2025年大學《物理學》專業(yè)題庫——物理學專業(yè)中的熱力學與統(tǒng)計力學研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.根據(jù)熱力學第二定律，自然界中的自發(fā)過程總是沿著熵______的方向進行。2.在理想玻爾茲曼氣體的正則系綜中，單個粒子能量為ε_i，占有數(shù)為N_i，配分函數(shù)為Z；則粒子能量為ε_i的概率為______。3.由N個近獨立粒子組成的系統(tǒng)，其內(nèi)能U=∑_iN_iε_i，若粒子能量ε_i的簡并度為g_i，則系統(tǒng)的最概然分布滿足______（吉布斯分布）。4.對于由近獨立粒子構成的系統(tǒng)，其定容熱容C_v的統(tǒng)計表達式為______（以正則系綜為例）。5.在相變過程中，系統(tǒng)的序參量|ψ|的絕對值平方|ψ|^2對溫度T的導數(shù)d(|ψ|^2)/dT在臨界點T_c附近通常表現(xiàn)出______（標度行為）。6.根據(jù)能量均分定理，在溫度T的平衡態(tài)下，一個自由度為f的粒子，其______的平均值為k_BT/2。二、選擇題1.下列哪個物理量是狀態(tài)函數(shù)？()A.功B.熱量C.內(nèi)能D.傳熱速率2.一定量的理想氣體，從狀態(tài)(P?,V?,T?)經(jīng)歷一等溫過程到達狀態(tài)(P?,V?,T?)，其熵變ΔS為？()A.Q/T(Q為等溫過程中交換的熱量)B.∫?2(dQ_rev/T)C.Rln(V?/V?)D.Rln(P?/P?)3.下列哪個分布適用于描述理想費米氣體？()A.玻爾茲曼分布B.麥克斯韋分布C.費米-狄拉克分布D.玻色-愛因斯坦分布4.在巨正則系綜中，系綜的熵S與系統(tǒng)的熵S的關系是？()A.S=SB.S=S+k_BlnΓC.S=S-k_BlnΓD.S=-k_BlnΓ(其中Γ為巨配分函數(shù))5.根據(jù)漲落理論，理想氣體在等溫過程中，其體積V發(fā)生小的漲落ΔV，其漲落量ΔV的量級為？()A.VB.V/N^(1/3)C.V/√ND.VN^(1/3)三、計算題1.(10分)一摩爾理想氣體經(jīng)歷一個由等壓過程和等體過程組成的循環(huán)過程。已知氣體初始狀態(tài)壓強P?=1atm，體積V?=10L，等壓過程壓強不變，體積增為V?=20L；等體過程體積不變，壓強增為P?=2atm。求該循環(huán)過程的效率η。2.(15分)一維無限深勢阱中存在N個近獨立粒子，粒子能量為ε_n=n2π2?2/(2mL2)(n=1,2,3,...)，其中m為粒子質(zhì)量，L為阱寬，?為約化普朗克常數(shù)。假設粒子可分辨，且能量ε_n的簡并度g_n=1。求該系統(tǒng)的巨配分函數(shù)Ω(μ,V,T)，其中化學勢μ<0，V=L3。3.(15分)考慮由N個可分辨粒子組成的系統(tǒng)，粒子能量ε_i的簡并度為g_i。若系統(tǒng)與熱庫處于溫度T的熱平衡，求：(1)系統(tǒng)具有能量E=∑_iN_iε_i的微觀狀態(tài)數(shù)W(E)。(2)系統(tǒng)的熵S=k_BlnW(E)。(提示：考慮最概然分布)4.(10分)有一巨正則系綜，包含N?個粒子，系統(tǒng)體積V，能量ε_i的簡并度為g_i。已知系統(tǒng)的巨配分函數(shù)的對數(shù)為：lnΓ=-N?μ/k_BT+αV+βε其中α=-?lnΓ/?V，β=-?lnΓ/?ε。求系統(tǒng)的平均粒子數(shù)?N?和平均能量?ε?。四、簡答題1.(10分)簡述玻爾茲曼分布與麥克斯韋分布的區(qū)別，并說明各自的適用條件。2.(10分)解釋什么是序參量？它在描述相變過程中起什么作用？試卷答案一、填空題1.增加2.N_i/Z3.N_i/g_i*exp(-βN_iε_i)/Z=const4.k_BT2(?lnZ/?T)_{V,N}5.標度行為(或趨于無窮大/具有冪律行為)6.動能(針對單粒子理想氣體模型)二、選擇題1.C2.B3.C4.B5.C三、計算題1.解析思路：首先根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程和過程方程，確定循環(huán)過程中各狀態(tài)的壓強和體積。然后計算等壓過程吸收的熱量Q?=P?(V?-V?)，等體過程放出的熱量Q?=C_v(T?-T?)。循環(huán)效率η=W_net/Q_in=-(Q?+Q?)/Q?=1-T?/T?=1-P?V?/(P?V?)。(注意：這里假設了理想氣體C_v=3/2R，且T?=P?V?/(NR)。需要將P?,V?,P?換算成SI單位N·m?2,m3,K進行計算)。答案：η=1-P?V?/(P?V?)=1-2*10/(1*20)=1-1/2=0.5(或50%)。2.解析思路：因為是近獨立粒子，且每個粒子的簡并度g_n=1，所以系統(tǒng)的巨配分函數(shù)Γ是所有單個粒子配分函數(shù)z的乘積。單個粒子配分函數(shù)z=Σ_iexp(-βε_i)=Σ_nexp(-n2π2?2/(2mL2*k_BT)*(N為粒子總數(shù)，需用NΣ_ig_i*exp(-βε_i)修正，但g_i=1，修正項為N)。由于粒子不可分辨，需要除以N!。但題目未明確粒子是否可分辨或給出N的確切值，若按巨配分函數(shù)的標準定義，通常隱含粒子可分辨或N不大，可寫Γ=[z]^N=[Σ_nexp(-n2π2?2/(2mL2*k_BT))]^N。(注意：此題條件與標準巨配分函數(shù)定義略有出入，標準定義需考慮粒子不可分辨性和粒子數(shù)N的修正，此處按題目給定的巨配分函數(shù)形式直接寫出)。答案：Γ=[Σ_nexp(-n2π2?2/(2mL2*k_BT))]^N。3.解析思路：(1)系統(tǒng)具有能量E的微觀狀態(tài)數(shù)W(E)是指滿足∑_iN_iε_i=E且∑_iN_i=N的所有可能分布(N_i≥0,integer)的總數(shù)。這是一個典型的組合問題，可以使用“有放回的排列”或生成函數(shù)方法求解。生成函數(shù)G(x)=[Σ_ix^N_i]_E=[1+x^ε?+x^ε?+...]^N=[z]^N。W(E)是G(x)展開式中x^E項的系數(shù)。由于z=Σ_iexp(-βε_i)，所以G(x)=[Σ_iexp(-βε_i*x)]^N=[exp(-βμ*x)]^N=exp(-Nβμ*x)。因此x^E項的系數(shù)為exp(-Nβμ)=N!/(N!*exp(Nβμ))=exp(-Nβμ)。(2)熵S=k_BlnW(E)。由(1)知W(E)=exp(-Nβμ)=exp(-Nμ/k_BT)。所以S=k_Bln[exp(-Nμ/k_BT)]=-Nμ/T。答案：(1)W(E)=exp(-Nβμ)(或N!/[Σ_ig_i*exp(-βε_i)]^N，若考慮修正)。(2)S=-Nμ/T。4.解析思路：利用巨配分函數(shù)的對數(shù)定義α=-?lnΓ/?V和β=-?lnΓ/?ε。然后利用關系?N?=?lnΓ/?μ和?ε?=-?lnΓ/?β。已知lnΓ=-N?μ/k_BT+αV+βε。對μ求偏導：?lnΓ/?μ=-N?/k_BT。所以?N?=?lnΓ/?μ=N?。對β求偏導：?lnΓ/?β=-N?μ/k_BT2*(V+?ε/?β*β)=-N?μ/k_BT2*(V-ε)。所以?ε?=-?lnΓ/?β=N?μ/k_BT=N?k_BTβ。答案：?N?=N?，?ε?=N?k_BTβ。四、簡答題1.解析思路：玻爾茲曼分布N_i/g_i∝exp(-βε_i)適用于定域系統(tǒng)（粒子可分辨），描述單個粒子處于能量ε_i態(tài)的概率。麥克斯韋分布（速度分布）f(v)∝v^2*exp(-mv^2/2k_BT)/(2πk_BT)^(3/2)或能量分布g(ε)∝exp(-ε/k_BT)/Z適用非定域系統(tǒng)（粒子不可分辨，或已考慮粒子的全同性），描述系統(tǒng)在給定速度v或能量ε附近的狀態(tài)密度或概率。適用條件核心區(qū)別在于粒子是否可分辨以及是否需要考慮粒子數(shù)守恒（非定域系統(tǒng)）。答案：區(qū)別在于適用系統(tǒng)和描述對象。玻爾茲曼分布適用于定域系統(tǒng)（粒子可分辨），描述單個粒子能量為ε_i的概率正比于exp(-βε_i)。麥克斯韋分布適用于非定域系統(tǒng)（粒子不可分辨），描述速度在v附近單位速度區(qū)間內(nèi)的粒子數(shù)或能量在ε附近單位能量區(qū)間內(nèi)的狀態(tài)數(shù)（或概率密度）。適用條件：玻爾茲曼分布需粒子可分辨或粒子數(shù)固定；麥克斯韋分布需粒子不可分辨且粒子數(shù)可變。2.解析思路：序參量是一個描寫系統(tǒng)對稱性破缺的宏觀量，通常是一個與空間位置無關的場量，其絕對值平方|ψ|^2代表系統(tǒng)的無序度或混亂程度。在相變點附近，序參量會從零（對稱、無序的相）急劇增大（不對稱、有序的相）。序參量包含了系統(tǒng)從無序到有序相變的所有信息，