專題7.5空間向量的概念與運算（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間向量的線性運算】 4【題型2空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用】 6【題型3空間向量基本定理】 9【題型4共線問題】 11【題型5共面問題】 13【題型6空間向量的坐標(biāo)運算】 151、空間向量的概念與運算考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直2023年新高考I卷：第18題，12分2024年上海卷：第15題，5分空間向量與立體幾何是高考的重點、熱點內(nèi)容，空間向量的概念與運算是空間向量與立體幾何的基礎(chǔ).從近幾年的高考情況來看，空間向量的概念與運算的單獨考查相對較少，一般以選擇題、填空題的形式考查，主要涉及空間向量的線性運算、數(shù)量積運算與空間向量基本定理等，難度較易.知識點1空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量知識點2空間向量的線性運算1．空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共線向量定理(1)共線向量定理對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點共線.知識點3空間向量的數(shù)量積1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．4．空間向量數(shù)量積的計算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．知識點4空間向量基本定理及其應(yīng)用1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有，不能含有其他形式的向量．3．證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.4．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.5．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．6．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．知識點5空間向量的坐標(biāo)運算1．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標(biāo)運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【方法技巧與總結(jié)】1．三點共線：在平面中A,B,C三點共線(其中x+y=1)，O為平面內(nèi)任意一點.2．四點共面：在空間中P,A,B,C四點共面(其中x+y+z=1)，O為空間中任意一點.【題型1空間向量的線性運算】【例1】（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）在三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)AB=a，AC=b，AAA．a(chǎn)+b+c B．12a【答案】C【解題思路】由空間向量的線性運算法則即可求解．【解答過程】連接AN，如圖，因為N為BC的中點，所以A1故選：C．【變式1-1】（24-25高一下·福建福州·期末）點O在平行四邊形ABCD所在平面外，AC與BD交于點M，則2OA?OBA．OM B．2OM C．3OM 【答案】B【解題思路】由向量的線性運算即可求解.【解答過程】由題意點M是AC,BD的中點，所以2OA故選：B.【變式1-2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AC與BD相交于點M，設(shè)AB=A．?12aC．12a?【答案】B【解題思路】根據(jù)向量的線性運算求解即可.【解答過程】根據(jù)題意，B′故選：B.【變式1-3】（24-25高二上·山西·期末）如圖，在三棱柱ABC?DEF中，G,?H分別是棱BE,?AC的中點，則A．AB+12C．?AB+1【答案】C【解題思路】由空間向量的加減法運算的幾何表示和數(shù)乘關(guān)系即可得到答案.【解答過程】GH=故選：C.【題型2空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用】【例2】（24-25高二下·江蘇連云港·期中）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AAA．23 B．?23 C．3【答案】B【解題思路】利用向量的線性運算法則和數(shù)量積的性質(zhì)化簡條件可求AA【解答過程】因為A=所以AAcosA故選：B.【變式2-1】（24-25高一上·重慶·期末）已知空間向量a+b+c=0，且A．12 B．14 C．32【答案】B【解題思路】根據(jù)模長公式即可代入求解.【解答過程】由a+b+故?b=a故選：B.【變式2-2】（25-26高二上·全國·單元測試）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點，則CP?FQ=A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解題思路】根據(jù)向量的線性運算可得CP?【解答過程】由正八面體的性質(zhì)可得BF=AD，BF∥AD，則CP==?===1故選：D.【變式2-3】（2025·河南新鄉(xiāng)·二模）已知圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，若點P在圓錐MO的側(cè)面上運動，則PA?PB的最小值為（A．?94 B．?32 C．【答案】A【解題思路】由PA?PB=OA?OP?【解答過程】圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，則有OA=?OB，點P在圓錐MO的側(cè)面上運動，則PA?OP最小時，PA?PB有最小值，OP的最小值為Rt△MOA中，OA=3，OM=1，則AM=2，O點到MA的距離則OP的最小值為32，PA?PB故選：A.【題型3空間向量基本定理】【例3】（2025·湖北武漢·二模）在三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)AA1=a，AB=b，AC=A．12a+12b+c 【答案】B【解題思路】結(jié)合幾何圖形，利用給定的基底表示向量MN.【解答過程】在三棱柱ABC?A1B故選：B.【變式3-1】（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知空間向量a=(1,0,0),b=(0,1,0)，則下列向量可以與aA．c=(0,0,0) B．c=(0,0,1) C．c=(1,1,0)【答案】B【解題思路】根據(jù)基底的定義，判斷a,【解答過程】對于A，由于基底向量不能是零向量，故A錯誤，對于B，由于c=(0,0,1)與a對于C，c=(1,1,0)=a+對于D，c=(1,2,0)=a+2故選：B.【變式3-2】（24-25高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點E,F分別為PB,PD的中點，若PG=12GC，且AG=x

A．1 B．2 C．32 D．【答案】D【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算及空間向量基本定理即可求解.【解答過程】因為點E,F分別為PB,PD的中點，所以AE=所以AP+因為PG=12所以AG=又AG=xAE+yAF，則故選：D.【變式3-3】（24-25高一下·浙江寧波·期末）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點E為棱AA1的中點，點F為棱A．16 B．116 C．176【答案】B【解題思路】選一組基底AB,【解答過程】由題意有AE=1=AB所以x=y=1,z=?16，所以故選：B.【題型4共線問題】【例4】（24-25高二下·福建龍巖·期中）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+2e2A．?3 B．1 C．2 D．3【答案】A【解題思路】由AB=m【解答過程】因為A,B,C三點共線，所以AB=m即e1所以mλ=1mμ=2m=?1，解得所以λ+μ=?3，故選：A.【變式4-1】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列條件中，能說明空間中不重合的三點A、B、C共線的是（

）A．AB+BC=AC B．AB?BC【答案】C【解題思路】根據(jù)向量的加法運算可判斷A，根據(jù)向量的減法以及相反向量可判斷B，根據(jù)共線向量的定義可判斷C，向量的模長相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.【解答過程】對于A，對于空間中的任意向量，都有AB+對于B，若AB?BC=AC，則AC+BC=AB，而對于C，AB=?2BC，則A、B、對于D，AB=BC，則線段AB的長度與線段BC的長度相等，不一定有A、B、故選：C.【變式4-2】（24-25高二下·福建寧德·期末）已知向量a=?1,x,2，b=6,3,y，若a與b共線，則實數(shù)A．?6 B．6 C．3 D．?3【答案】B【解題思路】利用空間向量共線列式求出x,y即可.【解答過程】由向量a=?1,x,2，b=6,3,y共線，得所以xy=6.故選：B.【變式4-3】（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)向量e1,e2,e3不共面，已知AB=e1+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解題思路】利用A,C,D三點共線得到AC//【解答過程】因為A,C,D三點共線，所以AC//CD，則存在實數(shù)μ，使得由已知得CD=4e故4μ由于e1,e2另解:因為向量e1,e由已知得CD=4e故向量表達(dá)式中e1,e2,故選：C.【題型5共面問題】【例5】（25-26高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知M,A,B,C為空間中四點，任意三點不共線，且OM=xOA+yOB?OCx>0,y>0A．4 B．5 C．92 【答案】C【解題思路】利用空間向量四點共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可.【解答過程】因為M,A,B,C四點共面，OM所以由共面定理可得，x+y?1=1，即x+y=2，所以4x因為4yx當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，即所以4x故選：C.【變式5-1】（2025·山西臨汾·一模）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，H為CC1的中點，AF=λAH，λ∈0,1A．12 B．25 C．13【答案】D【解題思路】由四點B，D，C1，F(xiàn)共面可得存在實數(shù)x,y，使BF=xB【解答過程】由平行六面體的特征可得AH=

則AF=λ所以BF=又BD=AD?又由B，D，C1，F(xiàn)四點共面，可得存在實數(shù)x,y，使BF所以λ?1=?yλ=x+yλ2故選：D.【變式5-2】（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（其中O為坐標(biāo)原點）（）A．OM=OA?C．OM+OA+【答案】D【解題思路】根據(jù)四點共面的條件逐項判斷即可求得結(jié)論.【解答過程】空間向量共面定理：OM=x若A，B，C不共線，且對A，因為1?1?1≠1，所以A,B,C,M四點不共面；對B，因為15+1對C，由OM+OA+因為?1?1?1=?3≠1，所以A,B,C,M四點不共面；對D，由MA+MB+即OM=13OA+故選：D.【變式5-3】（2025高二·全國·專題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）①若MP=2MA?MB，則P，②若OA+OB+OC+OD=0，則③若OP=12OA+56OB?A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理判斷即可.【解答過程】根據(jù)共線定理推論，系數(shù)2?1=1，所以P，A，B三點共線，命題①正確；OA+OB+OC=?OD，若則根據(jù)平行六面體法則，此時A,B,C,D四點不共面，命題②錯誤；OP=所以PC=32PA+52PB，即故選：C.【題型6空間向量的坐標(biāo)運算】【例6】（2025·廣東惠州·三模）已知空間向量m,n滿足m?n=A．?2 B．1 C．0 D．?1【答案】D【解題思路】應(yīng)用向量線性運算的坐標(biāo)表示求出m,【解答過程】由題設(shè)2m=1,0,4所以|m故選：D.【變式6-1】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知空間向量a=6,2,1，b=2,x,?3，若a?2A．4 B．6 C．234 D．【答案】C【解題思路】求得a?2b=【解答過程】因為a?2因為a?2b⊥a，所以故選：C.【變式6-2】（24-25高二下·江蘇南京·期中）已知a=(?3,2,5),b=(1,5,?1)，則(A．11 B．?13 C．45 D．3【答案】A【解題思路】先根據(jù)空間向量的線性運算得出a→【解答過程】因為a→所以a→所以a→故選：A.【變式6-3】（2025·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)x,y∈R,a=1,1,1,bA．22 B．0 C．3 D．【答案】D【解題思路】由向量的共線與垂直條件求解b,【解答過程】a=由a⊥c，則有a?c=x?4+2=0由b//c，則有12=y所以b=1,?2,1，故則2a故選：D.一、單選題1．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知正方體ABCD?A1B1C1DA．12a+b+c B．1【答案】B【解題思路】根據(jù)方程組AA1→【解答過程】由于AA所以AA1=12故選：B.2．（2025·遼寧鞍山·一模）已知向量a=(3,5,1)，b=(2,1,4)，則(aA．36 B．32 C．56 D．52【答案】A【解題思路】利用空間向量運算的坐標(biāo)表示，列式計算即得.【解答過程】向量a=(3,5,1)，b=(2,1,4)，則所以(a故選：A.3．（2025·山東濟南·三模）已知在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，三點A(1,1,0),B(0,2,1),C(2,1,?1)，則向量AC與OB夾角的余弦值為（A．?66 B．?36 C．【答案】A【解題思路】根據(jù)給定條件，利用空間向量夾角公式求解.【解答過程】依題意，AC=(1,0,?1),所以向量AC與OB夾角的余弦值為AC?故選：A.4．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，若AB+DC=λEF，則A．12 B．1 C．2 【答案】C【解題思路】根據(jù)向量加法法則，將AB+DC,【解答過程】如圖，AB+EF=∴AB+DC故選：C.5．（2025·湖北·二模）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AM=12MC，A1N=2NDA．34 B．C．23 D．【答案】D【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算得MN=【解答過程】因為AM=12MC則MN=?1所以x=?13,y=z=故選：D.6．（2025·上海黃浦·二模）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)a=AA1，

A．BB1 B．BC1 C．【答案】B【解題思路】利用平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合空間共面向量定理愛空間向量基本定理逐項判斷.【解答過程】由a=AA1，b=DB1，a、b、對于A，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，對于C，BD=BB1+B1對于D，BD1=BD+DD對于B，由DB1=DA+假設(shè)BC1與a、b共面，則存在x,y∈R而BC1=整理得(x+y?1)a+(y+1)DA假設(shè)不成立，因此BC1與a、b不共面，c可以是故選：B.7．（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）已知空間中有5個點E、A、B、C、D，若滿足1?λEA=13EB+14EC+λAD，且AA．712 B．512 C．14【答案】B【解題思路】根據(jù)空間共面向量定理的推論可求λ的值.【解答過程】由EA?λEA=即EA=由空間向量共面定理的推論可知，13+1故選：B.8．（2025·山西·一模）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2A．0,2 B．1,3 C．2【答案】C【解題思路】取AB中點為原點O，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,0,z，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到PC【解答過程】如圖取AB中點為原點O，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,0,z其中?1≤x≤1，0≤z≤2，C0,3,0PC=?x,3,?z，當(dāng)x=±1，且z=0或z=2時，PC?當(dāng)x=0，且z=1時，PC?PC1取最小值2，所以故選：C.二、多選題9．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）若A,B,C,D為空間中不同的四點，則下列各式結(jié)果一定是零向量的是（

）A．AB+2BC+2C．AB+DA+【答案】BCD【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算逐一計算可判斷其正誤.【解答過程】對于A，AB+2BC+2結(jié)果不一定為零向量，故A錯誤；對于B，22AB對于C，AB+對于D，AB?故選：BCD.10．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是π3，M為A1C1與B1D1的交點．若AB=a，ADA．CM=?12C．BD1=【答案】AD【解題思路】由題意可知，a?【解答過程】由題意可知，a?對于A，CM=CC對于B，又因為AC所以CM?所以CM，AC對于C，BD1=對于D，AD?BD故選：AD．11．（2025·浙江臺州·一模）已知棱長為3的正四面體A?BCD,?AEA．當(dāng)μ=12B．當(dāng)μ<12C．當(dāng)EF=5時，λ+μD．當(dāng)EF=5時，則AM【答案】ACD【解題思路】選?AB,?AC,?AD為空間內(nèi)的基底向量，可計算得?EF·BC=0，可判斷A；當(dāng)λ=μ=0【解答過程】由正四面體A?BCD，可知∠BAC=∠BAD,∠CAD=60°，選?AB當(dāng)μ=12，BC=AC=?λ=?λ×3×3×1因為?EF當(dāng)λ=μ=0，EF=AB=3>3??=9=9(λ+μ)又EF=5，所以整理得9(λ+μ)2?9(λ+μ)+4?18×化簡得9(λ+μ)2?18(λ+μ)+8≤0AM=1所以AM=1由9λ2+9因為λ2+μ所以(λ?12)2≤所以AM2故選：ACD.三、填空題12．（2025·上?！つM預(yù)測）如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c．點M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點，則

【答案】?【解題思路】利用給定的基底，結(jié)合空間向量線性運算求出MN.【解答過程】依題意，MN=故答案為：?213．（2025·上海·三模）已知空間向量a=1,?1,0，b=0,1,1，c=1,2,m【答案】3【解題思路】根據(jù)空間向量共面得到c=xa【解答過程】設(shè)c=xa+y故x=1?x+y=2m=y，解得故答案為：3.14．（2025·上?！つM預(yù)測）O不與A,B,C,D共面，并且ABCD四點在一個平面上，2OD=xOA+yOB+OC（x,y>0【答案】16【解題思路】由向量共面定理有x+y=1，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值.【解答過程】由題設(shè)2OD?xOA?yOB=OC所以2?x?y=1，可得x+y=1，且x,y>0，所以1x當(dāng)且僅當(dāng)x=1故答案為：16.四、解答題15．（25-26高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AD，CC1的中點，若點G滿足

【答案】證明見解析【解題思路】取DD1中點H，連接AH，HF，EG.先證明AH=【解答過程】取DD1中點H，連接AH，HF，因為點H是DD1中點，所以因為點F為CC1的中點，所以因為A