試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省天一大聯(lián)考2026屆高三上學期階段性檢測（一）數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復數(shù)，則其共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，則實數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．34．已知，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，若上一點到軸的距離為，則的面積為（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．已知是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，棱長為2的正八面體內(nèi)部有一個圓柱，正八面體的一條對角線與圓柱的軸重合，且正八面體的每個面均與圓柱的上底面或下底面的圓周相切，則這個圓柱的體積的最大值為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．已知是遞增的等比數(shù)列，其前n項和為，若，（

）A． B．C． D．是等比數(shù)列10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．的圖像關(guān)于點對稱B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點D．將的圖象向下平移1個單位長度即可得到的圖象11．已知函數(shù)，則（

）A．在上具有單調(diào)性 B．方程有兩個不相等的實根C．對任意 D．存在，使得三、填空題12．已知函數(shù)（且），若，則．13．拋物線有這樣的光學性質(zhì)：與拋物線的對稱軸平行的光線經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點，由光路是可逆的，可知從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線與拋物線的對稱軸平行．如圖，雷達接收器的截面曲線可看作拋物線，光信號沿著直線入射到上的點，經(jīng)反射到點，反射光線與x軸交于的焦點，則光信號經(jīng)點反射后，反射光線所在直線的方程為．

14．已知函數(shù)的定義域為，其導數(shù)為，曲線在點處的切線為，過點A作的垂線，若與x軸的交點橫坐標分別為，則的最小值為．四、解答題15．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A為銳角，且．(1)求A；(2)設(shè)D為的中點，若，且，求的面積．16．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的發(fā)射和接收都有A，B兩種模式，若發(fā)射與接收的模式相同，則接收的信號與發(fā)射的信號相同，若發(fā)射與接收的模式不同，則接收的信號與發(fā)射的信號也不同，每次發(fā)射和接收信號時，選擇A模式的概率均為，選擇B模式的概率均為，每次發(fā)射和接收相互獨立．(1)求一次信號傳輸中，接收的信號與發(fā)射的信號相同的概率；(2)信號發(fā)射器從2個0和3個1中隨機選擇3個信號依次發(fā)射，記發(fā)射信號1的個數(shù)為X．（i）求X的分布列和數(shù)學期望；（ii）當時，求接收的信號是2個0和1個1的概率．17．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，平面平面，，．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)當a變化時，曲線過定點，證明：；(3)若，求函數(shù)的零點個數(shù)．19．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，直線過點A且相互垂直，交C于另一點P，交C于另一點Q．(1)求C的方程；(2)證明：直線過定點；(3)先將C繞原點O旋轉(zhuǎn)，再將所得曲線上所有點的橫坐標和縱坐標都變?yōu)樵瓉淼谋兜玫綑E圓E，若與E的一個交點為R，且，求E的長軸長的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湖南省天一大聯(lián)考2026屆高三上學期階段性檢測（一）數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案ADDCBBABACDABD題號11答案BC1．A【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算及共軛復數(shù)的概念，即可求解.【詳解】，所以，故選：A.2．D【分析】根據(jù)集合的表示與集合交集運算即可；【詳解】對于集合中的元素，滿足的有3，4，5，7，8，9，所以所以．故選：D.3．D【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算計算參數(shù)．【詳解】由題意知，因為，解得或，由，得，因此.故選:D.4．C【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)以及充分與必要條件的判斷即可.【詳解】取，則，故充分性不成立；當時，一定有，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C5．B【分析】根據(jù)雙曲線的方程與幾何性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式計算.【詳解】由題意知點的橫坐標為，代入得，又，所以的面積為.故選：B6．B【分析】根據(jù)三角恒等變換以及誘導公式計算即可．【詳解】因為，所以，故．故選：B.7．A【分析】由，求，再由為偶函數(shù)求，由此可求，再根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，可求，由此可求.【詳解】因為，，所以，所以，因為是偶函數(shù)，所以，故，又因為的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，即，故．故選：A.8．B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征用圓柱底面半徑表示出其體積，再利用導數(shù)求出最大值.【詳解】如圖，將正八面體看作上、下兩個正四棱錐，考慮上面的正四棱錐，

設(shè)頂點為A，圓柱上底面圓心為B，正四棱錐的底面中心為C，四棱錐一條底邊的中點為D，與圓柱上底面相切于點E，設(shè)該圓柱的底面半徑，高，依題意，，則，又，即，解得，則該圓柱的體積，求導得，當時，；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當時，，所以這個圓柱的體積的最大值為.故選：B9．ACD【分析】設(shè)的公比為，則由，遞增，得，結(jié)合題中條件解得公比和首項，再根據(jù)通項公式和前項和公式，等比數(shù)列定義判斷各個選項；【詳解】設(shè)的公比為，則由，遞增，得，因為，所以，解得或（舍去），對于A，，故A正確；對于B，，.故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，，，所以是首項為3，公比為的等比數(shù)列，故D正確．故選：ACD.10．ABD【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性求出函數(shù)，再逐項分析判斷.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對稱，得，而，則，函數(shù)，對于A，由，得的圖象關(guān)于點對稱，A正確；對于B，由，得，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；對于C，由，得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個極值點，因此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，C錯誤；對于D，，將該函數(shù)圖象向下平移1個單位長度即可得的圖象，D正確．故選：ABD11．BC【分析】利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，計算函數(shù)的最值進而判斷各個選項．【詳解】對于A，，在同一坐標系內(nèi)根據(jù)的圖象，可知存在唯一的，

滿足，所以當時，當時，所以在上不單調(diào)，故A錯誤；對于B，方程即，因為的最大值點，所以，當時，從0遞增到，當時，從遞減趨向于0，所以直線與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不等的實根，故B正確；對于C，由A可知，的最大值為，且，所以，因為，所以，所以，即，從而，故C正確；對于D，由前面的分析可知取，為最大值，由可得，所以，又，當且僅當時取等號，又，則，所以，易知不存在，使得，故D錯誤；故選：BC.12．4【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意知，所以，故．故答案為：4.13．【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)解析即可．【詳解】易得點A的坐標為，所以直線的方程為，代入，可得點B的坐標為，故光信號經(jīng)B點反射后，反射光線所在直線的方程為．故答案為：.14．【分析】利用導數(shù)求出的最小值，利用導數(shù)的幾何意義，表示出的方程，得到與x軸的交點橫坐標，代入，化簡可得其最小值.【詳解】令，則，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．；，令，可得，，所以．故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理進行邊角互化，再由余弦兩角和差公式及誘導公式化簡可得結(jié)果；（2）由余弦定理和三角形面積公式化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）由條件及正弦定理得，整理得，所以．所以，即．又A為銳角，．所以，故．（2）在中由余弦定理得，即①在中由余弦定理得②由①②消去a，得，即．因為，所以，所以．16．(1)(2)（i）分布列見解析，（ii）【分析】（1）由相互獨立乘法公式、互斥加法公式可得答案；（2）（i）求出X的所有可能取值及對應的概率可得X的分布列，再代入期望公式即可；（ⅱ）分這3個信號發(fā)射與接收的均不同、其中1個1被接收為0，另外2個信號發(fā)射與接收相同的兩種情況計算可得答案.【詳解】（1）一次信號傳輸中，接收的信號與發(fā)射的信號相同的概率為；（2）（i）由題意知X的所有可能取值為1，2，3，且，所以X的分布列為X123P所以；（ⅱ）當時，發(fā)射的信號為1個0和2個1．要使接收的信號為2個0和1個1，有下列兩種情況：①這3個信號發(fā)射與接收的均不相同：；②其中1個1被接收為0，另外2個信號發(fā)射與接收的信號相同：，故接收的信號為2個0和1個1的概率為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直、線面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可.【詳解】（1）側(cè)面為矩形，，又平面平面，平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以．因為，所以，所以，因為，平面，所以平面．（2）連接，如圖，由（1）易知，所以由已知可得，在中由余弦定理可得，因為，所以平面，因為平面，所以，所以在中，由（1）易知兩兩互相垂直，故以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．(1)(2)證明見解析(3)兩個零點【分析】（1）分別求出，，即可求出切線方程；（2）由可得曲線的恒過點且，令，可得在上單調(diào)遞增，由零點存在定理可得，即可證明結(jié)論；（3）函數(shù)的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點個數(shù)，由導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到，結(jié)合值域分析即可求解..【詳解】（1）若，則，所以，，因此曲線在點處的切線方程為，即．（2），因為曲線過定點，所以，從而．令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以．所以，即．（3）函數(shù)的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點個數(shù)；由．令，得，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，因此．當時，，且．由（2）可知，存在，滿足，又當且時，，所以與有兩個交點，故有兩個零點．19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程可求，由此可得橢圓方程；（2）先說明的斜率存在且不為，設(shè)，聯(lián)立方程組解方程求的坐標，討論，求直線的方程，結(jié)合方程證明結(jié)論；（3）先求橢圓的方程，根據(jù)條件利用點的坐標表示點的坐標，將點的坐標代入對應的橢圓方程化簡可得，再結(jié)合橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)性質(zhì)可求結(jié)論.【詳解】（1）因為C過點，所以，又，故，因為C的離心率為，所以，得．所以C的方程為．（2）若直線的斜率為0，則直線的