2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——計(jì)算幾何中的圖形算法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.在計(jì)算幾何中，下列哪種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)通常用于表示點(diǎn)集？A.樹B.圖C.隊(duì)列D.棧2.構(gòu)建凸包的Graham掃描算法的時(shí)間復(fù)雜度是？A.O(n)B.O(nlogn)C.O(n^2)D.O(n^3)3.計(jì)算幾何中，判斷一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部的算法通常稱為？A.凸包構(gòu)造B.點(diǎn)在多邊形內(nèi)判斷C.范圍查詢D.幾何變換4.下面哪種算法用于計(jì)算兩線段是否相交？A.邊界掃描轉(zhuǎn)換B.Dijkstra算法C.線段相交判斷D.A*算法5.在計(jì)算幾何中，下列哪個(gè)概念與凸包的構(gòu)造直接相關(guān)？A.軌跡B.極角C.距離D.質(zhì)心6.計(jì)算幾何中，下列哪種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)適合用于存儲(chǔ)線段？A.鏈表B.堆C.樹D.圖7.計(jì)算兩向量點(diǎn)積時(shí)，下列哪個(gè)性質(zhì)是正確的？A.結(jié)果總是正數(shù)B.結(jié)果總是負(fù)數(shù)C.結(jié)果可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零D.結(jié)果總是零8.在計(jì)算幾何中，下列哪種方法用于計(jì)算多邊形面積？A.軌跡法B.邊界法C.多邊形面積計(jì)算D.重心法9.計(jì)算幾何中，下列哪個(gè)算法用于計(jì)算點(diǎn)到線段的距離？A.點(diǎn)到直線距離B.點(diǎn)到點(diǎn)距離C.點(diǎn)到圓距離D.點(diǎn)到多邊形距離10.下列哪個(gè)概念在計(jì)算幾何中用于判斷點(diǎn)是否在多邊形邊界上？A.點(diǎn)在多邊形內(nèi)判斷B.點(diǎn)在多邊形邊界上判斷C.點(diǎn)到多邊形距離D.多邊形面積計(jì)算二、填空題（每題2分，共10分）1.計(jì)算幾何中，_________算法用于計(jì)算兩線段是否相交。2.構(gòu)建凸包的__________算法是一種分治策略。3.計(jì)算幾何中，判斷一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部的___________通常稱為射線法。4.計(jì)算幾何中，下列哪個(gè)概念與凸包的構(gòu)造直接相關(guān)___________。5.計(jì)算幾何中，計(jì)算兩向量點(diǎn)積的公式為____________。三、判斷題（每題2分，共10分）1.在計(jì)算幾何中，凸包是點(diǎn)集所能構(gòu)成的最小凸多邊形。（）2.Graham掃描算法和Jarvis步進(jìn)算法都能有效地構(gòu)建凸包。（）3.計(jì)算幾何中，判斷一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部可以使用面積法。（）4.計(jì)算兩線段是否相交的算法復(fù)雜度為O(n)。（）5.計(jì)算幾何中，點(diǎn)到線段的距離等于點(diǎn)到直線的距離。（）四、簡(jiǎn)答題（每題10分，共30分）1.簡(jiǎn)述Graham掃描算法構(gòu)建凸包的步驟。2.解釋計(jì)算幾何中判斷一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部的方法。3.描述計(jì)算兩線段是否相交的算法的基本思想。五、編程題（30分）編寫一個(gè)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)計(jì)算一個(gè)點(diǎn)是否在給定的多邊形內(nèi)部。多邊形由頂點(diǎn)坐標(biāo)列表給出，點(diǎn)的坐標(biāo)也給出。要求使用射線法進(jìn)行判斷，并給出詳細(xì)注釋。試卷答案一、選擇題1.B解析：計(jì)算幾何中，圖通常用于表示點(diǎn)集之間的關(guān)系。2.B解析：Graham掃描算法通過(guò)排序和掃描點(diǎn)集來(lái)構(gòu)建凸包，其時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)。3.B解析：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部的算法通常稱為點(diǎn)在多邊形內(nèi)判斷。4.C解析：計(jì)算兩線段是否相交的算法通常稱為線段相交判斷。5.B解析：在計(jì)算幾何中，極角與凸包的構(gòu)造直接相關(guān)，Graham掃描算法使用極角來(lái)排序點(diǎn)。6.A解析：鏈表適合用于存儲(chǔ)線段，因?yàn)樗梢造`活地表示線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)。7.C解析：計(jì)算兩向量點(diǎn)積的結(jié)果可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，取決于向量的方向關(guān)系。8.C解析：計(jì)算多邊形面積的方法通常稱為多邊形面積計(jì)算。9.A解析：計(jì)算點(diǎn)到線段的距離的算法通常稱為點(diǎn)到直線距離。10.B解析：判斷點(diǎn)是否在多邊形邊界上的概念稱為點(diǎn)在多邊形邊界上判斷。二、填空題1.線段相交判斷解析：計(jì)算兩線段是否相交的算法通常稱為線段相交判斷。2.Graham掃描解析：構(gòu)建凸包的Graham掃描算法是一種分治策略。3.點(diǎn)在多邊形內(nèi)判斷解析：計(jì)算幾何中，判斷一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部的射線法通常稱為點(diǎn)在多邊形內(nèi)判斷。4.極角解析：在計(jì)算幾何中，極角與凸包的構(gòu)造直接相關(guān)。5.(x1*y2-y1*x2)解析：計(jì)算兩向量點(diǎn)積的公式為(x1*y2-y1*x2)。三、判斷題1.√解析：在計(jì)算幾何中，凸包是點(diǎn)集所能構(gòu)成的最小凸多邊形。2.√解析：Graham掃描算法和Jarvis步進(jìn)算法都能有效地構(gòu)建凸包。3.√解析：計(jì)算幾何中，判斷一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部可以使用面積法。4.×解析：計(jì)算兩線段是否相交的算法復(fù)雜度通常為O(n^2)，而不是O(n)。5.×解析：計(jì)算幾何中，點(diǎn)到線段的距離不一定等于點(diǎn)到直線的距離，除非點(diǎn)在直線上。四、簡(jiǎn)答題1.解析：Graham掃描算法構(gòu)建凸包的步驟如下：a.選擇點(diǎn)集中的一個(gè)點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)，通常是極左或極右的點(diǎn)。b.將其他點(diǎn)按照相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)的極角進(jìn)行排序。c.使用棧來(lái)維護(hù)凸包的頂點(diǎn)，從排序后的點(diǎn)集中依次處理每個(gè)點(diǎn)。d.對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，判斷它是否會(huì)導(dǎo)致凸包頂點(diǎn)的回轉(zhuǎn)，如果是，則從棧中彈出頂點(diǎn)，直到不再回轉(zhuǎn)。e.將當(dāng)前點(diǎn)壓入棧中，繼續(xù)處理下一個(gè)點(diǎn)。f.最終棧中的頂點(diǎn)即為凸包的頂點(diǎn)。2.解析：計(jì)算幾何中判斷一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部的方法通常使用射線法：a.從待判斷點(diǎn)向任意方向發(fā)射一條射線。b.計(jì)算射線與多邊形各邊的交點(diǎn)數(shù)量。c.如果交點(diǎn)數(shù)量為奇數(shù)，則點(diǎn)在多邊形內(nèi)部；如果為偶數(shù)，則點(diǎn)在多邊形外部。d.特殊情況處理：如果射線與多邊形某條邊重合，需要根據(jù)邊的包含關(guān)系進(jìn)行判斷。3.解析：計(jì)算兩線段是否相交的算法的基本思想如下：a.判斷兩線段是否共線，如果共線，則進(jìn)一步判斷它們是否有公共點(diǎn)。b.如果兩線段不共線，計(jì)算它們的方向向量的叉積，判斷兩線段是否交叉。c.如果兩線段交叉，進(jìn)一步判斷它們是否有公共點(diǎn)，即判斷它們端點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系。d.根據(jù)上述判斷結(jié)果，確定兩線段是否相交。五、編程題解析：編寫一個(gè)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)計(jì)算一個(gè)點(diǎn)是否在給定的多邊形內(nèi)部。多邊形由頂點(diǎn)坐標(biāo)列表給出，點(diǎn)的坐標(biāo)也給出。要求使用射線法進(jìn)行判斷，并給出詳細(xì)注釋。```pythondefis_point_in_polygon(point,polygon):#射線法判斷點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部x_intersections=0x,y=pointn=len(polygon)foriinrange(n):x1,y1=polygon[i]x2,y2=polygon[(i+1)%n]#判斷射線是否與多邊形邊相交ifmin(y1,y2)<y<=max(y1,y2):ifx1==x2:#垂直邊x_intersect=x1else:x_intersect=x1+(y-y1)*(x2-x1)/(y2-y1)ifx_intersect==x:#點(diǎn)在邊上