2025年高等數(shù)學數(shù)學夢想追求試題一、函數(shù)與極限（共30分）1.基礎應用題（10分）某科技公司研發(fā)的人工智能學習系統(tǒng)，其每日數(shù)據(jù)處理量(f(t))（單位：GB）與上線時間(t)（單位：天）的關系滿足函數(shù)(f(t)=\frac{100t}{1+e^{-0.5t}})。（1）求系統(tǒng)上線初期（(t\to0^+)）的數(shù)據(jù)處理增速；（2）證明當(t\geq10)時，處理量(f(t))與線性函數(shù)(g(t)=100t-200)的誤差不超過5%；（3）若公司服務器日處理上限為2000GB，估算系統(tǒng)需多少天達到性能瓶頸（精確到整數(shù)）。2.數(shù)學文化題（10分）我國南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出"三斜求積術"，其原理可表示為：在平面直角坐標系中，若三角形頂點坐標為(A(x_1,y_1))、(B(x_2,y_2))、(C(x_3,y_3))，則面積(S=\frac{1}{2}|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|)。（1）用極限思想證明：當(C)點沿曲線(y=x^2)無限靠近點(B(2,4))時，三角形(OAB)（O為原點）的面積與線段(BC)長度之比的極限值為2；（2）利用上述公式推導橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)與直線(y=kx+m)相交所得弦長公式。3.創(chuàng)新探究題（10分）定義"夢想函數(shù)"：若函數(shù)(f(x))在定義域內(nèi)滿足(f(x)+f(2a-x)=2b)，則稱其圖像關于點((a,b))成"夢想中心對稱"。（1）判斷函數(shù)(f(x)=\frac{2x^3+3x+1}{x^2+1})是否為夢想函數(shù)，并求出對稱中心；（2）已知(f(x))是周期為4的夢想函數(shù)，且在([0,2])上的表達式為(f(x)=x^2)，求(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right))。二、導數(shù)與微分（共35分）4.物理應用題（12分）某無人機配送系統(tǒng)在豎直平面內(nèi)運動，其軌跡參數(shù)方程為(\begin{cases}x=t^2\lnt\y=t^3-6t^2+9t\end{cases})（(t>0)，單位：米，秒）。（1）求(t=e)時刻無人機的速度大小及加速度方向；（2）判斷無人機在(t\in[1,4])內(nèi)是否存在失重狀態(tài)（加速度豎直向下為失重）；（3）若無人機搭載的物品最大承受加速度為(5\sqrt{2},\text{m/s}^2)，求安全飛行的時間區(qū)間。5.經(jīng)濟優(yōu)化題（13分）新能源汽車廠商生產(chǎn)某型號電池的成本函數(shù)為(C(x)=0.1x^2+20x+500)（萬元），銷售收入函數(shù)為(R(x)=100x-0.05x^2)（萬元），其中(x)為月產(chǎn)量（單位：千組）。（1）求邊際利潤函數(shù)(L'(x))，并解釋(x=50)時的經(jīng)濟意義；（2）若政府對新能源產(chǎn)業(yè)提供補貼，當產(chǎn)量超過100千組時，每超額1千組補貼2萬元，求新利潤函數(shù)的最大值點；（3）在（2）的政策下，為使利潤率(\frac{L(x)}{x})不低于20%，求月產(chǎn)量的取值范圍。6.幾何綜合題（10分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3ax^2+3bx)的圖像與x軸相切于非原點的一點，且在原點處的切線方程為(y=3x)。（1）求(a,b)的值及函數(shù)的極值點；（2）設曲線(y=f(x))與直線(y=kx)交于(O,A,B)三點（O為原點），證明：線段OA,OB的中點連線斜率為定值。三、積分學（共40分）7.工程計算題（15分）水利工程中，某拋物線形水閘截面滿足方程(y=x^2-4x+5)（(x\in[0,4])，單位：米），水面與x軸平齊。（1）求閘門所受水壓力（水的密度(\rho=1000,\text{kg/m}^3)，重力加速度(g=9.8,\text{m/s}^2)）；（2）若閘門在水下深度(h)處開一個面積為(0.01,\text{m}^2)的泄水孔，計算通過小孔的流量(Q=\int_0^Tv(t),dt)，其中流速(v(t)=\sqrt{2gh})（托里拆利公式）；（3）為使閘門強度最優(yōu)，需在截面內(nèi)嵌入一根加強筋，使其經(jīng)過點(1,2)且將截面面積二等分，求筋的方程。8.數(shù)學史應用題（10分）17世紀數(shù)學家牛頓在研究光的折射時提出"最速降線"問題?，F(xiàn)有質(zhì)量為(m)的小球從點(A(0,2))沿曲線(y=f(x))無摩擦滑落到點(B(2,0))，重力加速度為(g)。（1）證明小球運動時間(T=\sqrt{\frac{1}{2g}}\int_0^2\sqrt{\frac{1+(y')^2}{2-y}},dx)；（2）若曲線為拋物線(y=-\frac{1}{2}x^2+2)，計算運動時間的近似值（精確到0.01秒）。9.綜合證明題（15分）（1）設函數(shù)(f(x))在閉區(qū)間([0,1])上連續(xù)可導，且(f(0)=f(1)=0)，證明：(\int_0^1|f(x)|^2dx\leq\frac{1}{4}\int_0^1|f'(x)|^2dx)（Wirtinger不等式）；（2）利用（1）的結論證明：對于周期為(2\pi)的連續(xù)可導函數(shù)(g(x))，若(\int_0^{2\pi}g(x)dx=0)，則(\int_0^{2\pi}g^2(x)dx\leq\int_0^{2\pi}(g'(x))^2dx)。四、微分方程（共30分）10.生態(tài)模型題（15分）某自然保護區(qū)內(nèi)，兩種生物的數(shù)量變化滿足Lotka-Volterra模型：(\begin{cases}\frac{dN}{dt}=0.5N-0.01NM\\frac{dM}{dt}=-0.4M+0.008NM\end{cases})其中(N(t))為prey（獵物）數(shù)量，(M(t))為predator（捕食者）數(shù)量（單位：千只）。（1）求系統(tǒng)的平衡點，并判斷其穩(wěn)定性；（2）若初始時刻(N(0)=100)，(M(0)=50)，求(N(t))與(M(t))的函數(shù)關系；（3）預測第10年時兩種生物的數(shù)量，并分析長期趨勢。11.創(chuàng)新設計題（15分）某智能家居系統(tǒng)的溫度調(diào)節(jié)模型為延遲微分方程：(T'(t)=-k(T(t)-T_s(t-\tau))+P(t))其中(T(t))為室內(nèi)溫度（℃），(T_s(t)=20+5\sin\left(\frac{\pit}{12}\right))為室外溫度（t為小時），(P(t))為空調(diào)功率函數(shù)，(k=0.2,\text{h}^{-1})，延遲時間(\tau=0.5,\text{h})。（1）當空調(diào)關閉（(P(t)=0)）且初始溫度(T(0)=25℃)時，求(t\in[0,24])內(nèi)的室內(nèi)溫度變化曲線；（2）設計空調(diào)功率函數(shù)(P(t))，使室內(nèi)溫度維持在22±1℃范圍內(nèi)，且日耗電量(\int_0^{24}P(t)dt)最小。五、綜合創(chuàng)新題（20分）12.數(shù)學建模題（20分）"元宇宙"虛擬展館需設計一個旋轉(zhuǎn)對稱的穹頂結構，其母線為曲線(y=f(x))（(x\in[0,5])米），滿足以下條件：①底部支撐處（x=0）切線斜率為1.5，頂部（x=5）切線水平；②表面積不超過(100\pi,\text{m}^2)（不計底面）；③內(nèi)部容積盡可能大，且在高度2米處有一圈觀景平臺，平臺寬度不少于1米。（1）建立穹頂體積的積分表達式；（2）若母線為三次多項式函數(shù)，求滿足條件的最優(yōu)設計；（3）分析當材料抗壓強度限制最大曲率(K\leq0.1,\text{m}^{-1})時，對設計的修正方案。（注：曲率公式(K=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}})，旋轉(zhuǎn)體表面積(S=2\pi\int_a^by\sqrt{1+(y')^2}dx)）六、選考題（任選1題作答，10分）A.不等式選講已知正實數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=3)，證明：（1）(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\geq3\sqrt{2})；（2）(\frac{a}{b^2+1}+\frac{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\geq\frac{3}{2})。B.參數(shù)方程與極坐標在極坐標系中，曲線(C_1:\rho=2\cos\theta)與曲線(C_2:\rho=1+\cos\theta)交于A,B兩點。（1）求以AB為直徑的圓的極坐標方程；（2）若過極點的直線l與(C_1,C_2)分別交于異于極點的M,N兩點，求(|MN|)的最大值。參考答案與評分標準（簡要提示）1.函數(shù)與極限（1）50GB/天；（2）誤差率(\leq4.8%)；（3）21天2.數(shù)學文化題（2）弦長公式(|AB|=\frac{2ab\sqrt{(k^2+1)(a^2k^2+b^2-m^2)}}{a^2k^2+b^2})4.物理應用題（1）速度(\sqrt{e^4+0}=e^2,\text{m/s})，加速度方向與x軸成45°角7.工程計算題（1）壓力(1.3067\times10^5,\text{N})；（3）加強筋方程