2025年高等數(shù)學續(xù)寫傳奇版試題一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）設函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}+\ln(1+x^2)$，則$x=0$是$f(x)$的（）A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.無窮間斷點D.連續(xù)點已知向量$\vec{a}=(1,2,-3)$，$\vec=(2,k,1)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$k$的值為（）A.-1B.0C.1D.2微分方程$y''-4y'+4y=e^{2x}$的特解形式可設為（）A.$y^=Ae^{2x}$B.$y^=Axe^{2x}$C.$y^=Ax^2e^{2x}$D.$y^=(Ax+B)e^{2x}$設函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且$\int_0^1f(x)dx=2$，則$\int_0^1\left[\int_x^1f(t)dt\right]dx=$（）A.1B.2C.3D.4曲線$x=t^2$，$y=t^3$，$z=t$在點$(1,1,1)$處的切線方程為（）A.$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{1}$B.$\frac{x-1}{2t}=\frac{y-1}{3t^2}=\frac{z-1}{1}$C.$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$D.$\frac{x-1}{t^2}=\frac{y-1}{t^3}=\frac{z-1}{t}$設函數(shù)$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$，則其極值點情況為（）A.只有極大值點$(0,0)$B.只有極小值點$(1,1)$C.極大值點$(0,0)$和極小值點$(1,1)$D.無極值點反常積分$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$的值為（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\pi$D.$2\pi$設冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂半徑為3，則冪級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-1)^{n+1}$的收斂區(qū)間為（）A.$(-2,4)$B.$[-2,4]$C.$(-3,3)$D.$[-3,3]$設$D$是由$x^2+y^2=1$所圍成的閉區(qū)域，則二重積分$\iint_D(x^3+y^3+1)dxdy=$（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$4\pi$設函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$內(nèi)滿足$f(x+2)=f(x)$，且當$x\in[0,2)$時，$f(x)=x^2$，則$f(x)$的傅里葉級數(shù)在$x=1$處收斂于（）A.0B.1C.2D.4二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）極限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sinx}=$________。設函數(shù)$y=y(x)$由方程$e^y+xy=e$確定，則$y''(0)=$________。曲線$y=x^3-3x^2+3x+1$在點$(1,2)$處的曲率$K=$________。設$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，則$f'(x)=$，$f''(x)=$。向量場$\vec{A}=(x^2y,y^2z,z^2x)$的散度$\text{div}\vec{A}=$________。設$L$是從點$(0,0)$到點$(1,1)$的直線段，則曲線積分$\int_L(x+y)ds=$________。三、解答題（共7小題，共70分）17.（本題滿分10分）設函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\0,&x=0\end{cases}$，討論$f(x)$在$x=0$處的連續(xù)性與可導性。18.（本題滿分10分）計算不定積分$\int\frac{x\cosx}{\sin^3x}dx$。19.（本題滿分10分）設函數(shù)$z=f(x+y,xy)$，其中$f$具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$。20.（本題滿分10分）計算定積分$\int_0^{\pi}\sqrt{1+\cos2x}dx$。21.（本題滿分10分）求微分方程$y'+\frac{1}{x}y=\frac{\sinx}{x}$滿足初始條件$y(\pi)=1$的特解。22.（本題滿分10分）計算三重積分$\iiint_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)dxdydz$，其中$\Omega$是由球面$x^2+y^2+z^2=1$所圍成的閉區(qū)域。23.（本題滿分10分）設函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且$\int_0^1f(x)dx=0$，$\int_0^1xf(x)dx=1$，證明：存在$\xi\in[0,1]$，使得$|f(\xi)|\geq4$。四、解答題（共4小題，共40分）24.（本題滿分10分）設函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導，且$f(a)=f(b)=0$，證明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)-f(\xi)=0$。25.（本題滿分10分）求曲面$z=x^2+y^2$與平面$z=2x+2y-1$所圍成的立體體積。26.（本題滿分10分）設冪級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n\cdot2^n}$，求其收斂域及和函數(shù)。27.（本題滿分10分）設曲線$L$為從點$A(1,0)$到點$B(0,1)$再到點$C(-1,0)$的折線，計算曲線積分$\int_L(y^2+xe^{2y})dx+(x^2e^{2y}+2xy)dy$。五、綜合題（共2小題，每小題15分，共30分）已知函數(shù)$f(x)$在$[0,+\infty)$上二階可導，且$f(0)=0$，$f'(0)=1$，滿足微分方程$f''(x)+f(x)=e^{-x}$。（1）求$f(x)$的表達式；（2）求曲線$y=f(x)$與$x$軸在$[0,+\infty)$內(nèi)所圍成的圖形面積。設$\Omega$是由錐面$z=\sqrt{x^2+y^2}$與球面$x^2+y^2+z^2=1$所圍成的位于錐面內(nèi)部的閉區(qū)域，函數(shù)$f(x,y,z)$在$\Omega$上連續(xù)。（1）將三重積分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$分別化為直角坐標系、柱面坐標系和球面坐標系下的三次積分；（2）當$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$時，計算該三重積分的值。六、附加題（共2小題，每小題10分，共20分，不計入總分）設函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$內(nèi)有定義，且對任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$，有$f(x+y)=f(x)f(y)$，若$f'(0)=1$，求$f(x)$的表達式。設$D$是由$x\geq0$，$y\geq0$，$x+y\leq1$所圍成的閉區(qū)域，證明：$\iint_D\ln(x+y)dxdy\geq-\frac{1}{2}$。本試題全面覆蓋高等數(shù)學核心內(nèi)容，注重基礎與能力的結合，強