試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)河南省天立教育2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．《紅樓夢(mèng)》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋?lái)樞蚬灿校?/p>

）A．6種 B．12種 C．36種 D．72種2．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為a，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．3．《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長(zhǎng)四尺，莞生一日，長(zhǎng)一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天長(zhǎng)高四尺，莞第一天長(zhǎng)高一尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的兩倍.請(qǐng)問第幾天，莞的長(zhǎng)度是蒲的長(zhǎng)度的4倍（

）A．4天 B．5天 C．6天 D．7天4．已知圓，圓，若圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為P，且與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q，若存在非零實(shí)數(shù)使得（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知，函數(shù)恒成立，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．6 D．77．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)到直線的距離為，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段PF與拋物線交于點(diǎn)M，則以下正確的是（

）A． B．，，成等差數(shù)列C．存在M點(diǎn)使得是等邊三角形 D．存在M點(diǎn)使得是等腰直角三角形8．已知的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第（

）項(xiàng).A．3 B．4 C．5 D．6二、多選題9．在三棱柱中，，，的中點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．10．如圖，一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間，設(shè)事件為奇數(shù)，事件，事件，則（

）

A． B．C． D．11．下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知，其中是關(guān)于的多項(xiàng)式，則；若，則除以81的余數(shù)為．13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn).設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若從的右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿足，且，則的離心率為.14．設(shè)是無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最大值為．四、解答題15．如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，底面為等腰梯形，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.16．已知，分別為雙曲線（，）的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn).若第一象限的點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩點(diǎn)，且.(1)求的離心率；(2)設(shè)，分別是的左?右頂點(diǎn)，證明：.17．已知函數(shù)既存在極大值又存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知函數(shù)．（1）求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方;（2）若存在，，使成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)m．19．已知二項(xiàng)式，其中，且此二項(xiàng)式的項(xiàng)的系數(shù)是．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求的值（結(jié)果可保留冪的形式）．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《河南省天立教育2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BDBCADBBACDABC題號(hào)11答案AD1．B【分析】將香菌、新筍、豆腐干看作一個(gè)元素，利用捆綁法結(jié)合倍縮法求解.【詳解】因?yàn)橄憔?、新筍、豆腐干一起下鍋，把它們捆綁在一起，看作一個(gè)元素，此時(shí)共有5個(gè)元素，其中雞湯最后下鍋，放在最后一個(gè)位置，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，定序問題用倍縮法，共有種不同的排列方式.故選：B.2．D【分析】根據(jù)給定條件探求出，再借助向量積計(jì)算作答.【詳解】因空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為a，則，，即，

因E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則有，即有，，而，則，，所以等于.故選：D3．B【解析】由蒲生長(zhǎng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，又由莞生長(zhǎng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，根據(jù)，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，蒲第一天長(zhǎng)高四尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，所以蒲生長(zhǎng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，又由莞第一天長(zhǎng)高一尺，每天長(zhǎng)高前一天的兩倍，則莞生長(zhǎng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，又因?yàn)?，即，解?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，熟練應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．C【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立圓心距與半徑關(guān)系的不等式，求解即可.【詳解】圓的方程可化為，則圓心為，半徑；圓的方程可化為，則圓心為，半徑．圓與圓有公共點(diǎn)，，即，解得．故選：C5．A【分析】先求得，然后利用余弦定理列方程，化簡(jiǎn)求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)榇嬖诜橇銓?shí)數(shù)使得，所以，O是的中點(diǎn)，所以Q為的中點(diǎn)，因?yàn)椋渣c(diǎn)到漸近線，即的距離，又，所以，，則由雙曲線的定義可知，在中，由余弦定理，得，整理，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A6．D【分析】由題意函數(shù)恒成立，可得到為正奇數(shù)，討論的范圍，參變分離轉(zhuǎn)化成恒成立問題，定義新函數(shù)求導(dǎo)求最小值，從而得到的最大值.【詳解】當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以為正奇數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，只需研究時(shí)，恒成立即可，當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇藭r(shí)，所以恒成立.當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)闉檎鏀?shù)，所以的最大值為7.故選：D7．B【分析】利用點(diǎn)直線的距離公式即可判斷A；根據(jù)拋物線的定義和兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式即可判斷B；利用反證法即可判斷C、D；【詳解】A：F的坐標(biāo)為，因?yàn)镕到直線的距離為，所以，所以，所以A不正確；B：設(shè)點(diǎn)在軸上方，則直線PF的斜率為，所以直線PF的方程為，所以點(diǎn)，所以，由選項(xiàng)A可知，，所以，則，所以，即，所以，，成等差數(shù)列，故B正確；C：若存在M點(diǎn)使得是等邊三角形，則邊長(zhǎng)為1，且M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為，此，所以不可能是等邊三角形，故C錯(cuò)誤：D：若存在M點(diǎn)使得是等腰直角三角形，則必有，故D錯(cuò)誤.故選：B8．B【分析】由已知，根據(jù)給的式子寫出其通項(xiàng)，分別寫出第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)得到關(guān)于的方程，先求解出，即可確定其展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大在第幾項(xiàng).【詳解】的展開式通項(xiàng)為，第3項(xiàng)為，其系數(shù)為，倒數(shù)第3項(xiàng)為，其系數(shù)為，由題意，，所以，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，即為展開式的第4項(xiàng).故選：B.9．ACD【分析】利用三棱柱性質(zhì)可得A正確，再根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則計(jì)算可得B錯(cuò)誤，C正確，由模長(zhǎng)以及夾角余弦值計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于A，由題意得，可知A正確；對(duì)于B，，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，即C正確；對(duì)于D，易知，即D正確.故選：ACD10．ABC【分析】對(duì)于AD：根據(jù)概率的性質(zhì)結(jié)合古典概型分析求解；對(duì)于BC：根據(jù)概率性質(zhì)結(jié)合條件概率分析求解.【詳解】由題意可知：，可得.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，可得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．AD【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A.，所以，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，，所以為遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，，所以不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，所以為遞增數(shù)列，故D正確.故選：AD.12．1832【分析】將化為，展開后觀察對(duì)應(yīng)項(xiàng)可得；先求x，然后將轉(zhuǎn)化為，展開可得.【詳解】因?yàn)樗?，所以，，所以．若，即，則，所以故所求的余數(shù)為32．故答案為：18,3213．/【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故答案為：.14．30【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)即可作答.【詳解】在等差數(shù)列中，，則，而，于是，公差，因此，由，得，顯然數(shù)列是遞減等差數(shù)列，前6項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，所以的最大值為.故答案為：3015．(1)證明見解析(2)【分析】（1）作輔助線，借助三角形全等得到，證明，，進(jìn)而證明平面，再利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，再求平面、平面的法向量，利用向量的夾角公式求二面角的余弦值即可.【詳解】（1）因?yàn)槭堑冗吶切?，所?如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榈妊菪危?，所以，故，因?yàn)?，，，所以為的中位線，所以，在中，，利用余弦定理可得，可得，所以，所以，同理可得.又平面，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與線段的中點(diǎn)所在直線為軸，過且平行于的直線為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則由得，解得，取，則，設(shè)平面的法向量為，則由得，取，則.則，易知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由雙曲線的定義得出，再由點(diǎn)代入雙曲線的方程求出，最后求出的離心率；（2）由兩角差的正切公式結(jié)合斜率公式得出，再由，證明.【詳解】（1）由題意知，即，（雙曲線的定義）所以.將代入雙曲線的方程得，解得，所以，故的離心率.（2）由（1）可知雙曲線的方程為，，.不妨設(shè)點(diǎn)在的上方，，.則，，（點(diǎn)撥：直線的斜率等于其傾斜角的正切值）又，，所以，，則.（兩角差的正切公式的應(yīng)用）又，，所以，所以又，，所以.17．【分析】函數(shù)既存在極大值又存在極小值等價(jià)于方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到不等式組，解出答案即可【詳解】解：由可得，∵既存在極大值又存在極小值，∴方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，需滿足，解得，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18．（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）由題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，即證；（2）由題知，即求.【詳解】（1）設(shè)，則，在區(qū)間上，，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，故