專題8.6雙曲線（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】 4【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 6【題型3曲線方程與雙曲線】 8【題型4求雙曲線的軌跡方程】 10【題型5雙曲線的焦點、焦距、長軸、虛軸】 13【題型6雙曲線中的焦點三角形問題】 14【題型7雙曲線的漸近線方程】 17【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】 19【題型9與雙曲線有關(guān)的最值問題】 21【題型10雙曲線的實際應(yīng)用】 231、雙曲線考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程(2)掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率)(3)了解雙曲線的簡單應(yīng)用2023年新高考I卷：第16題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分2023年北京卷：第12題，5分2023年天津卷：第9題，5分2024年新高考I卷：第12題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分2025年全國一卷：第3題，5分2025年全國二卷：第11題，6分2025年北京卷：第3題，4分2025年天津卷：第9題，5分雙曲線的方程及其性質(zhì)是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要考查雙曲線的定義、方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，主要以單選題、多選題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，復(fù)習(xí)時要加強這方面的訓(xùn)練.與向量等知識結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個趨勢，需要學(xué)會靈活求解.知識點1雙曲線的方程及其性質(zhì)1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程4．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.知識點2雙曲線方程的求解方法1．雙曲線方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為.知識點3雙曲線的焦點三角形1．雙曲線的焦點三角形(1)焦點三角形的概念

設(shè)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1,F2為雙曲線的焦點，當(dāng)點P,F1,F2不在同一條直線上時，它們構(gòu)成一個焦點三角形，如圖所示.(2)求雙曲線中的焦點三角形△PF1F2面積的方法方法一：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|-|PF2||=2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③通過配方，利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式，求得面積.方法二：利用公式，求得面積.(3)焦點三角形的常用結(jié)論

若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中θ為.知識點4雙曲線的離心率或其范圍的解題策略1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.知識點5雙曲線中的最值問題的解題策略1．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【方法技巧與總結(jié)】1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，.3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】【例1】（24-25高二下·河南·階段練習(xí)）雙曲線C：x225?y2144=1A．9 B．7 C．9或29 D．7或19【答案】C【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義來求解點A到左焦點的距離.【解答過程】對于雙曲線C:x225?y設(shè)雙曲線的左右焦點分別為F1,F2，已知點A到右焦點根據(jù)雙曲線的定義||AF1|?|A可得AF1?19=10當(dāng)AF1?19=10當(dāng)AF1?19=?10所以點A到左焦點的距離為9或29.故選：C.【變式1-1】（2025·北京·模擬預(yù)測）雙曲線E：x2a2?y216=1a>0，焦距為10，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．13 B．1或13 C．10 D．4或10【答案】A【解題思路】根據(jù)雙曲線焦距可求出a的值，結(jié)合題意判斷M點位置，利用雙曲線定義即可求得答案.【解答過程】由題意知雙曲線E：x2故2c=10,c=5，則a2由MF1?MF2=2a=6結(jié)合MF1=7<a+c=8由于1<c+a=8，故MF故選：A.【變式1-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）雙曲線x2?y216=1上一點A．2 B．6 C．2或6 D．4【答案】B【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義求出點P到另一個焦點的距離，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)舍去不符合條件的值.【解答過程】雙曲線x2?y設(shè)雙曲線的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，已知|PF1|=4當(dāng)4?|PF2|=2當(dāng)4?|PF2|=?2時，可得|PF2在雙曲線中，雙曲線上的點到焦點的距離存在最小值，這個最小值為c?a.對于雙曲線x212那么c?a=17?1，因為16=4，17這就說明雙曲線上的點到焦點的距離不可能為2，所以要舍去|PF因此|PF2|=6，即點P故選：B.【變式1-3】（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：x216?y29=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件【答案】D【解題思路】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.【解答過程】a=4,b=3,c=4當(dāng)點P在左支時，PF1的最小值為當(dāng)點P在右支時，PF1的最小值為因為PF1=8由雙曲線的定義PF2?當(dāng)PF2=16，點P在左支時，PF1故為充分不必要條件，故選：D.【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（2025·北京海淀·一模）若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)A．x24?y2=1 B．x【答案】D【解題思路】根據(jù)題意及雙曲線的定義可知2a=b，c=5，再結(jié)合a2+【解答過程】由題知c=5，根據(jù)題意，由雙曲線的定義知2a=b，又a所以5a2=5，得到a故選：D.【變式2-1】（2025·江蘇淮安·模擬預(yù)測）雙曲線C1與雙曲線C2：x24?y2A．y24?C．x22?【答案】B【解題思路】利用待定系數(shù)法設(shè)C1的方程為x24?y【解答過程】設(shè)雙曲線C1的方程為x24代入點2,2，則2則方程為x24?故選：B.【變式2-2】（2025·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）雙曲線C與橢圓x26+y22=1A．x2?y23=1 B．y【答案】A【解題思路】根據(jù)橢圓的焦點坐標(biāo)求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率求出a，根據(jù)a,b,c關(guān)系求出b2【解答過程】橢圓x26+所以雙曲線C的焦點為±2,0且焦點在x軸上，即c=2，因為C的離心率是2，所以e=ca=2所以b2=c2?故選：A.【變式2-3】（2025·四川雅安·一模）已知F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，點A．x29?C．x26?【答案】B【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義求出F2A,F1A，在△AF【解答過程】因為F1A=2又因為點A在C上，所以F1即2F2A在△AF1F所以sin∠A又0°<∠AF2F1<180°則S△AF1則F1F2所以b2所以C的方程為x2故選：B.

【題型3曲線方程與雙曲線】【例3】（2025·新疆·模擬預(yù)測）“m>4”是“方程x2m?1?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】根據(jù)給定條件，求出方程表示雙曲線的充要條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答過程】x2等價于m?1m?4>0，解得m>4或因為由m>4可推出m>4或m<1，但是由m>4或m<1，不能推出m>4，所以“m>4”是“方程x2故選：A.【變式3-1】（24-25高二上·河南許昌·期末）若方程x2m+4+y2A．m<?7或m>4 B．?7<m<4C．m<?4或m>7 D．?4<m<7【答案】D【解題思路】對雙曲線的焦點位置進(jìn)行分類討論，可得出關(guān)于實數(shù)m的不等式組，由此可解得實數(shù)m的取值范圍.【解答過程】若方程x2m+4+y2m?7=1若方程x2m+4+y2綜上所述，?4<m<7.故選：D.【變式3-2】（24-25高二上·浙江·期中）對于方程x2+y2tanA．曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線B．若α為負(fù)角，則曲線C為雙曲線C．若α為正角，則曲線C為橢圓D．若C為橢圓，則曲線C的焦點在x軸上【答案】B【解題思路】對于A，根據(jù)α=0的取值，即可判斷；對于B若α為負(fù)角，即?π對于C，當(dāng)α=π【解答過程】對于A，當(dāng)α=0，即tanα=0時，曲線C的方程為x2=1此時曲線C為兩條平行的直線，故A錯誤；對于B，若α為負(fù)角，即?π2<α<0此時曲線C為雙曲線，故B正確；對于C，若α為正角，即0<α<π2，當(dāng)α=π則曲線C的方程為x2對于D，若C為橢圓，當(dāng)0<tanα<1，1tanα>1則C為焦點在y軸上的橢圓，故D錯誤．故選：B.【變式3-3】（2025·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知曲線C:x24+y2m=1(m≠0)，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】若m∈(0,4)，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓；當(dāng)曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線時m<0.【解答過程】若m∈(0,4)，則曲線C:x24若曲線C的焦點在x軸上，也有可能是m<0，此時曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，故必要性不成立，故選：A.【題型4求雙曲線的軌跡方程】【例4】（2024·廣西柳州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是?5,0，5,0，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是49，則點M的軌跡方程為（

A．x225?C．y225?【答案】A【解題思路】設(shè)點M(x,y),由題意列出方程，化簡整理即得點M的軌跡方程.【解答過程】依題意，設(shè)點M(x,y)，由kAM可得4x2?9y2故選：A.【變式4-1】（2025·黑龍江遼寧·模擬預(yù)測）若圓C:x2+y2?6x=0上恰有三個點到直線A．x24?C．254x2【答案】A【解題思路】由圓C上恰有三個點到直線ax+by+1=0的距離為1，得到圓心到直線的距離恰好為2，求得5a2?4b2+6a+1=0，設(shè)【解答過程】由圓C:x2+所以圓心C(3,0)，半徑為r=3，若圓C上恰有三個點到直線ax+by+1=0的距離為1，則滿足圓心到直線的距離恰好為2，即3a+1a2+設(shè)x=5a+3y=5b，則a=代入5a2?4整理得x24?y2故選：A.【變式4-2】（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知雙曲線x2?y24=1與直線l:y=kx+mk≠±2有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于AA．x24+C．x225+【答案】D【解題思路】根據(jù)直線l與雙曲線相切，推出m2+4=k2，M(?k【解答過程】因為雙曲線x2?y24所以直線l與雙曲線相切，聯(lián)立y=kx+mx2?y2所以Δ=4k2將m2+4=k2代入得(mx+k)2=0，因為k≠±2，m2所以x=?km，y=?k由m2+4=k所以過點M且與l垂直的直線為y+4令y=0，得x=?5km，令x=0，得則A(?5km,0)由x=?5kmy=?5m代入m2+4=k2，得故選：D.【變式4-3】（2025·浙江·一模）雙曲線的另一種定義：動點Mx,y與定點Fc,0的距離和它與定直線l：x=a2c的距離的比是常數(shù)ca0<a<c，則點M的軌跡是一個雙曲線.動點M與定點F3,0的距離和它與定直線lA．y22?C．x22?【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡得答案.【解答過程】設(shè)M(x,y)，依題意，(x?3)2所以點M的軌跡方程為x2故選：B.【題型5雙曲線的焦點、焦距、長軸、虛軸】【例5】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線x25?y2m=1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解題思路】利用雙曲線的焦點坐標(biāo)，列出方程求解即可．【解答過程】解：雙曲線x25?y2可得m=4.故選：D.【變式5-1】（2025·江西新余·一模）雙曲線x26?A．6 B．4 C．26 【答案】C【解題思路】根據(jù)雙曲線方程直接確定實軸長.【解答過程】由雙曲線方程知a=6，則實軸長為2a=2故選：C.【變式5-2】（2025·廣東廣州·三模）已知雙曲線C：x29?y2b2=1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2，過F2作C其中一條漸近線的垂線，垂足為AA．32 B．C．6 D．12【答案】D【解題思路】由雙曲線的性質(zhì)可得F2到漸近線距離為b，結(jié)合幾何性質(zhì)可得∠F2OA=60°，從而【解答過程】如圖所示，∵F2到漸近線距離為b，故△BOF2故ba=3故選：D.【變式5-3】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2A．C的實軸長為2 B．C的漸近線方程為y=±C．C的離心率為5 D．C的右焦點的坐標(biāo)為(【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線漸近線、離心率逐項判斷得解.【解答過程】對于AD，由a:b:c=1:2:5，取a=2，則c=25，C的實軸長4，右焦點對于B，由a:b=1:2，得C的漸近線方程為y=±2x，B錯誤；對于C，由a:c=1:5，得C的離心率e=故選：C.【題型6雙曲線中的焦點三角形問題】【例6】（2025·江西·二模）過雙曲線C:x22?y2=1的中心作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，設(shè)雙曲線C的右焦點為FA．33 B．1 C．2 D．【答案】D【解題思路】設(shè)雙曲線的左焦點為F′，連接PF′、QF′，根據(jù)雙曲線的對稱性得到S△PFQ=【解答過程】設(shè)雙曲線的左焦點為F′，連接PF′、Q由∠PFQ=2π3不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，設(shè)PF′=m，PF由雙曲線的定義可得PF在△FPF′中由余弦定理可得，即12=m2+所以S△PFQ故選：D.【變式6-1】（2025·河南安陽·一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合已知的線段比例關(guān)系以及△ABF1的周長，求出a的值，進(jìn)而得到雙曲線【解答過程】設(shè)|AF2|=m，因為|AF2根據(jù)雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值等于定值對于點A在雙曲線右支上，有|AF1|?|AF2|=2a對于點B在雙曲線右支上，有|BF1|?|B已知△ABF1的周長為20，△ABF1的周長所以L=3m+(2m+2a)+3m=20，即8m+2a=20

②.將①2m=2a代入②8m+2a=20中，得到4×2a+2a=20，即10a=20，解得a=2.根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線x2a2把a=2代入，可得實軸長為2×2=4.故選：C.【變式6-2】（2025·青海海南·一模）已知雙曲線C：x2?y23=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在A．7?1 B．6 C．3 D．【答案】C【解題思路】利用焦點三角形的性質(zhì)結(jié)合題設(shè)條件可得PF【解答過程】點P在雙曲線右支上，a=1,b=由雙曲線的定義可得PF又PF1=1+又F1所以PF12所以S△P故選：C.【變式6-3】（2025·廣東·一模）如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線x29?y2b2=1(b>0)的左、右焦點，過F1的直線lA．83 B．C．183 D．【答案】C【解題思路】由雙曲線的定義，可得BF1=2a，BF2【解答過程】在雙曲線中：a2=9，所以根據(jù)雙曲線的定義，可得AF∵△ABF2∴又∵B∴B∴△BF1F故選：C．【題型7雙曲線的漸近線方程】【例7】（2025·河北·一模）雙曲線E:y2a2?x2A．y=±3x C．y=±2x D．y=±【答案】B【解題思路】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，可知漸近線方程為y=±abx【解答過程】由題知e=ca=所以雙曲線E的漸近線方程為y=±a故選：B.【變式7-1】（2025·四川成都·一模）雙曲線x22?A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0【答案】A【解題思路】根據(jù)漸近線方程直接進(jìn)行求解.【解答過程】x22?即2x±y=0.故選：A.【變式7-2】（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）已知雙曲線y2a2?xA．y=±22x B．y=±32x【答案】B【解題思路】由雙曲線的離心率得出a2【解答過程】由離心率得b2所以此雙曲線的漸近線方程為y=±3故選：B．【變式7-3】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右焦點，直線l過A．y=±233x B．y=±43【答案】A【解題思路】由題意求得|BF1|=a，|AF1|【解答過程】由3F2F1=設(shè)|BF1|=t|AF1|=2t又因為|AB|=故|BF1|=a，|在△ABF2中，由得a2+4c2?9得b2a2=4故選：A．【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】【例8】（2025·全國一卷·高考真題）已知雙曲線C的虛軸長是實軸長的7倍，則C的離心率為（

）A．2 B．2 C．7 D．2【答案】D【解題思路】由題可知雙曲線中a,b的關(guān)系，結(jié)合a2【解答過程】設(shè)雙曲線的實軸，虛軸，焦距分別為2a,2b,2c，由題知，b=7于是a2+b即e=c故選：D.【變式8-1】（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）若雙曲線x2a2?yA．12 B．55 C．2 【答案】D【解題思路】由題意可得ba=2，則【解答過程】因為雙曲線x2a2所以ba=2，所以雙曲線的離心率為故選：D.【變式8-2】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右焦點，直線l過F1與CA．83 B．53 C．213【答案】C【解題思路】設(shè)|AF1|=2|F1B【解答過程】設(shè)|AF1所以|BF2|?n=|A由AB=|BF1|+|AF綜上，|BF由∠BF1F所以a2+4c所以e=c故選：C.【變式8-3】（2025·湖南湘潭·一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F2(2,0)，若圓A．[2,+∞) B．[3,+∞) C．【答案】B【解題思路】設(shè)P(x0,y0)為圓M上一點，得到PF2的中點Q(x0+2【解答過程】因為雙曲線C:x2a2?y2且雙曲線C的漸近線方程為y=±b設(shè)P(x0,y0)為圓則PF2的中點Q(x即y0=±ba(因為圓心M(?2,6)到直線的距離為d=±因為圓M上存在點P滿足條件，所以直線y0=±b所以d≤2，即?6(ba)2+1≤2又因為雙曲線的離心率e2=c所以雙曲線C的離心率的取值范圍為[3,+∞故選：B.【題型9與雙曲線有關(guān)的最值問題】【例9】（2025·浙江紹興·二模）已知雙曲線Γ:x2?y23=1的左焦點為F，點A,B在A．4 B．6 C．10 D．14【答案】C【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義，將|FA|與|FB|進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系求出|FA|+|FB|的最小值．【解答過程】對于雙曲線x2?y23=1，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2設(shè)雙曲線的右焦點為F2，由雙曲線的定義可知，點A在雙曲線的右支上，則|FA|?|F2同理，點B在雙曲線的右支上，則|FB|?|F2B|=2a=2所以|FA|+|FB|=(|F根據(jù)三角形三邊關(guān)系，|F2A|+|F2B|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)又|AB|=6，則|F2A|+|所以|FA|+|FB|的最小值為10．故選：C．【變式9-1】（2025·河北石家莊·一模）設(shè)點P為雙曲線x25?y211=1右支上的動點，F(xiàn)A．25 B．35 C．45【答案】B【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義將PF+PQ轉(zhuǎn)化成PF【解答過程】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點為F1由雙曲線的定義得PF+所以PF+PQ的最小值為故選：B.【變式9-2】（2025·山東濟(jì)南·三模）雙曲線C:x24?y25=1的左焦點為F，點A(0,4)，若P為【答案】9【解題思路】利用雙曲線的定義將|PF|進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系求|PA|+|PF|的最小值；【解答過程】設(shè)雙曲線C:x24對于雙曲線C:x24?y因為點P在雙曲線的右支上，所以|PF|?|PF2|=2a=4則|PA|+|PF|=|PA|+|PF根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，可得PA+PF2≥AF已知F2(3,0)，A(0,4)，根據(jù)兩點間距離公式，可得所以PA+PF=PA+故答案為：9.【變式9-3】（2025·貴州安順·模擬預(yù)測）已知F是雙曲線C:x22?y24=1的右焦點，P是C左支上一點，M是圓【答案】4【解題思路】利用雙曲線定義，將|MP|+|PF|轉(zhuǎn)化為|MP|+|PF【解答過程】設(shè)雙曲線C的左焦點為F1，連接PF1由題知，實軸長2a=22由雙曲線定義知，PF=2a+則|MP|+|PF|≥|PD|+|PF|?2=|PD|?2當(dāng)P，D，F(xiàn)1三點共線時，|MP|+|PF|且最小值為DF故答案為：42【題型10雙曲線的實際應(yīng)用】【例10】（24-25高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線y29?x2m=1的圖象的一部分，當(dāng)拱頂M到水面的距離為3米時，水面寬AB為4A．3米 B．62?3米 C．26?3米【答案】D【解題思路】將A?23,?6代入雙曲線得到m=4，當(dāng)x=?26得到【解答過程】根據(jù)題意，M0,?3，A?23,?6，故369則當(dāng)水面寬度為46米時，即x=?26時，解得y=?37因此，拱頂M到水面的距離為37故選：D.【變式10-1】（24-25高二上·江蘇泰州·期中）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為5的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為62cm，下底直徑為92

A．272cm B．18cm C．272【答案】D【解題思路】根據(jù)模型建立平面直角坐標(biāo)系，由已知條件先求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再計算高度即可.【解答過程】該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A與B分別為上，下底面對應(yīng)點，設(shè)雙曲線的方程為x2由雙曲線的離心率為5，得a2+b由喉部（中間最細(xì)處）的直徑為8cm，得2a=8,a=4所以雙曲線的方程為x216?由xA=32,x故選：D.

【變式10-2】（2025·湖北荊州·一模）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離是1020m.則該巨響發(fā)生在接報中心的（

）處.（假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340A．西偏北45°方向，距離68010m B．東偏南45°C．西偏北45°方向，距離6805m D．東偏南45°【答案】A【解題思路】以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系；設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，寫出A、B、C點的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y)為巨響生成點，由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，依題意求出雙曲線方程，從而確定該巨響發(fā)生的位置．【解答過程】解：如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A?1020,0，B1020,0，設(shè)Px,y為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得PA=PC，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=?x，因B點比A故PB?PA=340×4=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線x2a2?故雙曲線方程為x26802?y25×3402=1，將y=?x代入上式，得故PO=68010故巨響發(fā)生在接報中心的西偏北45°距中心680故選：A.【變式10-3】（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的AA．52 B．173 C．102【答案】B【解題思路】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，設(shè)BF2=m，用BF2表示BF1,AF1【解答過程】由題意可知直線CA，DB都過點F1則有AB⊥BF1，設(shè)BF2=m所以tan∠BAF1所以AF因此AF在Rt△ABF1即916整理得3m2+16am?12a2所以BF令雙曲線半焦距為c，在Rt△BF1F2解得ca所以E的離心率為173故選：B.一、單選題1．（2025·北京·高考真題）雙曲線x2?4yA．32 B．52 C．54【答案】B【解題思路】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,b,c，即可求出離心率．【解答過程】由x2?4y2=4即a=2,c=5，所以e=故選：B．2．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2?y2m=1A．4 B．2 C．12 D．【答案】A【解題思路】根據(jù)漸近線的斜率列方程即可得解.【解答過程】由題知，雙曲線焦點在x軸上，且其中一條漸近線方程為y=2x，所以m1=2，解得故選：A.3．（2025·北京·三模）“k=12”是“直線y=kx?4與雙曲線xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】首先利用直線與雙曲線只有一個公共點，聯(lián)立方程組化簡，討論二次項系數(shù)，求得k的值，從而可進(jìn)行判斷.【解答過程】∵直線與y=kx?4與雙曲線x∴聯(lián)立方程組y=kx?4x24?當(dāng)1?4k2=0，即k=±∵雙曲線x24?∴此時直線y=±12x?4當(dāng)1?4k2≠0，即k≠±此時直線與雙曲線恒有兩個不同的交點；∴當(dāng)且僅當(dāng)k=±12時，直線與y=kx?4∴由k=12能推出直線y=kx?4反之，當(dāng)直線y=kx?4與雙曲線x24∴“k=12”是“直線y=kx?4故選：A.4．（2025·北京海淀·二模）已知A?2,0,B2,0．若動點P滿足PA?PBA．x2?yC．y23?【答案】D【解題思路】由雙曲線的定義即可得出答案.【解答過程】∵A?2,0,B2,0，動點P∴動點P的軌跡為雙曲線且為右支，PA?PB=2=2a?a=1，c=2∴P的軌跡的方程為x2故選：D.5．（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知雙曲線C關(guān)于原點對稱，其中一個焦點的坐標(biāo)為5,0，一條漸近線方程為y=43xA．3 B．6 C．4 D．8【答案】B【解題思路】根據(jù)焦點坐標(biāo)和漸近線方程列出方程組，求出a,b即可得解.【解答過程】由題意設(shè)雙曲線C的方程為x2a2解得a=3b=4，故所求實軸長為2a=6故選：B.6．（2025·寧夏銀川·三模）已知雙曲線C:x23?y2=1的左?右焦點分別為F1,A．8+25 B．8 C．4+25 【答案】C【解題思路】設(shè)MF2=n,MF1=m【解答過程】設(shè)MF2=n,MF1=m所以MF12+M由雙曲線C:x23所以m2+n所以m2?2mn+n所以m+n2即m+n=25，而MN所以m+n+MN=4+25，所以△M故選：C.7．（2025·天津和平·三模）已知雙曲線C的上，下焦點分別為點F1，F(xiàn)2，若C的實軸長為1，且C上點P滿足PF1⊥PF2A．y2?x24=1 B．y【答案】D【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理，聯(lián)立方程即可求解.【解答過程】由題意設(shè)雙曲線方程為y2由題意可知a=1由于PF1⊥PF2，P故b=c故雙曲線方程為4y故選：D.8．（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1,A．3+1 B．2 C．3+12【答案】C【解題思路】根據(jù)題意設(shè)F1F2=AF2【解答過程】由題意設(shè)F1因為B為線段AF1的中點，所以又|BF2|=c，所以|B根據(jù)雙曲線定義知|AF1|=|A解得ca=3故選：C.二、多選題9．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知點P在雙曲線x216?y29=1A．點P到x軸的距離為203 B．C．△PF1F2【答案】BC【解題思路】設(shè)點PxP,yP，根據(jù)S△PF1F2=12×2cyP=20【解答過程】設(shè)點Px因為雙曲線C:x216?y29=1，所以對于A，S△PF1所以點P到x軸的距離為4，錯誤．對于B，將yP=4代入x216?由雙曲線的對稱性，不妨取點P的坐標(biāo)為203,4，得由雙曲線的定義得PF1=對于C，結(jié)合B選項，在△PF1F且cos∠PF2所以△PF對于D，由S△PF1F2所以∠F1P故選：BC.10．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知F2,0是雙曲線C:x2?yA．雙曲線C的虛軸長為2B．OP≥PF（C．雙曲線C的漸近線方程為y=±D．M為圓E:x+22+【答案】ABD【解題思路】A利用a,b,c之間的關(guān)系求出b；B根據(jù)右頂點A1,0是OF的中點可判斷；C漸近線方程為y=±bax；D將【解答過程】由題意知a=1，c=2，則b=3，虛軸長為2b=2易知右頂點A1,0是OF的中點，當(dāng)點P在右支上運動時，有OP雙曲線C的漸近線方程為y=±3易知E?2,0為雙曲線的左焦點，則PE則PM?故選：ABD.11．（2025·全國二卷·高考真題）雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，左、右頂點分別為A．∠A1MC．C的離心率為13 D．當(dāng)a=2時，四邊形NA【答案】ACD【解題思路】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由F1M⊥F2M且MO=c結(jié)合M在漸近線上可求【解答過程】不妨設(shè)漸近線為y=bax，M對于A，由雙曲線的對稱性可得A1MA故A正確；對于B，方法一：因為M在以F1F2為直徑的圓上，故F設(shè)Mx0,y0，則x由A得∠A1MA2方法二：因為tan∠MOA2則cos∠MOA2=ac，又因為以F1F2則若過點M往x軸作垂線，垂足為H，則OH=c?ac=a=OA2，則點H方法三：在△OMA2利用余弦定理知，即MA22則△A1A2M對于C，方法一：因為MO=12由B可知MA故4c2=故離心率e=13方法二：因為MA2A1A對于D，當(dāng)a=2時，由C可知e=13，故故b=26，故四邊形NA1故D正確，故選：ACD.三、填空題12．（2025·上?！と＃╇p曲線x24?y2【答案】2【解題思路】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出焦距.【解答過程】雙曲線x24?y23=1所以所求焦距為27故答案為：2713．（2025·北京大興·三模）若雙曲線y2m?x2=1（m>0）的一條漸近線方程為y=【答案】3【解題思路】由焦點落在y軸上的雙曲線方程漸近線為y=±abx，即可得y=【解答過程】由雙曲線y2m?x2=1（m>0）可知雙曲線焦點在故答案為：3.14．（2025·福建三明·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F【答案】21【解題思路】設(shè)|AF1|=m，則|AB|=m+2a，|BF1|=2a，|BF2|=4a【解答過程】設(shè)|AF1|=m，則|AB|=AF

在等腰△AF2B中，cos∠AF又cos∠F2所以m=a，則|AF1|=a在△AF1F2中所以e=c故答案為：213四、解答題15．（2025·河北保定·二模）已知雙曲線C:x2a2?(1)求C的方程；(2)若A是C的左頂點，直線l:y=3x?3與C交于P，Q兩點，求△APQ的面