2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)管理學(xué)與企業(yè)決策模型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，需要使用兩種資源M和N。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗M2單位，N1單位；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗M1單位，N2單位。公司每周可獲取M100單位，N120單位。產(chǎn)品A的利潤(rùn)為每單位10元，產(chǎn)品B的利潤(rùn)為每單位8元。為使公司總利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B各多少單位？（用線性規(guī)劃模型描述此問(wèn)題，無(wú)需求解）2.已知一個(gè)決策問(wèn)題中，決策者面臨三種自然狀態(tài)α1,α2,α3，對(duì)應(yīng)的概率分別為P(α1)=0.2,P(α2)=0.5,P(α3)=0.3。決策者有三個(gè)可選方案a1,a2,a3，在狀態(tài)α1,α2,α3下，方案a1,a2,a3的收益分別為50,60,40；收益分別為30,70,20；收益分別為80,20,10。該決策問(wèn)題屬于（）。3.在庫(kù)存管理中，經(jīng)濟(jì)訂貨批量（EOQ）模型主要考慮的是（）。A.如何確定最佳訂貨周期B.如何確定最佳訂貨點(diǎn)C.在不允許缺貨、訂貨費(fèi)用和持有成本固定的條件下，使總成本（訂貨成本+持有成本）最小的每次訂貨量D.如何根據(jù)需求預(yù)測(cè)調(diào)整庫(kù)存水平4.某排隊(duì)系統(tǒng)顧客的到達(dá)服從泊松分布，平均每小時(shí)到達(dá)4人；服務(wù)臺(tái)只有一個(gè)，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)時(shí)間為15分鐘。該排隊(duì)系統(tǒng)的平均等待時(shí)間約為（）分鐘。（結(jié)果保留一位小數(shù)）5.若一個(gè)回歸分析模型中，因變量Y與自變量X之間的相關(guān)系數(shù)r=0.9，則該模型（）。二、計(jì)算題（本大題共4小題，共55分。）6.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品X和Y。已知生產(chǎn)每單位產(chǎn)品X需要熟練工人2小時(shí)，非熟練工人1小時(shí)，消耗原材料A4公斤；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品Y需要熟練工人1小時(shí)，非熟練工人1.5小時(shí)，消耗原材料A3公斤。工廠每周可用于熟練工人的工時(shí)為120小時(shí)，非熟練工人的工時(shí)為90小時(shí)，原材料A的供應(yīng)量為200公斤。產(chǎn)品X的售價(jià)為每單位100元，產(chǎn)品Y的售價(jià)為每單位80元。工廠希望在不超出資源限制的前提下，使總銷售收入最大。請(qǐng)建立該問(wèn)題的線性規(guī)劃模型。（15分）7.某公司需要決定是否投資項(xiàng)目A或項(xiàng)目B。如果投資項(xiàng)目A，成功概率為0.7，成功時(shí)收益為100萬(wàn)元，失敗概率為0.3，失敗時(shí)損失為20萬(wàn)元。如果投資項(xiàng)目B，成功概率為0.6，成功時(shí)收益為80萬(wàn)元，失敗概率為0.4，失敗時(shí)無(wú)損失（即只投入不產(chǎn)出）。該公司決策者認(rèn)為，對(duì)于等額的損失和收益，其風(fēng)險(xiǎn)偏好相同。請(qǐng)分別計(jì)算兩個(gè)項(xiàng)目的期望收益（EV）和期望后悔值（ERegret），并根據(jù)期望后悔值法做出決策。（15分）8.某商店銷售一種季節(jié)性商品。已知該商品的需求量（D）服從以均值100件，標(biāo)準(zhǔn)差20件的正態(tài)分布。訂貨費(fèi)每次為50元，單位商品年持有成本為10元，缺貨成本為每件50元。商店計(jì)劃每年訂貨兩次（分別在月初），每次訂貨量為Q件。請(qǐng)計(jì)算該商品的最佳訂貨量Q（即（Q,R）模型中的Q，假設(shè)訂貨點(diǎn)R足夠高，可近似視為無(wú)限訂貨點(diǎn)模型，只需計(jì)算Q）。說(shuō)明計(jì)算中用到的關(guān)鍵公式或參數(shù)。（15分）9.某服務(wù)臺(tái)只有一個(gè)服務(wù)員，顧客到達(dá)過(guò)程近似為每分鐘到達(dá)1人（服從泊松分布），服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)時(shí)間為1分鐘。顧客到達(dá)時(shí)間為t=0,1,2,...分鐘。假設(shè)在t時(shí)刻有n個(gè)顧客在系統(tǒng)中（包括正在被服務(wù)的顧客），則下一個(gè)到達(dá)的顧客在時(shí)刻t+1到達(dá)的概率是多少？若在t時(shí)刻系統(tǒng)中有2個(gè)顧客，求在t+3分鐘時(shí)系統(tǒng)中的顧客數(shù)（包括正在被服務(wù)的顧客）的期望值。（假設(shè)系統(tǒng)容量無(wú)限）。（10分）試卷答案一、選擇題1.設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax1單位，產(chǎn)品Bx2單位。目標(biāo)函數(shù)：MaxZ=10x1+8x2。約束條件：2x1+x2≤100(資源M限制)x1+2x2≤120(資源N限制)x1,x2≥0(非負(fù)限制)2.B(風(fēng)險(xiǎn)型決策)3.C4.7.55.A(模型擬合程度高)二、計(jì)算題6.設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Xx1單位，產(chǎn)品Yx2單位。MaxZ=100x1+80x2s.t.2x1+x2≤120x1+1.5x2≤904x1+3x2≤200x1,x2≥0解析思路：1.定義決策變量：設(shè)x1,x2分別代表產(chǎn)品X和Y的產(chǎn)量。2.確定目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)是總銷售收入，即Z=100x1+80x2。3.列出約束條件：*資源M約束：2x1+x2≤120。*資源N約束：x1+1.5x2≤90。*原材料A約束：4x1+3x2≤200。*非負(fù)約束：產(chǎn)量不能為負(fù)，x1,x2≥0。4.寫(xiě)出完整的線性規(guī)劃模型。7.項(xiàng)目A：EV(A)=0.7*100+0.3*(-20)=70-6=64萬(wàn)元ERegret(A)=0.7*max(0,80-64)+0.3*max(0,100-(-20))=0.7*16+0.3*120=11.2+36=47.2萬(wàn)元項(xiàng)目B：EV(B)=0.6*80+0.4*0=48萬(wàn)元ERegret(B)=0.6*max(0,100-48)+0.4*max(0,80-0)=0.6*52+0.4*80=31.2+32=63.2萬(wàn)元決策：比較兩個(gè)方案的期望后悔值，選擇ERegret值較小的方案。ERegret(A)<ERegret(B)，故選擇項(xiàng)目A。解析思路：1.計(jì)算項(xiàng)目A的期望收益（EV）：EV=P(成功)*收益(成功)+P(失敗)*收益(失敗)=0.7*100+0.3*(-20)。2.計(jì)算項(xiàng)目A的期望后悔值（ERegret）：對(duì)于每個(gè)狀態(tài)，計(jì)算選擇其他方案比選擇當(dāng)前方案更好的收益差（后悔值），然后乘以該狀態(tài)的概率，最后求和。*在成功狀態(tài)下，后悔值=max(收益(B),收益(A))-收益(A)=max(80,100)-100=0。*在失敗狀態(tài)下，后悔值=max(收益(B),收益(A))-收益(A)=max(0,-20)-(-20)=20。*ERegret(A)=P(成功)*后悔值(成功)+P(失敗)*后悔值(失敗)=0.7*0+0.3*20。3.對(duì)項(xiàng)目B重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程。4.比較兩個(gè)方案的期望后悔值，選擇較小者作為最優(yōu)決策。8.計(jì)算EOQ:Q*=sqrt(2*D*S/H)=sqrt(2*100*50/10)=sqrt(10000)=100件。關(guān)鍵公式：EOQ=sqrt(2DS/H)。其中D=100（年需求均值），S=50（每次訂貨費(fèi)），H=10（單位商品年持有成本）。對(duì)于（Q,R）模型，當(dāng)R足夠大時(shí)，缺貨幾乎不會(huì)發(fā)生，Q的計(jì)算近似等于EOQ計(jì)算。因此Q=100。解析思路：1.識(shí)別問(wèn)題類型：這是典型的不允許缺貨、固定訂貨費(fèi)、固定持有成本的庫(kù)存問(wèn)題，適合用EOQ模型解決。2.確定計(jì)算所需參數(shù)：*D：年需求量，題目中給出均值為100，假設(shè)此值為年需求總量。*S：每次訂貨費(fèi)，題目中為50元。*H：?jiǎn)挝簧唐纺瓿钟谐杀?，題目中為10元。3.應(yīng)用EOQ公式計(jì)算最佳訂貨量Q*。4.說(shuō)明在（Q,R）模型中，當(dāng)訂貨點(diǎn)R遠(yuǎn)高于平均需求時(shí)，缺貨概率極低，此時(shí)最優(yōu)訂貨量Q的近似解即為EOQ值。9.到達(dá)概率：P(n個(gè)顧客在系統(tǒng)內(nèi)|n個(gè)顧客剛到達(dá))=P(n+1個(gè)顧客在系統(tǒng)內(nèi)|n個(gè)顧客在系統(tǒng)內(nèi))*P(下一個(gè)顧客到達(dá)|n個(gè)顧客在系統(tǒng)內(nèi))。=(λ*t^(n-1)/(n-1)!)*e^(-λt)*P(下一個(gè)顧客到達(dá)|n個(gè)顧客在系統(tǒng)內(nèi))=(λ*t^(n-1)/(n-1)!)*e^(-λt)*1（因?yàn)榉?wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)完一個(gè)顧客后，下一個(gè)到達(dá)的時(shí)間間隔仍為泊松過(guò)程，參數(shù)λ）=(λ*t^(n-1)/(n-1)!)*e^(-λt)當(dāng)λ=1人/分鐘，t=1分鐘時(shí)，下一個(gè)到達(dá)的顧客在時(shí)刻t+1（即下一個(gè)時(shí)刻）到達(dá)的概率為(1*1^(n-1)/(n-1)!)*e^(-1)=e^-1/(n-1)!。系統(tǒng)中顧客數(shù)期望值：Ls=λ/μ(μ-λ)。其中λ=1（到達(dá)率），μ=1/服務(wù)時(shí)間=1/1=1（服務(wù)率）。Ls=1/(1-1)=∞。（系統(tǒng)容量無(wú)限時(shí)，Ls=λ/μ。這里計(jì)算結(jié)果看似無(wú)窮，但題目可能期望計(jì)算有限時(shí)間內(nèi)或基于排隊(duì)論基本公式Lq=λ^2/(μ(μ-λ))推導(dǎo)，或題目有隱含條件/錯(cuò)誤。若按標(biāo)準(zhǔn)排隊(duì)論，Ls=1/（1-1）確實(shí)無(wú)定義。但若理解為求Lq，則Lq=1^2/(1(1-1))也無(wú)定義。若理解為P(n)|n=2att+3,則涉及生滅過(guò)程或更復(fù)雜分析。此題按給定公式Ls=λ/μ(μ-λ)計(jì)算，在μ=λ時(shí)無(wú)解。可能題目條件需調(diào)整。若假設(shè)服務(wù)率略大于到達(dá)率，如μ=1.1，則Ls=1/(0.1)=10。若題目意圖是求Lq，則Lq=λ^2/(μ(μ-λ))=1/0.1=10。此處按標(biāo)準(zhǔn)公式Ls=λ/μ(μ-λ)在μ=λ時(shí)結(jié)果為無(wú)窮，題目可能不嚴(yán)謹(jǐn)或期望其他簡(jiǎn)化處理。按最直接公式，無(wú)法給出有限數(shù)值解。（注：此題按標(biāo)準(zhǔn)排隊(duì)論模型在λ=μ時(shí)無(wú)解，與題目要求的輸出有限數(shù)值解存在矛盾，可能是題目設(shè)計(jì)問(wèn)題）解析思路：1.利用到達(dá)過(guò)程的泊松特性：如果到達(dá)過(guò)程是泊松流，速率λ，則在時(shí)間t內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率為P(n|t)=(λt^n/n!)*e^(-λt)。下一個(gè)顧客（無(wú)論當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)如何）在極小時(shí)間Δt內(nèi)到達(dá)的概率近似為λ*Δt。對(duì)于t=1分鐘，概率為λ。2.計(jì)算P(下一個(gè)到達(dá)|n個(gè)在系統(tǒng))。系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)顧客，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)時(shí)間為1分鐘，即服務(wù)率μ=1/分鐘。服務(wù)完一個(gè)顧客后，系統(tǒng)內(nèi)變?yōu)閚-1個(gè)顧客，此時(shí)下一個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔仍為參數(shù)λ=1的負(fù)指數(shù)分布。所以下一個(gè)顧客在下一個(gè)單位時(shí)間（t+1時(shí)刻）到達(dá)的概率為1（即服務(wù)時(shí)間結(jié)束瞬間到達(dá)的概率）。3.結(jié)合計(jì)算P(下一個(gè)到達(dá))。P(下一個(gè)到達(dá)|n個(gè)在系統(tǒng))=1。所以P(下一個(gè)到達(dá)在t+1時(shí)刻)=Σ[n>=0]P(n個(gè)在系統(tǒng)|n-1個(gè)在系統(tǒng))*P(下一個(gè)到達(dá)|n個(gè)在系統(tǒng))*P(系統(tǒng)有n個(gè)顧客的概率)。但直接計(jì)算P