專題8.2兩條直線的位置關(guān)系（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求與已知直線平行、垂直的直線方程】 3【題型2兩條直線平行及其應(yīng)用】 5【題型3兩條直線垂直及其應(yīng)用】 7【題型4直線的交點(diǎn)問(wèn)題】 8【題型5點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用】 9【題型6兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】 11【題型7與距離有關(guān)的最值問(wèn)題】 12【題型8點(diǎn)、線間的對(duì)稱問(wèn)題】 14【題型9直線系方程】 171、兩條直線的位置關(guān)系考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直(2)能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(3)掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離2022年上海卷：第7題，5分2024年北京卷：第3題，4分2025年全國(guó)一卷：第7題，5分2025年天津卷：第12題，5分從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系、距離公式的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式考查，考查內(nèi)容、頻率、題型與難度均變化不大；復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)兩條直線的位置關(guān)系、距離公式、對(duì)稱關(guān)系的掌握，靈活求解.知識(shí)點(diǎn)1兩條直線的位置關(guān)系1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當(dāng)時(shí)，記為）垂直k1·k2=-1（當(dāng)時(shí)，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當(dāng)時(shí)，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當(dāng)時(shí)，記為）2．平行的直線的設(shè)法平行：與直線Ax+By+n=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0.3．垂直的直線的設(shè)法垂直：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+m=0.知識(shí)點(diǎn)2直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無(wú)窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線，直線.方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行2．直線系方程過(guò)直線與的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，λ∈R，但不包括直線l2.知識(shí)點(diǎn)3距離公式1．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.2．點(diǎn)到直線的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.

(2)公式：已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng).

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.知識(shí)點(diǎn)4點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系1．六種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,-y).(2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y).(3)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)，關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x).(4)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y)，關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b-y).(5)點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,2b-y).(6)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k-y,k-x)，關(guān)于直線x-y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k+y,x-k).2．對(duì)稱問(wèn)題的求解策略(1)解決對(duì)稱問(wèn)題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.(2)中心對(duì)稱問(wèn)題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，兩點(diǎn)軸對(duì)稱問(wèn)題可以利用垂直和中點(diǎn)兩個(gè)條件列方程組解題.【方法技巧與總結(jié)】1．判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)：(1)斜率不存在的特殊情況；(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.2．使用兩條平行線間的距離公式前要把兩條直線方程化為一般式且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.【題型1求與已知直線平行、垂直的直線方程】【例1】（25-26高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知直線x?my+m?1=0恒過(guò)點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P并與直線x?2y+4=0垂直的直線方程為（

）A．2x+y?3=0 B．2x+y+1=0C．x?2y+1=0 D．2x?y+3=0【答案】A【解題思路】根據(jù)恒過(guò)定點(diǎn)化簡(jiǎn)直線方程求出P(1,1)，再根據(jù)垂直關(guān)系求出所求直線的斜率，列點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可.【解答過(guò)程】由x?my+m?1=0，得x?1=m(y?1)，直線x?my+m?1=0恒過(guò)點(diǎn)P(1,1)．因?yàn)閤?2y+4=0的斜率為12所以所求直線的斜率為?2，其方程為y?1=?2(x?1)，即2x+y?3=0，故選：A．【變式1-1】（2025·山東·二模）已知直線l與直線x?y=0平行，且在y軸上的截距是?2，則直線l的方程是（

）A．x?y+2=0 B．x?2y+4=0C．x?y?2=0 D．x+2y?4=0【答案】C【解題思路】依題意設(shè)直線l的方程為x?y+m=0，代入0,?2求出參數(shù)的值，即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l平行于直線x?y=0，所以直線l可設(shè)為x?y+m=0，因?yàn)樵趛軸上的截距是?2，則過(guò)點(diǎn)0,?2，代入直線方程得0??2解得m=?2，所以直線l的方程是x?y?2=0.故選：C.【變式1-2】（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）將直線l1:x+y?2=0繞點(diǎn)(2,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l2，則直線lA．2x?y+4=0 B．x+y+2=0 C．x?y?2=0 D．2x?y?4=0【答案】C【解題思路】由題意可知，l1⊥l2，所以l1,l2的斜率之積為【解答過(guò)程】設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1由題意可知，l1⊥l2，所以因?yàn)閘2過(guò)點(diǎn)(2,0)，所以由直線的點(diǎn)斜式方程可知l2的方程為即x?y?2=0．故選：C.【變式1-3】（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)A(1,2)，B(?2,3)，則過(guò)點(diǎn)A且與直線AB垂直的直線l的方程為（

）A．3x?y?1=0 B．3x?y?2=0 C．3x+y?5=0 D．3y?x?5=0【答案】A【解題思路】利用兩點(diǎn)確定直線的斜率，再利用兩垂直直線間的斜率關(guān)系，可求出kl【解答過(guò)程】由題意知A(1,2)，B(?2,3)，則直線AB的斜率kAB因?yàn)橹本€l與直線AB垂直，根據(jù)兩直線垂直，若存在斜率，則兩斜率乘積為?1，所以直線l的斜率kl=3，再由直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)則由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程為y?2=3(x?1)，即3x?y?1=0，故選：A.【題型2兩條直線平行及其應(yīng)用】【例2】（2025·寧夏中衛(wèi)·三模）若直線l1：m?2x+3y+3=0與直線l2：2x+m?1y+2=0A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4【答案】D【解題思路】根據(jù)直線一般方程的平行關(guān)系求m的值，并代入檢驗(yàn)即可.【解答過(guò)程】依題意得，m?2m?1得m2解得m=4或m=?1，若m=4時(shí)，直線l1:2x+3y+3=0與直線若m=?1時(shí)，直線l1:x?y?1=0與直線綜上所述：m=4或m=?1．故選：D.【變式2-1】（2025·上?！と＃┰O(shè)a為實(shí)數(shù)，直線l1:ax+y=1，直線l2:x+ay=2a，則“a=1”是“A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要【答案】A【解題思路】利用兩者之間推出的關(guān)系可得條件關(guān)系.【解答過(guò)程】若a=1，則直線l1:x+y=1，直線l2若l1,l2平行，則當(dāng)a=1時(shí)，l1當(dāng)a=?1時(shí)，直線l1:?x+y=1，直線l2故l1,l2平行時(shí)推不出a=1，故“故選：A.【變式2-2】（2025·天津和平·二模）若a∈R，直線l1：x+2ay?1=0，直線l2：3a?1x?ay?1=0，則“a=0”是“l(fā)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可求解.【解答過(guò)程】當(dāng)a=0時(shí)，l1:x?1=0,l若l1//l2，則1×(?a)=2a(3a?1)，解得所以“a=0”是“l(fā)1故選：A.【變式2-3】（2025·廣東茂名·一模）已知直線l1:x+my?5=0，直線l2:mx+y+3=0，若l1∥lA．1 B．?1 C．?1或1 D．0【答案】C【解題思路】根據(jù)兩直線平行時(shí)系數(shù)的關(guān)系求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)兩直線平行，可知1×1=m解得m=±1.故選：C.【題型3兩條直線垂直及其應(yīng)用】【例3】（2025·陜西西安·二模）已知點(diǎn)M(m,?1)，N(4,m)，且直線MN與直線2x?y+3=0垂直，則m=（

）A．?6 B．73 C．23 【答案】A【解題思路】借助垂直直線斜率的關(guān)系計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】由題意可得?1?mm?4?2=?1，解得故選：A.【變式3-1】（2025·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:x+my+1=0與直線l2:x+(1?2m)y?3=0，則“m∈{1,?2}”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解題思路】由l1⊥l2，計(jì)算得【解答過(guò)程】因?yàn)閘1所以1+m(1?2m)=0，解得m=1或m=?1所以“m∈{1,?2}”是“l(fā)1故選：D．【變式3-2】（2024·河南·三模）已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x?3垂直，則（

）A．A=?2B≠0 B．A=2B≠0C．B=?2A≠0 D．B=2A≠0【答案】D【解題思路】由直線垂直的充要條件即可列式得解.【解答過(guò)程】直線y=2x?3的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線Ax+By+C=0的斜率為?1即?AB=?12且A≠0故選：D.【變式3-3】（25-26高三上·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知直線l1:2x?y+1=0與l2:x+ky?3=0垂直，則實(shí)數(shù)A．2 B．-2 C．12 D．【答案】A【解題思路】對(duì)k分類討論，利用相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系即可求解.【解答過(guò)程】當(dāng)k=0時(shí)，得l2:x=3，此時(shí)l1當(dāng)k≠0時(shí)，若l1⊥l2，則故選：A.【題型4直線的交點(diǎn)問(wèn)題】【例4】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）直線2x+5y?7=0和3x+2y+6=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．4,3 B．3,4 C．?4,3 D．?4,?3【答案】C【解題思路】聯(lián)立方程求解即可.【解答過(guò)程】由方程組2x+5y?7=03x+2y+6=0，得x=?4y=3，即交點(diǎn)為故選：C．【變式4-1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直線l過(guò)直線l1:x?y=0和l2:x+y?2=0的交點(diǎn)，且與3x+4y?5=0平行，則A．3x+4y+7=0 B．3x+4y?7=0C．4x?3y+1=0 D．4x?3y?1=0【答案】B【解題思路】求出直線l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為3x+4y+m=0，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的方程，求出實(shí)數(shù)m的值，即可得出直線【解答過(guò)程】聯(lián)立直線l1、l2的方程，x?y=0x+y?2=0故直線l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)橹本€l與直線3x+4y?5=0平行，設(shè)直線l的方程為3x+4y+m=0，將點(diǎn)1,1的坐標(biāo)代入直線l的方程可得3+4+m=0，解得m=?7.因此，直線l的方程為3x+4y?7=0.故選：B.【變式4-2】（24-25高二上·遼寧葫蘆島·期末）直線2x?y+3=0與x+ay?1=0互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．1,5 B．?1,?1 C．?1,1 D．?2,?1【答案】C【解題思路】先利用垂直關(guān)系求出a，再代入方程聯(lián)立求解交點(diǎn).【解答過(guò)程】直線2x?y+3=0與x+ay?1=0互相垂直,可得2×1+(?a)=0，即a=2.把a(bǔ)=2代入直線x+ay?1=0，得到x+2y?1=0.聯(lián)立方程組2x?y+3=0解得x=?1.把x=?1代入y=2x+3，得y=2×(?1)+3=1.所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,1).故選：C.【變式4-3】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）若直線l1：x+2y?4=0與直線l2：kx?y+2k+1=0的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A．?16,C．?∞,?1【答案】A【解題思路】聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可列出不等式組，即可求得答案.【解答過(guò)程】由題意聯(lián)立x+2y?4=0kx?y+2k+1=0，解得x=即直線l1：x+2y?4=0與直線l2：kx?y+2k+1=0的交點(diǎn)為由題意可得2?4k2k+1>06k+1即實(shí)數(shù)k的取值范圍是?1故選：A.【題型5點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用】【例5】（24-25高一下·浙江寧波·期末）已知直線l過(guò)點(diǎn)P2,2且傾斜角為135°，則點(diǎn)Q?2,0到直線lA．2 B．22 C．32 【答案】C【解題思路】利用直線的點(diǎn)斜式方程求出直線l的方程，再代入點(diǎn)到直線距離公式即可.【解答過(guò)程】易知直線l的斜率為tan135°=?1所以其方程為y?2=?1x?2，即x+y?4=0可得點(diǎn)Q?2,0到直線l的距離為d=故選：C.【變式5-1】（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知A?3,?4，B6,3兩點(diǎn)到直線l：ax+y+1=0的距離相等，則a的值為（A．13 B．?79 C．?13或?【答案】C【解題思路】法一：由點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)值；法二：兩點(diǎn)到直線的距離相等，則直線與兩定點(diǎn)所在直線平行，或直線過(guò)以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，列方程求參數(shù)值.【解答過(guò)程】法一：因?yàn)辄c(diǎn)A?3,?4，B6,3到直線l：所以?3a?4+1a2+1化簡(jiǎn)得27a2+30a+7=0，解得a=?法二：若AB//l，由A?3,?4，B6,3，得直線AB的斜率為3??46??3=7若A,B在l兩側(cè)，線段AB的中點(diǎn)32,?12，代入直線l：ax+y+1=0，得經(jīng)檢驗(yàn)，a=?13或故選：C.【變式5-2】（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）點(diǎn)3,7到直線2x?y?3=0的距離為（

）A．?4 B．2 C．22 D．【答案】D【解題思路】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【解答過(guò)程】點(diǎn)到直線的距離d=2×3?7?3故選：D.【變式5-3】（24-25高二上·湖北武漢·期中）已知直線l1:x+y?3=0與l2:3x?y?1=0相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M到直線A．55 B．255 C．5【答案】A【解題思路】解方程組求得交點(diǎn)M坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算出距離．【解答過(guò)程】由x+y?3=03x?y?1=0得x=1y=2，即所以點(diǎn)M到直線l3:2x?y+1=0的距離為故選：A．【題型6兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】【例6】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）平行直線l1:2x?3y+2=0與l2A．613 B．13 C．21313【答案】D【解題思路】先根據(jù)兩直線平行求出a的值，再由兩直線間的距離公式求解.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l1:2x?3y+2=0與所以2a??1×?3則l2:3所以兩直線間的距離為2??4故選：D.【變式6-1】（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若直線l1：x+2y?3=0與直線l2：kx?2y+1=0k∈RA．55 B．255 C．4【答案】B【解題思路】先由直線平行求出參數(shù)k，再由兩平行直線的距離公式即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l1：x+2y?3=0與直線l2：所以k1=?2所以直線l2：?x?2y+1=0即x+2y?1=0所以這兩條直線間的距離為d=?1?故選：B.【變式6-2】（2025·上海奉賢·二模）直線3x+4y?5=0上的動(dòng)點(diǎn)P和直線3x+4y+10=0上的動(dòng)點(diǎn)Q，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值是．【答案】3【解題思路】利用平行線之間的距離公式求解即可.【解答過(guò)程】直線3x+4y?5=0和直線3x+4y+10=0互相平行，故點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值即兩條直線間的距離，且兩條直線間的距離：d=?5?10故答案為：3.【變式6-3】（24-25高三上·上海虹口·階段練習(xí)）已知m∈R，直線l1:3x?y+7=0,l2:mx+y?1=0，若l1∥【答案】3【解題思路】先通過(guò)平行求出m，再利用平行線的距離公式求解即可.【解答過(guò)程】由l1∥l2得則直線l2:?∴l(xiāng)1與l故答案為：3.【題型7與距離有關(guān)的最值問(wèn)題】【例7】（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x+4y=5，則x2+yA．15 B．35 C．4【答案】D【解題思路】x2+y2為直線【解答過(guò)程】x2+y2為直線所以x2+y又原點(diǎn)到直線3x+4y=5的距離d=|3×0+4×0?5|所以x2故選：D.【變式7-1】（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）若動(dòng)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2分別在直線A．513 B．2 C．12 【答案】A【解題思路】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)A,B滿足的關(guān)系式，結(jié)合中點(diǎn)公式可得中點(diǎn)M滿足的方程，利用點(diǎn)到直線的距離求解.【解答過(guò)程】設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,y，則有2x=x又Ax1,y1，B∴聯(lián)立得5x1?12∴10x?24y+10=0，即5x?12y+5=0，即AB的中點(diǎn)M在直線5x?12y+5=0上移動(dòng)，∴M到原點(diǎn)距離的最小值即原點(diǎn)到直線5x?12y+5=0的距離d=5故選：A.【變式7-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知函數(shù)fx=a?2x2+bx?a+1（a，b∈R且a≠2）在區(qū)間A．32 B．12 C．2【答案】D【解題思路】轉(zhuǎn)換主參變量，利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求得a2【解答過(guò)程】依題意fx=a?2整理得x2?1a+xb+1?2a,b表示坐標(biāo)系aOb中，直線x2?1a+xb+1?2所以a2+b設(shè)d=1?2由于1≤x≤2,1≤x2≤4，所以當(dāng)x=1時(shí)，d所以a2+b故選：D.【變式7-3】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·三模）出租車幾何，又稱曼哈頓距離（ManhattanDistance），最早由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基在研究度量幾何時(shí)提出，用以標(biāo)明兩點(diǎn)在各坐標(biāo)軸上的絕對(duì)差之和.設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，則A，B兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離為AB=x1?xA．255 B．55 C．4【答案】A【解題思路】由題意可知P的軌跡關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，進(jìn)而先研究其在x≥0,y≥0時(shí)的函數(shù)解析式，并畫(huà)出其圖象，結(jié)合對(duì)稱性可將圖象補(bǔ)充完整，數(shù)形結(jié)合求解即可.【解答過(guò)程】由題意可知，P的軌跡關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱．當(dāng)x≥0,y≥0時(shí)，PF即y=畫(huà)出此函數(shù)的圖象，并結(jié)合對(duì)稱性可得點(diǎn)P的軌跡是如圖所示的六邊形．由圖可知，|PQ|的最小值為圖中點(diǎn)A(1,1)到直線l的距離故選：A.【題型8點(diǎn)、線間的對(duì)稱問(wèn)題】【例8】（24-25高二下·上海·階段練習(xí)）點(diǎn)P2,?3關(guān)于直線l:y=x+1?的對(duì)稱點(diǎn)為（A．?3,4 B．?4,?3 C．?4,3 D．?3,?4【答案】C【解題思路】設(shè)點(diǎn)P2,?3關(guān)于直線l:y=x+1?的對(duì)稱點(diǎn)為【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)P2,?3關(guān)于直線l:y=x+1?的對(duì)稱點(diǎn)為則滿足y+3x?2×1=?1y?32=故選：C.【變式8-1】（24-25高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知直線l1:x?y+3=0,l0:x?y?1=0，若l1關(guān)于l0A．x?y?3=0 B．x?y+5=0C．x?y+3=0 D．x?y?5=0【答案】D【解題思路】根據(jù)條件判斷l(xiāng)2//l0，可設(shè)l2:x?y+m=0，利用對(duì)稱性可知l1【解答過(guò)程】因?yàn)閘1//l0，所以l2//l因?yàn)橹本€l1,l2關(guān)于直線l0對(duì)稱，所以l1與由兩平行直線間的距離公式，得|3?(?1)|2=|m?(?1)|2，解得所以直線l2的方程為x?y?5=0故選：D.【變式8-2】（24-25高二上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖已知A4,0，B0,4，O0,0，若光線L從點(diǎn)P2,0射出，直線AB反射后到直線OB上，再經(jīng)直線OB反射回原點(diǎn)P，則光線A．y=2x?4 B．y=52x?5 C．y=3x?6【答案】C【解題思路】由點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1(?2,0)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB:x+y?4=0的對(duì)稱點(diǎn)P2(a,b)列方程組求出a=4，b=2，從而求出直線MN:x?3y+2=0，聯(lián)立x?3y+2=0x+y?4=0【解答過(guò)程】由題意知，過(guò)點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B(0,4)的直線為x+y?4=0，且點(diǎn)P(2,0)，設(shè)光線分別射在AB,OB上的M,N處，由于光線從點(diǎn)P經(jīng)兩次反射后又回到P點(diǎn)，根據(jù)反射規(guī)律，則∠PMA=∠BMN,∠PNO=∠BNM作出點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，作出點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P則∠所以P1因?yàn)椤螾2AB=∠PAB=45°點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB:x+y?4=0的對(duì)稱點(diǎn)P所以b?0a?2×(?1)=?1a+2所以直線MN:yx+2聯(lián)立x?3y+2=0x+y?4=0，得x=所以直線PM:yx?2=3故選：C．【變式8-3】（24-25高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營(yíng)所在的位置為B?2,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)A13,0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為A．1453 B．5 C．15 D．【答案】A【解題思路】先求出點(diǎn)B(?2,0)關(guān)于直線x+2y=3的對(duì)稱點(diǎn)為C，則線段|AC|的長(zhǎng)度即為最短總路程，再利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解．【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)B(?2,0)關(guān)于直線x+2y=3的對(duì)稱點(diǎn)為C(m,n)，則nm+2?(?1∴C(0,4)，又點(diǎn)A故“將軍飲馬”的最短總路程為|AC|=1故選：A．【題型9直線系方程】【例9】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)兩直線l1:x?3y+4=0和l2A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【解題思路】設(shè)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x?3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得4+5λ=0，求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x?3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得4+5λ=0，解得λ=?4故所求直線方程為x?3y+4?45(2x+y+5)=0故選：D.【變式9-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）過(guò)直線3x?2y+3=0與x+y?4=0的交點(diǎn)，與直線2x+y?1=0平行的直線方程為（

）A．2x+y?5=0 B．2x+y+1=0C．x+2y?7=0 D．x?2y+5=0【答案】A【解題思路】利用直線系方程結(jié)合直線平行的條件可得參數(shù)，進(jìn)而即得．【解答過(guò)程】由已知，可設(shè)所求直線的方程為：3x?2y+3+λ即λ+3x+又因?yàn)榇酥本€與直線2x+y?1=0平行，所以：λ+32解得：λ=7，所以所求直線的方程為：10x+5y?25=0，即2x+y?5=0．故選：A．【變式9-2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0)和兩直線l1:x+2y?2=0；l2:3x?2y+2=0交點(diǎn)的直線方程為【答案】x+y?1=0【解題思路】設(shè)所求直線方程為x+2y?2+λ(3x?2y+2)=0，將點(diǎn)P代入方程，求得λ，即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)所求直線方程為x+2y?2+λ(3x?2y+2)=0，點(diǎn)P(1,0)在直線上，∴1?2+λ(3+2)=0，解得λ=1∴所求直線方程為x+2y?2+15×(3x?2y+2)=0故答案為：x+y?1=0.【變式9-3】（24-25高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）過(guò)兩直線2023x?2022y?1=0和2022x+2023y+1=0的交點(diǎn)且過(guò)原點(diǎn)的直線方程為．【答案】4045x+y=0【解題思路】根據(jù)直線相交設(shè)所求直線為2023x?2022y?1+λ(2022x+2023y+1)=0，結(jié)合直線過(guò)原點(diǎn)求參數(shù)，即可得方程.【解答過(guò)程】令所求直線為2023x?2022y?1+λ(2022x+2023y+1)=0，又直線過(guò)原點(diǎn)，則?1+λ=0?λ=1，所以所求直線為4045x+y=0.故答案為：4045x+y=0.一、單選題1．（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）若直線l1::a?2x+y+1=0與直線l2A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1【答案】A【解題思路】根據(jù)平行直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l1:a?2所以有a?2?a+1=1×2解得a=0，故選：A.2．（2025·山西·三模）已知直線l1:ax+y+a=0與l2:a?4x?5y?4=0，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】由l1⊥l【解答過(guò)程】由l1⊥l2，則aa?4所以“a=5”是“l(fā)1故選：A.3．（2025·廣西桂林·一模）已知直線l的一個(gè)方向向量為a=2,1，則過(guò)點(diǎn)A1,?1且與lA．x?2y?3=0 B．x?2y+1=0C．2x+y?3=0 D．2x+y?1=0【答案】D【解題思路】據(jù)直線方向向量求出斜率，由兩直線位置關(guān)系求與l垂直的直線斜率，點(diǎn)斜式表達(dá)方程即可得解.【解答過(guò)程】∵l的方向向量為a=2,1，則l斜率為12，因?yàn)橹本€與又∵過(guò)A點(diǎn)，所以直線方程為y+1=?2(x?1)，整理可得2x+y?1=0.故選：D.4．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知直線2x+y?2m=0與直線4x?my?3=0平行，則它們之間的距離是（

）A．1155 B．11510 C．【答案】B【解題思路】先求出m，然后由平行線之間的距離求解即可.【解答過(guò)程】直線2x+y?2m=0即直線4x+2y?4m=0，與直線4x?my?3=0平行，則m=?2，故所求即為平行直線4x+2y+8=0與4x+2y?3=0之間的距離，即所求為8+316+4故選：B.5．（2024·山東·一模）過(guò)直線x+y+2=0與x?y?4=0的交點(diǎn)且與直線x+2y+1=0垂直的直線方程為（

）A．x+2y+5=0 B．x+2y?5=0C．2x?y+5=0 D．2x?y?5=0【答案】D【解題思路】求出兩條直線的交點(diǎn)，設(shè)出所求直線的方程，并求出待定系數(shù)即得.【解答過(guò)程】由x+y+2=0x?y?4=0，解得x=1y=?3，則所求方程的直線過(guò)點(diǎn)設(shè)所求直線方程為2x?y+m=0，于是2×1?(?3)+m=0，解得m=?5，所以所求直線方程為2x?y?5=0.故選：D.6．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)P?1,3關(guān)于直線x?y=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q到直線3x+y?2=0的距離為（

A．355 B．310 C．3【答案】C【解題思路】由對(duì)稱關(guān)系求得Q，再由點(diǎn)到線距離公式求解；【解答過(guò)程】設(shè)A?1,3關(guān)于直線x?y=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q由對(duì)稱關(guān)系可得b?3a+1解得a=3b=?1∴Q則點(diǎn)Q3,?1到直線l：3x+y?2=0的距離為d=故選：C．7．（2025·山東·一模）實(shí)數(shù)a,b滿足a+b+1=0，則a2?2a+bA．2 B．1 C．0 D．?1【答案】B【解題思路】由點(diǎn)到線的距離公式求解最小值，即可求解.【解答過(guò)程】a2其中a?12+b2為兩點(diǎn)所以其最小值即為1,0到直線a+b+1=0距離的平方，即22所以a?12故選：B.8．（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線l:x+y?1=0，一束光線從原點(diǎn)O出發(fā)沿射線y=kxx≥0向直線l射出，經(jīng)l反射后與x軸交于點(diǎn)M，再次經(jīng)x軸反射后與y軸交于點(diǎn)N.若MN=136，則A．32 B．C．12 D．【答案】B【解題思路】根據(jù)光學(xué)的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)稱性可先求O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，后求直線AP，可得M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而由MN=136【解答過(guò)程】如圖，設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Ax則x12+y1由題意知y=kxx≥0與直線l不平行，故k≠?1由y=kxx+y?1=0，得x=1k+1故直線AP的斜率為kAP直線AP的直線方程為：y?1=1令y=0得x=1?k，故M1?k,0令x=0得y=1?1k，故由對(duì)稱性可得由MN=136得(1?k)解得k+1k=136若k=32，則第二次反射后光線不會(huì)與故k=2故選：B.二、多選題9．（2025高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）已知直線l1:x+ay+1=0，l2A．當(dāng)a=1時(shí)，直線l1的傾斜角為45° B．若l1C．若l1//l2，則a=?1 【答案】BD【解題思路】本題給了兩條含參的直線方程，通過(guò)不同條件判斷直線的性質(zhì)或已知直線性質(zhì)求參數(shù)范圍.【解答過(guò)程】對(duì)于A，當(dāng)a=1時(shí)，直線l1:x+y+1=0，斜率k=?1，則傾斜角為對(duì)于B，l1⊥l2，等價(jià)于對(duì)于C，若l1∥l2，則對(duì)于D，l2:(a?1)x+y+a=0，當(dāng)x=0時(shí)，y=?a，所以直線l2故選BD．10．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）平行于直線x?y?2=0，且與它距離為2的直線方程可能是（

）A．x?y=0 B．x?y?1=0C．x?y+1=0 D．x?y?4=0【答案】AD【解題思路】設(shè)與直線x?y?2=0平行的直線方程為x?y+m=0,m≠?2，然后由平行直線距離公式可得答案.【解答過(guò)程】由題意，設(shè)與直線x?y?2=0平行的直線方程為x?y+m=0,m≠?2，由兩平行直線間的距離公式可得d=|?2?m|2=2，解得m=0或m=?4，故所求直線方程為x?y=0故選：AD.11．（24-25高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知直線l1:4x?3y+4=0,lA．過(guò)點(diǎn)?1,2且垂直于直線l1的直線方程為B．直線l2過(guò)定點(diǎn)C．當(dāng)m=1時(shí)，lD．當(dāng)l1【答案】AD【解題思路】對(duì)于A，根據(jù)兩直線垂直，設(shè)出直線方程，代入已知點(diǎn)，可得答案；對(duì)于B，整理直線方程，建立方程組，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)兩直線垂直，建立方程，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)兩直線平行，建立方程，求得參數(shù)，利用平行線距離公式，可得答案.【解答過(guò)程】對(duì)于A，垂直于直線4x?3y+4=0的直線方程為3x+4y+t=0，將點(diǎn)?1,2代入得t=?5，故所求直線方程為3x+4y?5=0，故A正確；對(duì)于B，直線l2化為：mx?y+2+求得直線l2過(guò)定點(diǎn)?3,?1對(duì)于C，l1⊥l2時(shí)有：對(duì)于D，當(dāng)l1∥l2時(shí)，此時(shí)直線l1兩平行線間的距離為4?94故選：AD.三、填空題12．（2025·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:mx+2y?2=0與直線l2:5x+m+3y?5=0【答案】?5【解題思路】根據(jù)l1//l2可得出關(guān)于【解答過(guò)程】若l1//l所以m=2或m=?5．當(dāng)m=2時(shí)，l1，l2重合；當(dāng)故答案為：?5.13．（2025·云南曲靖·一模）已知直線l1：x+y+1=0與l2：m+2x+y+m=0平行，則l1與【答案】2【解題思路】由兩直線平行可求得m=?1，再由平行線間的距離公式代入計(jì)算可得結(jié)果.【解答過(guò)程】由l1與l2兩直線平行可得m+2=1，解得即可得l2：x+y?1=0所以l1與l2間的距離為故答案為：2.14．（24-25高二上·上?！て谀⒁粡堊鴺?biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)2,0與點(diǎn)1,1重合，此時(shí)點(diǎn)(m,n)與原點(diǎn)(0,0)重合，則m?n的值是．【答案】?1【解題思路】折痕為點(diǎn)2,0與點(diǎn)1,1的中垂線，得方程x?y?1=0，再根據(jù)點(diǎn)(m,n)與原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱可得答案.【解答過(guò)程】如圖：可知折痕為點(diǎn)2,0與點(diǎn)1,1的中垂線，中點(diǎn)坐標(biāo)為32設(shè)折痕直線的斜率為k，則k×1?01?2=?1故折痕直線方程為y?12=x?由題意點(diǎn)(m,n)與原點(diǎn)(0,0)關(guān)于折痕對(duì)稱，故m2?n2?1=0故答案為：?1.四、解答題15．（24-25高二上·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知直線l1：ax?a?4y+2=0，直線l(1)若l1∥l(2)若l1⊥l【答案】(1)a=2(2)a=6或a=0.【解題思路】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計(jì)算即可求參，再檢驗(yàn)是否重合；（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計(jì)算即可求參.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閘1∥l2，所以整理得a解得a=2或a=?4.當(dāng)a=?4時(shí)，l1當(dāng)a=2時(shí)，l1故a=2.（2）因?yàn)閘1⊥解得a=6或a=0.16．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求滿足下列條件的直線方程；(1)過(guò)點(diǎn)1,2，且與直線3x?2y+3=0平行的直線方程；(2)過(guò)點(diǎn)?1,2，且與直線3x?y+2=0垂直的直線方程；(3)過(guò)點(diǎn)1,?2，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．【答案】(1)3x?2y+1=0(2)x+3y?5=0(3)2x+y=0或x+y+1=0【解題思路】（1）根據(jù)平行直線的斜率相等即可求解；（2）根據(jù)互相垂線直線的斜率乘積為?1，從而求解直線方程；（3）分直線過(guò)原點(diǎn)、不過(guò)原點(diǎn)討論可得答案.【解答過(guò)程