2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)分析在物理學(xué)研究中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)=0$。證明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$。二、計算極限$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)e^{\frac{k}{n}}$。三、設(shè)$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}\,dt$，求$f'(x)$。四、計算二重積分$\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dA$，其中$D$是由$x^2+y^2\leq1$和$x\geq0$所確定的區(qū)域。五、將函數(shù)$f(x)=x^2$在$[-\pi,\pi]$上展開成傅里葉級數(shù)。六、求解微分方程$y''-4y'+4y=e^{2x}$。七、設(shè)$\mathbf{r}(t)=(t,t^2,t^3)$，求$\mathbf{r}'(t)$和$\mathbf{r}''(t)$。八、計算曲線積分$\int_C\mathbf{F}\cdotd\mathbf{r}$，其中$\mathbf{F}(x,y)=(x^2,xy)$，$C$是從點(diǎn)$(0,0)$到點(diǎn)$(1,1)$的直線段。九、證明：函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-\lnx$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。十、設(shè)$u=u(x,y)$具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足方程$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$。證明：若$u$在一條封閉曲線$C$上取值為常數(shù)，則$u$在整個區(qū)域$D$（由$C$圍成）上恒為常數(shù)。十一、一個質(zhì)量為$m$的質(zhì)點(diǎn)在重力作用下從高度$h$處自由下落，不計空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)動能和勢能隨時間的變化關(guān)系。十二、一個電容器由兩個平行金屬板組成，板面積為$S$，板間距離為$d$，板間充滿介電常數(shù)為$\varepsilon$的電介質(zhì)。求該電容器的電容。十三、一個質(zhì)量為$m$的物體掛在彈簧下端，彈簧的勁度系數(shù)為$k$。求該物體的振動微分方程。十四、一個半徑為$R$的球體，其密度$\rho$與到球心的距離$r$成反比，即$\rho=\frac{k}{r}$（$k$為常數(shù)）。求該球體的質(zhì)量。十五、在$x$軸上放置一個電量為$Q$的點(diǎn)電荷，求距離點(diǎn)電荷$r$處的電場強(qiáng)度。試卷答案一、證明：令$g(x)=xf(x)$，則$g(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$g(a)=g(b)=0$。由羅爾定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$g'(\xi)=0$。而$g'(x)=xf'(x)+f(x)$，所以$g'(\xi)=\xif'(\xi)+f(\xi)=0$，即$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$。二、解：$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)e^{\frac{k}{n}}=\int_0^1xe^x\,dx=\left[(x-1)e^x\right]_0^1+\int_0^1e^x\,dx=1$。三、解：$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$。四、解：$\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dA=\int_0^{\pi}d\theta\int_0^1r^2\,dr=\frac{\pi}{3}$。五、解：$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pix^2\,dx=\frac{\pi^2}{3}$；$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pix^2\cos(nx)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_0^\pix^2\cos(nx)\,dx=\frac{4}{\pi}\left(\frac{(-1)^n}{n^2}-\frac{1}{n^4}\right)$；$b_n=0$。所以$f(x)=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4}{\pi}\left(\frac{(-1)^n}{n^2}-\frac{1}{n^4}\right)\cos(nx)$。六、解：特征方程為$r^2-4r+4=0$，解得$r_1=r_2=2$。齊次方程通解為$y_h=(C_1+C_2x)e^{2x}$。設(shè)特解為$y_p=Ax^2e^{2x}$，代入原方程得$A=\frac{1}{2}$。所以通解為$y=(C_1+C_2x)e^{2x}+\frac{1}{2}x^2e^{2x}$。七、解：$\mathbf{r}'(t)=(1,2t,3t^2)$；$\mathbf{r}''(t)=(0,2,6t)$。八、解：$C$的參數(shù)方程為$\mathbf{r}(t)=(t,t)$，$t\in[0,1]$。$\mathbf{r}'(t)=(1,1)$。$\int_C\mathbf{F}\cdotd\mathbf{r}=\int_0^1(t^2,t^2)\cdot(1,1)\,dt=\int_0^12t^2\,dt=\frac{2}{3}$。九、證明：$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{-1}{x(x+1)}<0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。十、證明：用反證法。假設(shè)存在$\mathbf{z}\inD$，使得$u(\mathbf{z})\nequ(\mathbf{z}_0)$，其中$\mathbf{z}_0$在$C$上。由$u$的連續(xù)性，存在$\mathbf{z}_1\inC$，使得$u(\mathbf{z}_1)>\max\{u(\mathbf{z})\}$或$u(\mathbf{z}_1)<\min\{u(\mathbf{z})\}$。在$C$上，$u$的最大值或最小值必在內(nèi)部取得，設(shè)為$\mathbf{z}_2$。則$\Deltau=u(\mathbf{z}_2)-u(\mathbf{z}_1)=0$。由$\mathbf{z}_1\to\mathbf{z}_2$，$\frac{\partialu}{\partialn}=0$。由格林公式，$\iint_D\Deltau\,dV=\oint_C\frac{\partialu}{\partialn}\,ds=0$，矛盾。十一、解：設(shè)$t$時刻質(zhì)點(diǎn)速度為$v(t)$，加速度為$a(t)$。由牛頓第二定律，$ma(t)=-mg$，$a(t)=-g$。$v(t)=-gt+v_0$。$v(t)=-gt$（$v_0=0$）。動能$E_k=\frac{1}{2}mv(t)^2=\frac{1}{2}mg^2t^2$。勢能$E_p=mgh-mgh+\frac{1}{2}mv(t)^2=\frac{1}{2}mg^2t^2$。十二、解：$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}8aisemc\cdotS$。十三、解：設(shè)$x(t)$為質(zhì)點(diǎn)的位置，$x(t)=0$為平衡位置。由胡克定律和牛頓第二定律，$mx''(t)=-kx(t)$。即$x''(t)+\frac{k}{m}x(t)=0$。十四、解：取球心為原點(diǎn)，積分區(qū)域為$\Omega$。$M=\iiint_\Omega\rho\,dV=\iiint_\Omega\frac{k}{r}\,dV=k\i