第42講電場(chǎng)能的性質(zhì)

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一電場(chǎng)力做功電勢(shì)能和電勢(shì)...........................................................................................1

考點(diǎn)二電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系...............................................................................................8

考點(diǎn)三等勢(shì)面電場(chǎng)線(等勢(shì)面)與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系...............................................................14

考點(diǎn)一電場(chǎng)力做功電勢(shì)能和電勢(shì)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.靜電力做功的特點(diǎn)

靜電力做的功與電荷的起始位置和終止位置有關(guān)，但與電荷經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。

2.電勢(shì)能

(1)定義：電荷在電場(chǎng)中具有的勢(shì)能，稱為電勢(shì)能。

(2)說(shuō)明：電勢(shì)能具有相對(duì)性，通常把無(wú)限遠(yuǎn)處或大地表面的電勢(shì)能規(guī)定為零。

3.靜電力做功與電勢(shì)能變化的關(guān)系

(1)靜電力做的功等于電荷電勢(shì)能的減少量，即WAB＝EpA－EpB。靜電力對(duì)電荷做多少正功，電

荷電勢(shì)能就減少多少；電荷克服靜電力做多少功，電荷電勢(shì)能就增加多少。

(2)電勢(shì)能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，則EpA＝WAB，即一個(gè)電荷在電場(chǎng)中

某點(diǎn)具有的電勢(shì)能，數(shù)值上等于將其從該點(diǎn)移到零電勢(shì)能位置過(guò)程中靜電力所做的功。

4.電勢(shì)

(1)定義：電荷在電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電勢(shì)能與它的電荷量之比叫作電場(chǎng)在這一點(diǎn)的電勢(shì)。

(2)定義式：φ＝。

?p

(3)標(biāo)矢性：電勢(shì)?是標(biāo)量，有正負(fù)之分，其正(負(fù))表示該點(diǎn)電勢(shì)比零電勢(shì)高(低)。

*(4)點(diǎn)電荷在空間某點(diǎn)電勢(shì)φ＝。

??

若空間中有多個(gè)點(diǎn)電荷，則空間?中某點(diǎn)的電勢(shì)等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在于該點(diǎn)的電勢(shì)的代數(shù)和。

(5)相對(duì)性：電勢(shì)具有相對(duì)性，同一點(diǎn)的電勢(shì)因選取零電勢(shì)點(diǎn)的不同而不同。

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5.電勢(shì)差

電場(chǎng)中兩點(diǎn)間的電勢(shì)的差值，也叫電壓。公式表示為UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA，還可以推導(dǎo)

出靜電力做功與電勢(shì)差的關(guān)系：UAB＝。

???

【例1】（2025·湖北·二模）如圖所示，空?間有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)間的距離均為L(zhǎng)，O

為AB邊的中點(diǎn)。在A、B處分別固定有等量正電荷Q。一帶電量為q的粒子從C點(diǎn)由靜止釋

放由C點(diǎn)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，已知靜電力常量為k，不計(jì)粒子重力。取無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，已知點(diǎn)電

Q

荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)在距離r處的電勢(shì)為k。下列說(shuō)法正確的是（）

r

A．該粒子帶正電

B．粒子將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

C．粒子從C運(yùn)動(dòng)至O的過(guò)程中，加速度大小先增大后減小

3kQq

D．粒子在O點(diǎn)的動(dòng)能為

2L

【答案】C

【詳解】A．粒子在C受靜電力指向O，故粒子帶負(fù)電，故A錯(cuò)誤；

B．粒子僅受靜電力，以O(shè)點(diǎn)為中心點(diǎn)做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)，粒子受靜電力提供合外力，但靜電

力大小與粒子到O點(diǎn)的距離不是成正比，故粒子的運(yùn)動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)誤；

q

C．由場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理可知，C運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)中某點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為E2ksin2cos

L2

32

根據(jù)均值不等式可知當(dāng)cos時(shí)E有最大值，此時(shí)距O點(diǎn)LL合力最大，加速度最

32

大，故C正確；

Q

D．點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)在距離r處的電勢(shì)為k，故粒子運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的動(dòng)能為

r

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2kQ2kQ2kQq

EkqOCq，故D錯(cuò)誤。

LLL

2

故選C。

【例2】（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，帶負(fù)電的點(diǎn)電荷固定于Q點(diǎn)，質(zhì)子在庫(kù)侖力作用

下，做以Q為焦點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)。M、P、N為橢圓上的三點(diǎn)，P點(diǎn)是軌道上離Q最近的點(diǎn)。質(zhì)

子在從M經(jīng)P到達(dá)N點(diǎn)的過(guò)程中（）

A．動(dòng)能先減小后增大B．動(dòng)能先增大后減小

C．電勢(shì)能先減小后增大D．電勢(shì)能先增大后減小

【答案】BC

【詳解】Q帶負(fù)電，質(zhì)子帶正電，質(zhì)子從M經(jīng)P到達(dá)N點(diǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)力先做正功，后做

負(fù)功，所以質(zhì)子的動(dòng)能先增大后減小又電場(chǎng)力做功等于電勢(shì)能增量的負(fù)值，所以電勢(shì)能先減小

后增大。

故選BC。

【例3】（2025·山東·二模）如圖所示，平面內(nèi)圓周上的P、Q、R、S四點(diǎn)處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電

場(chǎng)方向與圓平面平行，O為圓心。K為弦PR的中點(diǎn)，L為弦QS的中點(diǎn)。電荷量為+q的粒子

從P點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到Q點(diǎn)電勢(shì)能減少Ep1；若該粒子從R點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到S點(diǎn)，電勢(shì)能減少

Ep2。P、R和Q、S間的電勢(shì)差分別為UPR、UQS。下列說(shuō)法正確的是（）

A．P點(diǎn)電勢(shì)高于Q點(diǎn)電勢(shì)

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EE

B．若粒子從K點(diǎn)移動(dòng)到L點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為p1p2

2

C．若Ep1Ep2，則UPRUQS

Ep2

D．若R、S的距離為d，則電場(chǎng)強(qiáng)度最小值為

qd

【答案】ABD

【詳解】A．電荷量為+q的粒子從P點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到Q點(diǎn)電勢(shì)能減少Ep1，由Epq可知

P點(diǎn)電勢(shì)高于Q點(diǎn)電勢(shì)，故A正確；

B．電荷量為+q的粒子從P點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到Q點(diǎn)電勢(shì)能減少Ep1，則W1Ep1qPQ

該粒子從R點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到S點(diǎn)，電勢(shì)能減少Ep2，則W2Ep2qRS

PRQS

勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)隨距離均勻變化，所以K，

2L2

EE

若粒子從K點(diǎn)移動(dòng)到L點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為Wqp1p2

3KL2

故B正確；

C．Ep1Ep2，則qPQqRS

解得PRQS

即UPRUQS

故C錯(cuò)誤；

U

D．若R、S的距離為d，則電場(chǎng)強(qiáng)度ERS

dcos

為RS與電場(chǎng)方向的夾角，當(dāng)0時(shí)，即電場(chǎng)方向由R指向S時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度最小，電場(chǎng)強(qiáng)度

UE

最小值為ERSp2

mindqd

故D正確。

故選ABD。

Q

【例4】（2025·安徽合肥·三模）已知：①取無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零時(shí)，點(diǎn)電荷的電勢(shì)k，

r

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其中k為靜電力常量，Q為點(diǎn)電荷的電荷量，r為電場(chǎng)中某點(diǎn)到點(diǎn)電荷的距離；②在多個(gè)點(diǎn)電

荷形成的電場(chǎng)中，任一點(diǎn)的電勢(shì)等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和。如圖所

示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別固定點(diǎn)電荷A、B、C，三個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量大小

均為Q，其中A帶負(fù)電，B、C帶正電。D為B、C連線的中點(diǎn)，O為三角形的中心，取無(wú)窮

遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，下列說(shuō)法正確的是（）

3kQ

A．O點(diǎn)的電勢(shì)為

L

B．O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度小于D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

C．一帶正電的試探電荷從O點(diǎn)移到D點(diǎn)電勢(shì)能減小

D．點(diǎn)電荷C受到的電場(chǎng)力方向平行于AB的連線

【答案】AD

1

L

【詳解】A．由幾何關(guān)系可知，三個(gè)點(diǎn)電荷到三角形中心O點(diǎn)的距離均為3

r2L

cos303

Q3kQ

QAk

根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)k公式可得：A點(diǎn)電荷在O點(diǎn)的電勢(shì)為3L

rL

3

Q3kQ

Bk

B點(diǎn)電荷在O點(diǎn)的電勢(shì)為3L

L

3

Q3kQ

Ck

C點(diǎn)電荷在O點(diǎn)的電勢(shì)為3L

L

3

3kQ

所以O(shè)點(diǎn)電勢(shì)為，故A正確；

OABCL

B．由對(duì)稱性和電場(chǎng)強(qiáng)度的性質(zhì)可知，點(diǎn)電荷B、C在O點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)方向沿DO方向

向上，在D點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零；點(diǎn)電荷A在O點(diǎn)和D點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向均沿DO向上。因點(diǎn)電荷A

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Q

到O點(diǎn)的距離小于到D點(diǎn)的距離，由點(diǎn)電荷周?chē)妶?chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式Ek

r2

可知點(diǎn)電荷A在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大于在D點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，所以根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可知，O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)

大于D點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)，故B錯(cuò)誤；

C．由于D與點(diǎn)電荷A所在位置的連線上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向均為由D指向A，故將正電荷沿OD

由O點(diǎn)移到D點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增大，故C錯(cuò)誤；

D．點(diǎn)電荷A、B為等量的異種點(diǎn)電荷，點(diǎn)電荷C位于點(diǎn)電荷A、B連線的中垂線上，則C點(diǎn)

電荷處的場(chǎng)強(qiáng)方向與點(diǎn)電荷A、B連線的中垂線垂直，即平行于AB的連線，故點(diǎn)電荷C受到

的電場(chǎng)力方向也平行于AB的連線，故D正確。

故選AD。

【例5】（2025·河北邢臺(tái)·三模）如圖所示，半徑為0.5m的圓處在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)線與圓所

在的平面平行。AB和CD是圓的兩個(gè)直徑，O為圓心，兩直徑的夾角為60°。沿直線從A到B，

每1cm電勢(shì)降低0.1V，沿直線從C到D，每1cm電勢(shì)降低0.2V，則下列判斷正確的是（）

A．B點(diǎn)電勢(shì)比D點(diǎn)電勢(shì)低

B．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為20V/m

C．電場(chǎng)強(qiáng)度方向與AB垂直

D．沿圓弧將一個(gè)帶負(fù)電的粒子從A點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)，電勢(shì)能增大

【答案】B

【詳解】A．由題意知，從O到B電勢(shì)降低5V，從O到D電勢(shì)降低10V，因此B點(diǎn)電勢(shì)比

D點(diǎn)電勢(shì)高，故A錯(cuò)誤；

C．OD中點(diǎn)與B點(diǎn)等勢(shì)，B點(diǎn)與OD中點(diǎn)連線即為等勢(shì)線，由幾何關(guān)系可知，此連線與OD

垂直，因此電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿CD方向，故C錯(cuò)誤；

U0.51000.2

B．電場(chǎng)強(qiáng)度大小EODV/m20V/m

R0.5

故B正確；

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D．沿圓弧將帶負(fù)電的粒子從A點(diǎn)移到C點(diǎn)，電勢(shì)變高，電場(chǎng)力做正功，故帶負(fù)電的粒子的電

勢(shì)能減小，故D錯(cuò)誤。

故選B。

精講考點(diǎn)

1．電場(chǎng)力做功與電勢(shì)差、電勢(shì)能變化的關(guān)系

關(guān)系式WAB＝UABq＝EpA－EpB

(1)注意角標(biāo)順序：WAB表示電荷從A移到B電場(chǎng)力做的功；UAB表示φA－φB。

(2)應(yīng)用的各量均代入正、負(fù)號(hào)。

(3)WAB＝UABq適用于任何電場(chǎng)。

2．電場(chǎng)力做功正負(fù)的判斷方法

(1)根據(jù)電場(chǎng)力與速度的夾角判斷：夾角是銳角，電場(chǎng)力做正功；夾角是鈍角，電場(chǎng)力做

負(fù)功。

(2)根據(jù)WAB＝qUAB判斷：由q和UAB的正負(fù)，判斷WAB的正負(fù)。

3．電勢(shì)高低的判斷

判斷依據(jù)判斷方法

電場(chǎng)線方向沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低

場(chǎng)源電荷取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，正電荷周?chē)妱?shì)為正值，負(fù)電荷周?chē)?/p>

的正負(fù)電勢(shì)為負(fù)值；靠近正電荷處電勢(shì)高，靠近負(fù)電荷處電勢(shì)低

WAB

根據(jù)UAB＝，將WAB、q的正負(fù)號(hào)代入，由UAB的正負(fù)判

靜電力做功q

斷φA、φB的高低

4.電勢(shì)能大小的判斷

判斷方法方法解讀

將電荷量、電勢(shì)連同正負(fù)號(hào)一起代入公式Ep＝qφ，正電荷Ep

公式法的絕對(duì)值越大，電勢(shì)能越大；負(fù)電荷Ep的絕對(duì)值越大，電勢(shì)

能越小

正電荷在電勢(shì)高的地方電勢(shì)能大，負(fù)電荷在電勢(shì)低的地方電

電勢(shì)法

勢(shì)能大

做功法電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減?。浑妶?chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加

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在電場(chǎng)中，若只有電場(chǎng)力做功時(shí)，電荷的動(dòng)能和電勢(shì)能相互

能量

轉(zhuǎn)化，動(dòng)能增加，電勢(shì)能減小，反之，動(dòng)能減小，電勢(shì)能增

守恒法

加

考點(diǎn)二電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

(1)電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系式：U＝Ed，其中d為電場(chǎng)中兩點(diǎn)間沿電場(chǎng)方向的距離。

(2)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向和大?。弘妶?chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度方向是指電勢(shì)降低最快的方向。在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，

電場(chǎng)強(qiáng)度在數(shù)值上等于沿電場(chǎng)方向單位距離上降低的電勢(shì)。

2.由E＝可推出的兩個(gè)重要推論

?

?

＋

推論1：如圖甲所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中任一線段AB的中點(diǎn)C的電勢(shì)，φC＝。

????

推論2：如圖乙所示，若勻強(qiáng)電場(chǎng)中兩線段AB＝CD且AB∥CD，則φA－2φB＝φC－φD。

【例6】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中有a、b、c三點(diǎn)，a點(diǎn)坐標(biāo)為

0,2cm，b點(diǎn)坐標(biāo)為3cm,2cm，c點(diǎn)坐標(biāo)為3cm,0，在矩形Oabc區(qū)域內(nèi)存在平行于xOy

平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一電子以大小為v0、與x軸負(fù)方向成45角的速度從c點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后，在僅

受電場(chǎng)力作用下恰好經(jīng)過(guò)b點(diǎn)，已知a、b、c三點(diǎn)的電勢(shì)分別為a1V，b10V，c4V，

下列說(shuō)法正確的是（）

A．該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為10V/cm

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B．該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為22V/cm

．電子經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的速度大小為

Cb5v0

D．電子經(jīng)過(guò)b點(diǎn)時(shí)的速度大小為2v0

【答案】C

【詳解】AB．設(shè)該勻強(qiáng)電場(chǎng)在ba方向的分電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E1，在bc方向的分電場(chǎng)強(qiáng)度大小

為E2，則有UbabaE1ba

UbcbcE2bc

代入數(shù)據(jù)解得E13V/cm，E23V/cm

該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小22

EE1E232V/cm

AB錯(cuò)誤；

CD．電子經(jīng)過(guò)b點(diǎn)時(shí)垂直于電場(chǎng)方向的分速度大小為v0，平行于電場(chǎng)方向的分速度大小為v1，

vt

則有vtbccos45，1bcsin45

02

解得v12v0

電子在點(diǎn)的速度大小22

bvbv0v15v0

C正確，D錯(cuò)誤。

故選C。

【例7】（2025·貴州貴陽(yáng)·二模）如圖，A、B、C、D是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的四個(gè)點(diǎn)，它們位于與電場(chǎng)

方向平行的同一平面內(nèi)。已知ABCDl，AB與CD所在直線的夾角為60，

UAB2UCDU，則該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為（）

U2U23U3U

A．B．C．D．

ll3ll

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【答案】A

U

【詳解】根據(jù)E可知AB沿電場(chǎng)線方向的投影與CD沿電場(chǎng)線方向的投影之比為1:2，則

d

lcos(60)2lcos

解得60

U

即電場(chǎng)線方向沿AB方向，該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E

l

故選A。

【例8】（2025·陜西·三模）如圖所示，P、Q和R三點(diǎn)分別是等邊三角形abc三邊的中點(diǎn)，三

角形的邊長(zhǎng)為1m，空間中存在方向平行于三角形所在平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，a、b、和c三點(diǎn)的電

勢(shì)分別為0、1V和0。下列說(shuō)法正確的是（）

23

A．該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為V/m

3

B．R點(diǎn)的電勢(shì)低于P點(diǎn)的電勢(shì)

C．將一電子從P點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)，靜電力做的功為0.5eV

D．將一電子從Q點(diǎn)移動(dòng)到R點(diǎn)，靜電力做的功為0.5eV

【答案】AC

【詳解】A．由題意可知，ac是等勢(shì)線，bP連線與電場(chǎng)線平行，則電場(chǎng)強(qiáng)度大小

U23

EbPV/m

bP3

故A正確；

φφ

B．a(chǎn)c是等勢(shì)線，故P點(diǎn)的電勢(shì)為0，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的特點(diǎn)，R點(diǎn)的電勢(shì)φcb0.5V

R2

故R點(diǎn)的電勢(shì)高于P點(diǎn)的電勢(shì)，故B錯(cuò)誤；

C．根據(jù)對(duì)稱性可知，Q點(diǎn)的電勢(shì)φQ0.5V

將一電子從P點(diǎn)移到Q點(diǎn)的過(guò)程中，靜電力做功WUq0.5eV

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故C正確；

D．RQ是等勢(shì)線，將一電子從Q點(diǎn)移到R點(diǎn)的過(guò)程中，靜電力做功為零，故D錯(cuò)誤。

故選AC。

【例9】（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，水平桌面上固定一絕緣半圓弧軌道，A、B、C

為圓弧上的三個(gè)點(diǎn)，A、B為兩端點(diǎn)，C點(diǎn)未畫(huà)出，AB與BC間的夾角為θ，空間存在一勻強(qiáng)

電場(chǎng)，方向平行于半圓弧軌道所在的水平面。一可視為點(diǎn)電荷的帶正電小球，從A點(diǎn)以某一

速度進(jìn)入半圓弧軌道做圓周運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程靜電力做的功為

55

WAB2.410J，從A點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程靜電力做的功為WAC410J。已知小球的電荷

6

量為q410C，A點(diǎn)的電勢(shì)為A15V，半圓弧軌道的半徑為R0.6m。下列說(shuō)法正確

的是（）

A．B點(diǎn)的電勢(shì)為9V

B．C、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為4V

C．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值為12V/m

2

D．若tan，則勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為15V/m

2

【答案】AD

5

【詳解】A．從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程靜電力做的功為WAB2.410J

則WABqUAB可得UAB6V

而UABAB

可得B9V

選項(xiàng)A正確；

W4105J

B．AC兩點(diǎn)的電勢(shì)差為UAC10V

ACq4106C

則UCBUCAUABUABUAC4V

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選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

U1025

C．直徑AB=2R，則沿AC方向的場(chǎng)強(qiáng)EACV/m

x2Rsin1.2sin3sin

U410

沿BC方向的場(chǎng)強(qiáng)EBCV/m

y2Rcos1.2cos3cos

6251005254

則合場(chǎng)強(qiáng)EE2E2V/m=V/m

xy9sin29cos23sin2cos2

254

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知最小值為9，則電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值為5V/m，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

sin2cos2

22122

D．若tan，則sin，cos

233

625100

帶入EV/m

9sin29cos2

則勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E15V/m

選項(xiàng)D正確。

故選AD。

【例10】（2025·甘肅慶陽(yáng)·一模）如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向水平向右。豎直平面內(nèi)

一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從M、N連線上的M點(diǎn)由靜止釋放，粒子剛好沿MN運(yùn)動(dòng)。

已知MN與水平方向成37角，M、N間的距離為L(zhǎng)，重力加速度為g，sin37°0.6，

cos37°0.8，不計(jì)空氣阻力，下列判斷正確的是（）

4mg

A．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

3q

3L

B．粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)所用的時(shí)間為

2g

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16mgL

C．M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UMv

15q

4mgL

D．粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中電勢(shì)能的增加量為

3

【答案】AC

mg

【詳解】A．粒子剛好沿MN運(yùn)動(dòng)，可知重力和電場(chǎng)力的關(guān)系滿足tan37

qE

4mg

勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E

3q

故A正確；

g5g

B．粒子的加速度a

sin373

1

根據(jù)Lat2

2

6L

粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)所用的時(shí)間為t

5g

故B錯(cuò)誤；

16mgL

C．M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UMNELcos37

15q

故C正確；

16mgL

D．粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中電場(chǎng)力做功WqU

MN15

16mgL

電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減少量為，故D錯(cuò)誤。

15

故選AC。

精講考點(diǎn)

由E＝在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中作定性判斷

?

1.判斷電?場(chǎng)強(qiáng)度大?。旱炔畹葎?shì)面越密，電場(chǎng)強(qiáng)度越大。

2.判斷電勢(shì)差的大小及電勢(shì)的高低：距離相等的兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，E越大，U越大，進(jìn)而判斷

電勢(shì)的高低。

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考點(diǎn)三等勢(shì)面電場(chǎng)線(等勢(shì)面)與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.等勢(shì)面

(1)定義：電場(chǎng)中電勢(shì)相同的各點(diǎn)構(gòu)成的面。

(2)四個(gè)特點(diǎn)：

①在同一等勢(shì)面上移動(dòng)電荷時(shí)靜電力不做功。

②電場(chǎng)線一定與等勢(shì)面垂直，并且從電勢(shì)高的等勢(shì)面指向電勢(shì)低的等勢(shì)面。

③等差等勢(shì)面越密的地方電場(chǎng)強(qiáng)度越大，電場(chǎng)線越密集，反之越小。

④任意兩個(gè)等勢(shì)面都不相交。

(3)幾種常見(jiàn)的電場(chǎng)的等勢(shì)面的特點(diǎn)

電場(chǎng)等勢(shì)面(虛線)圖樣特點(diǎn)

勻強(qiáng)電場(chǎng)垂直于電場(chǎng)線的一簇平面

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)以點(diǎn)電荷為球心的一簇球面

等量異種點(diǎn)電

兩電荷連線的中垂面為等勢(shì)面

荷的電場(chǎng)

等量正點(diǎn)電荷在電荷連線上，中點(diǎn)電勢(shì)最低；

的電場(chǎng)在中垂線上，中點(diǎn)電勢(shì)最高

【例11】（2025·天津紅橋·二模）如圖所示，靜電場(chǎng)中豎直虛線a、b、c、d、e是等勢(shì)線且相

鄰之間電勢(shì)差相等，一帶正電的小液滴從A點(diǎn)以豎直向上的初速度開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)最高點(diǎn)B后

回到與點(diǎn)A在同一水平線上的E點(diǎn)，A、B、C、D、E為液滴軌跡與等勢(shì)線的交點(diǎn)。則下列說(shuō)

法正確的是（）

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A．A點(diǎn)的電勢(shì)低于B點(diǎn)的電勢(shì)B．液滴的機(jī)械能一直增大

C．液滴在B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能最小D．B→E過(guò)程靜電力所做的功是A→B過(guò)程的3倍

【答案】BD

【詳解】A．液滴帶正電，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的方向水平向右，A點(diǎn)的電勢(shì)高于B點(diǎn)的電勢(shì)，A錯(cuò)

誤；

B．電場(chǎng)力一直做正功，液滴的機(jī)械能一直增大，B正確；

C．液滴所受的電場(chǎng)力水平向右，液滴所受的合力向右下方，當(dāng)速度方向與合力方向垂直時(shí)液

滴的動(dòng)能最小，液滴動(dòng)能最小時(shí)速度方向向右上方，液滴在B點(diǎn)左方某點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能最小，C錯(cuò)

誤；

D．根據(jù)WABqUAB，WBEqUBE

根據(jù)題意得UBE3UAB

解得WBE3WAB，D正確；

故選BD。

【例12】（2025·甘肅白銀·三模）一種電子透鏡的部分電場(chǎng)分布如圖所示，虛線為等差等勢(shì)面。

電子槍發(fā)射的電子僅在電場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中實(shí)線所示，a、b、c是軌跡上的三個(gè)點(diǎn)，

取c點(diǎn)電勢(shì)為0V，電子從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)電勢(shì)能變化了10eV，則（）

A．a(chǎn)點(diǎn)電勢(shì)為15V

B．電子在b點(diǎn)的電勢(shì)能為5eV

C．b點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度比c點(diǎn)的大

D．電子的運(yùn)動(dòng)軌跡與其中的一條電場(chǎng)線重合

【答案】B

【詳解】A．根據(jù)電場(chǎng)線的方向與等勢(shì)面的垂直，可知圖中電場(chǎng)線的方向大體沿左上—右下方

向；電子從a到c的過(guò)程中向上彎曲，說(shuō)明電子受到的電場(chǎng)力的方向指向左上方，則電子從a

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到c的過(guò)程中受到的電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)線方向之間的夾角為鈍角，電場(chǎng)力做負(fù)功，所以電子

從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)電勢(shì)能增大10eV，電子帶負(fù)電，則b點(diǎn)的電勢(shì)比a點(diǎn)的電勢(shì)低10V，結(jié)合

圖可知相鄰兩等勢(shì)面間的電勢(shì)差為5V，取c點(diǎn)電勢(shì)為0V，則a點(diǎn)的電勢(shì)為

a5V30V15V

故A錯(cuò)誤；

B．取c點(diǎn)電勢(shì)為0V，相鄰兩等勢(shì)面間的電勢(shì)差為5V，可知b處電勢(shì)為5V，則電子在b點(diǎn)的

電勢(shì)能為Epebe5V5eV

故B正確；

C．根據(jù)等勢(shì)面的疏密表示電場(chǎng)的強(qiáng)弱可知b點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度小于c點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，故C錯(cuò)誤；

D．電場(chǎng)線的方向與等勢(shì)面垂直，由圖可知電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與等勢(shì)面不垂直，則電子的運(yùn)動(dòng)軌

跡不可能與其中的一條電場(chǎng)線重合，故D錯(cuò)誤。

故選B。

【例13】（2025·遼寧沈陽(yáng)·二模）如圖所示，實(shí)線為正點(diǎn)電荷周?chē)碾妶?chǎng)線，a、b兩帶電粒子

分別從電場(chǎng)中的P點(diǎn)以相同的速度飛出，兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖中虛線所示，其中a粒

子的軌跡是以點(diǎn)電荷為圓心的圓。A、B為軌跡上的兩點(diǎn)，不計(jì)粒子重力及粒子之間的相互作

用力，下列說(shuō)法正確的是（）

A．a(chǎn)粒子的加速度不變

B．A點(diǎn)的電勢(shì)高于B點(diǎn)的電勢(shì)

C．b粒子做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

D．b粒子的電勢(shì)能減小，a粒子的電勢(shì)能不變

【答案】BD

【詳解】A．a(chǎn)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向時(shí)刻在改變，故A錯(cuò)誤；

B．離正電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越低，則A點(diǎn)的電勢(shì)高于B點(diǎn)的電勢(shì)，故B正確；

C．b粒子的加速度逐漸減小，不是做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；

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（