的應(yīng)用

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01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基..........................................................................................................1

02題型精研?技巧通法提能力..........................................................................................................3

題型一配湊角（給值求值、給值求角）（★★★★★）.......................................................................3

題型二半角公式（★★★）........................................................................................................................4

題型三萬能公式（★★★）........................................................................................................................5

題型四三倍角公式（★★★）....................................................................................................................6

題型五和差化積公式（★★★★）............................................................................................................7

題型六積化和差公式（★★★★）............................................................................................................9

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效........................................................................................................10

檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固................................................................................................................................10

檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升...............................................................................................................................13

一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、平方關(guān)系：sin2cos21．

sin

2、商數(shù)關(guān)系：tan(k)；

cos2

二、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式一二三四五六

角2k(kZ)

22

正弦sinsinsinsincoscos

余弦coscoscoscossinsin

正切tantantantan

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：

（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作n；

2

（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷n所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；

2

（3）當(dāng)n為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．

【常用結(jié)論】

sin

1．利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．

cos

2．(sincos)2sin2cos22sincos1sin2

(sincos)2sin2cos22sincos1sin2

(sincos)2(sincos)22

三、兩角和差公式

①sin()sincoscossin；

②cos()coscossinsin；

tantan

③tan()；

1tantan

變形：tantantan()(1tantan)；

tantantantan

tantan11

tan()tan()

四、二倍角公式

①sin22sincos；

②cos2cos2sin22cos2112sin2；

2tan

③tan2；

1tan2

變式：

2sincos2tancos2sin21tan2sin1cos

sin2；cos2；tan

sin2cos21tan2sin2cos21tan221cossin

五、降冪公式

11cos21cos2

sincossin2;sin2;cos2;

222

六、輔助角公式

bab

asinbcosa2b2sin()（其中sin，cos，tan）．

a2b2a2b2a

題型一配湊角（給值求值、給值求角）

【技巧通法·提分快招】

拆分角的變形：①=2；=(+)-；②()；

2

11

③[()()]；④[()()]；⑤()．

22424

其他：()

44

π1π

1．（2025·甘肅白銀·一模）已知cos，則sin2（）

636

2277

A．B．C．D．

3399

π4π25π

2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知cos,0,，則sin（）

12526

727222

A．B．C．D．

10101010

π3

3．（24-25高三上·河北·期中）已知,0,,cos,tantan5，則（）

24

πππ2π

A．B．C．D．

3463

33

4．（2025·廣東廣州·三模）已知,都是銳角，cos,cos()，則cos的值為（）

55

161677

A．B．C．D．

25252525

ππ3π

5．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知0,，且滿足sin，則sin（）

26512

2327242

A．B．C．D．

105105

ππ11

6．已知,0，0,，且tan，tan，則2的值為（）

2227

5πππ3π

A．B．C．D．

4444

π4π5ππ

7．已知cos，cos，,,，則cos（）

3531333

16335663

A．B．C．D．

65656565

510π3π

8．若sin2,sin()，且,π，π,，則的值是（）

51042

7π9π5π7π5π9π

A．B．C．或D．或

444444

π3π24

9．若π，且cos，sin2，則（）

42105

ππ3π

A．B．C．D．π

424

π

10．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，，0,，若sinsinsin，coscoscos，則

2

（）

ππππ

A．B．C．D．

3366

π3

11．（24-25高三下·上海·月考）已知為銳角,若cos，則tan.

35

π3ππ

12．已知0,，若sin2cos0，則

224

π31

13．（23-24高三上·河北石家莊·月考）若，0,，cos，sin，則.

22222

題型二半角公式

【技巧通法·提分快招】

1cos1cos

sin;cos;

2222

sin1cos

tan.

21cossina

ππ22

1．（2025·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）若,，且sin，則cos等于（）

2232

1326

A．B．C．D．

3333

1cos1cos

2．若[0,2]且sincos，則的取值范圍是（）.

2222

3

A．[0,]B．,C．[,2]D．,2

22

3．（2025·遼寧本溪·模擬預(yù)測(cè)）若0,π，且2cos2cos1，則tan.

2

4．已知,為銳角，且5sin2sin，5cos2cos5．則．

2

π3ππ

5．已知sin()，(,0)，則sin().

25226

題型三萬能公式

【技巧通法·提分快招】

xxx

2tan1tan22tan

sinx2cosx2tanx2

xxx

1tan21tan21tan2

222

1

1．（23-24高三下·河北張家口·開學(xué)考試）已知cosπ，是第四象限角，則tan（）

32

22

A．2B．2C．D．

22

π2

2．已知第二象限角滿足tantan，則cos2（）

43

4433

A．B．C．D．-

5555

3．函數(shù)f(x)3sinx(1cosx)的最大值為（）

3559

A．3B．3C．D．

2484

π

4．（24-25高三上·重慶·月考）已知,π，tan=-2，則sinπ2.

2

π2ππ

5．已知sin(2)，則tan()tan()．

123312

題型四三倍角公式

【技巧通法·提分快招】

1、正弦三倍角公式：sin33sin4sin3

4sinsin()sin()

33

2、余弦三倍角公式：cos34cos33cos

4coscos()cos()

33

3tantan3

3、正切三倍角公式：tan3

13tan2

tantan()tan()

33

推導(dǎo)過程：

1.sin3sin(2)sin2coscos2sin3

2sincos2(12sin2)sin

2sin(1sin2)(12sin2)sin

3sin4sin3

3131

4sinsin()sin()4sin(cossin)(cossin)

332222

31

4sin(cos2sin2)

44

31

4sin[(1sin2)sin2]

44

3sin4sin3

sin3

2.同理：cos3cos(2)cos2cossin2sin

(2cos21)cos2sincossin

(2cos21)cos2(1cos2)cos

4cos33cos

1313

4coscos()cos()4cos(cossin)(cossin)

332222

13

4cos(cos2sin2)

44

13

4cos[cos2(1cos2)]

44

4cos33cos

cos3

2tan

tan

tan2tan2

3.tan3tan(2)1tan

2tan

1tan2tan1tan

1tan2

3tantan3

13tan2

4sinsin()sin()

sin3

tan333tantan()tan().

cos34coscos()cos()33

33

1．已知三倍角公式sin3α4sinαsin60°αsin60°α，則sin20°sin60°sin100°sin140°．

2

3xx

2．函數(shù)fx4sinxsinx2sincos的最小正周期為（）.

22

2

A.2B.C.D.

23

3．在三角函數(shù)部分，我們研究過二倍角公式cos2x2cos2x1，實(shí)際上類似的還有三倍角公式，則下列說

法中不正確的有（）

A．cos3x4cos3x3cosx

B．存在|x|1時(shí)，使得|4x33x|1

nnn

3

C．給定正整數(shù)n，若|xi|1，(i1,2,,n)，且xi0，則|xi|

i1i13

3x22

D．設(shè)方程8x6x10的三個(gè)實(shí)數(shù)根為1，x2，x3，并且x1x2x3，則2(x3x2)x3x1

題型五和差化積公式

【技巧通法·提分快招】

和差化積公式:

sinsin2sin()cos()

22

sinsin2cos()sin()

22

coscos2cos()cos()

22

coscos2sin()sin()

22

口訣：

正弦＋正弦,正弦在前；

正弦－正弦,正弦在后；

余弦＋余弦,余弦并肩；

余弦－余弦，余弦靠邊。

證明：由cos()coscossinsin，cos()coscossinsin，得

1

coscos[cos()cos()].其他同理可證.

2

1．cos72cos36的值為（）

11

A．323B．C．D．323

22

125

2．已知coscos，sinsin，則tan的值為（）

1313

119120119120

A．B．C．D．

120119120119

51

3．（2025·湖南常德·一模）已知cos22sin2,cos，則tantan（）

64

11

A．B．7C．D．7

77

π

4．在VABC中，若AB，且sinAsinB1，則cosC=（）

3

1177

A．B．C．D．

3399

5．（2025·吉林長春·一模）已知x1，x2是函數(shù)fxcos3xcos2x，x0,的兩個(gè)零點(diǎn)，則

x1x2．

6．在三角恒等變化中，積化和差實(shí)際上就是把sin與sin，cos與cos相加或相

減而變形得到的；和差化積實(shí)際上就是一種角的變化，如：

sinsinsinsin2sincos.

222222

11

如果角與滿足coscos，sinsin，則cos.

63

題型六積化和差公式

【技巧通法·提分快招】

積化和差公式：

1

coscos[cos()cos()]；

2

1

sinsin[cos()cos()]；

2

1

sincos[sin()sin()]；

2

1

cossin[sin()sin()].

2

口訣：

積化和差得和差，余弦在后要相加；

異名函數(shù)取正弦，正弦相乘取負(fù)號(hào)。

sin()sincoscossin,

證明：由兩角和與差的正弦公式得

sin()sincoscossin,

1

兩式相加可得sincos[sin()sin()]，

2

1

兩式相減可得cossin[sin()sin()]．

2

同理，由兩角和與差的余弦公式可得其他公式.

π3π1

1．若coscos，則sin2．

443

2．已知sinsin2m(m0)，則cos2cos2.

3．計(jì)算：sin20sin40sin80．

1ππ

4．已知cos，那么4coscoscos．

433

2π4π6π

5．（24-25高三下·安徽安慶·月考）coscoscos的值為（）

777

1333

A．B．C．D．-

2445

檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固

5

1．若是第三象限角，且sincossincos，則tan的值為（）

132

55

A．5B．5C．D．

1313

πππ

2．已知sin2sin，則sin2（）

444

227272

A．B．C．D．

10101010

π10ππ

3．（24-25高三上·湖北荊州·月考）已知cos，0,，則sin2（）

41023

433343433343

A．B．C．D．

10101010

π5

4．已知0,，且cos2，則tan（）

43

3-53555

A．B．C．D．或5

2455

cos23

5．若0,,，則cos（）

21tan286

321

A．B．C．D．1

222

6．已知是第三象限的角，|cos|m，sincos0，則cos等于（）

222

1m1m1m1m

A．B．C．D．

2222

1xπ

7．已知fx，若,π，則fcosfcos（）

1x2

1122

A．B．C．D．

sinsinsinsin

5103

8．（24-25高三上·山東·期中）若sin2，sin()，且,，,，則

510422

（）

45π711

A．B．C．D．

3346

9．函數(shù)fxsin3xsinx在0,2π內(nèi)的零點(diǎn)之和為（）

A．3πB．5πC．7πD．9π

10．美國數(shù)學(xué)家JackKiefer于1953年提出0.618優(yōu)選法，又稱黃金分割法，是在優(yōu)選時(shí)把嘗試點(diǎn)放在黃金

分割點(diǎn)上來尋找最優(yōu)選擇.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚于20世紀(jì)60、70年代對(duì)其進(jìn)行簡化、補(bǔ)充，并在我國進(jìn)

51

行推廣，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.黃金分割比t0.618，現(xiàn)給出三倍角公式cos34cos33cos，則

2

t與sin18的關(guān)系式正確的為（）

A．2t3sin18B．t2sin18C．t5sin18D．t6sin18

sin40sin20

11．（）

cos40cos20

33

A．3B．C．D．3

22

13

12．已知sinsin,tan，則coscos（）

222

111

A．B．C．D．1

432

11

13．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知sinxcosycosxsiny，cos2xcos2y，則sinxy（）

24

1131

A．B．C．D．

2444

14．計(jì)算：cos20cos40cos40cos80cos80cos20（）

1233

A．B．C．D．

2342

15．（多選題）下列各式一定正確的是（）

sin

．．tan2

Asin3sin52sin4cosB

41cos

2

12tan2

C．cos2cos4(cos6cos2)D．tan4

21tan22

16．（23-24高三上·江蘇泰州·期中）（多選題）由兩角和差公式我們得到倍角公式cos22cos21，實(shí)

際上cos3也可以表示為cos的三次多項(xiàng)式，像18、36、54、72這些非特殊角我們可以通過觀察發(fā)現(xiàn)

它們之間的相互關(guān)系，進(jìn)而求出各自的三角函數(shù)值.則（）

A．cos34cos33cos

51

B．cos72

2

313333

C．已知方程4x3x0在(1,1)上有三個(gè)根，記為x1，x，x，則4x4x4x

2231232

D．對(duì)于任意的R，當(dāng)72時(shí)一定有coscos()cos(2)cos(3)cos(4)0

π1π

17．（23-24高三上·山西忻州·月考）已知sin,,0，則cos.

432

1

18．若cos2cos2，則sinsin．

3

π212

19．（24-25高三上·吉林長春·期末）若0,，且sin，cos是5x7x0的兩個(gè)根，則

45

cos.

2

π10π

20．（24-25高三上·廣東深圳·期末）已知(0,π),cos，則cos2．

6106

1

21．已知sincos，0,π，則tan

52

22．已知三倍角公式sin3α4sinαsin60°αsin60°α，則sin20°sin60°sin100°sin140°．

26

23．已知sinsin,coscos，則tan．

222

π11

24．（23-24高三上·重慶·期中）已知0π，π，且cos，cos，則

273

cos.

21

25．（24-25高三上·江西上饒·期中）已知，滿足sincos，cossin，則sin.

33

2x32

26．（24-25高三上·河北衡水·開學(xué)考試）研究發(fā)現(xiàn)利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，可以比與sin的大

1x253

32

小，請(qǐng)作出你的結(jié)論：sin．（用<，=，>填空）

53

27．通過兩角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推導(dǎo)出三倍角公式．例如：

cos3cos2cos2cossin2sin

2cos21cos2sin2cos

4cos33cos

(1)根據(jù)上述過程，推導(dǎo)出sin3關(guān)于sin的表達(dá)式；

sin3126sin36sin366

(2)求的值；

sin18

(3)求證：sin18是方程8x34x10的一個(gè)根．

28．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）三角學(xué)于十七世紀(jì)傳入中國，此后徐光啟、薛風(fēng)祚等數(shù)學(xué)家對(duì)此深入研究，

對(duì)三角學(xué)的現(xiàn)代化