2/30重難點(diǎn)22立體幾何中的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1定義法求外接球問(wèn)題】 4【題型2補(bǔ)形法求外接球問(wèn)題】 6【題型3截面法求外接球問(wèn)題】 10【題型4棱切球模型問(wèn)題】 14【題型5內(nèi)切球模型問(wèn)題】 17【題型6多球相切問(wèn)題】 20【題型7外接球之二面角模型】 25【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問(wèn)題】 29【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問(wèn)題】 32【題型10多面體與球體內(nèi)切外接綜合問(wèn)題】 351、立體幾何中的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題球的切、接問(wèn)題是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計(jì)算能力，難度中等.其關(guān)鍵點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問(wèn)題來(lái)解決，球的切、接問(wèn)題求解方法多種多樣，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活求解.知識(shí)點(diǎn)1正方體、長(zhǎng)方體與球的切、接問(wèn)題1．正方體與球的切、接問(wèn)題(1)內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R=正方體棱長(zhǎng)a.(2)棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對(duì)角線長(zhǎng).(3)外接球：外接球直徑2R=正方體體對(duì)角線長(zhǎng).2．長(zhǎng)方體與球外接球：外接球直徑2R=體對(duì)角線長(zhǎng)(a,b,c分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).知識(shí)點(diǎn)2正棱錐與球的切、接問(wèn)題1．正棱體與球的切、接問(wèn)題(1)內(nèi)切球：(等體積法)，r是內(nèi)切球半徑，h為正棱錐的高.(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，(正棱錐外接球半徑為R，高為h).知識(shí)點(diǎn)3正四面體的外接球、內(nèi)切球1．正四面體的外接球、內(nèi)切球若正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h，正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則，，，.知識(shí)點(diǎn)4正三棱柱的外接球1．正三棱柱的外接球球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)為其外接球球心.若正三棱柱的高為h柱，正三棱柱的外接球半徑為R，則.知識(shí)點(diǎn)5圓柱、圓錐的外接球1．圓柱的外接球(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑).2．圓錐的外接球(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).知識(shí)點(diǎn)6空間幾何體與球的切、接問(wèn)題的解題策略1．常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：常見(jiàn)的與球有關(guān)的組合體問(wèn)題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：2．空間幾何體外接球問(wèn)題的求解方法：空間幾何體外接球問(wèn)題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見(jiàn)的求解方法有如下幾種：(1)定義法：利用平面幾何體知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.(2)補(bǔ)形法：若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2=a2+b2+c2求解.(3)截面法：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解.3．內(nèi)切球問(wèn)題的求解策略：(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作過(guò)球心的截面來(lái)解決.(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.【題型1定義法求外接球問(wèn)題】【例1】（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）若半徑為1的球與正三棱柱的各個(gè)面均相切，則該正三棱柱外接球的表面積為（

）A．4π B．5π C．16π【答案】D【解題思路】根據(jù)半徑為1的球與正三棱柱的各個(gè)面均相切，可得正三棱柱的高和底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，可求出底面正三角形的外接圓半徑，可求出外接球的半徑和表面積．【解答過(guò)程】因?yàn)榘霃綖?的球與正三棱柱的各個(gè)面均相切，所以正三棱柱的高h(yuǎn)=2，底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，則底面正三角形的外接圓半徑r=1所以該正三棱柱外接球半徑為R=r所以外接球的表面積為4π故選：D．【變式1-1】（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體PABC中，D，E分別為PC，AB的中點(diǎn)，且AC⊥BC，PC⊥DE，AB=2，則該四面體的外接球體積為（

）A．4π B．23π C．4【答案】C【解題思路】根據(jù)條件可得出CE=AE=BE=PE=1，即可求出體積.【解答過(guò)程】連接CE,PE，因D為線段PC的中點(diǎn)，PC⊥DE，則CE=PE，又E為線段AB的中點(diǎn)，AC⊥BC，AB=2，則CE=AE=BE=1，則CE=AE=BE=PE=1，則該四面體的外接球球心為E，半徑為1，體積為4π故選：C.【變式1-2】（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐S?ABC中，AC=BC=2，∠ACB=2π3，側(cè)棱長(zhǎng)都等于25，其中S,A,B,C在球O的表面上，則球A．12π B．15π C．20π【答案】D【解題思路】先求出△ABC外接圓的半徑r，再根據(jù)三棱錐的特征找出球心O與△ABC外接圓圓心的位置關(guān)系，進(jìn)而求出球O的半徑R，最后根據(jù)球的表面積公式求出球O的表面積.【解答過(guò)程】已知AC=BC=2，∠ACB=2A所以AB=23由正弦定理，底面ABC的外接圓半徑r滿足ABsin∠ACB=2r，即2r=由于側(cè)棱長(zhǎng)SA=SB=SC=25則頂點(diǎn)S在底面ABC上的投影為底面三角形的外心D，則AD=r=2，設(shè)SD=h，由勾股定理SA2=SD2則外接球的球心O必在過(guò)D且垂直于底面的直線上，設(shè)O到D的距離為d，則OA=OB=OC=rOS=|h?d|，因AO=SO，故22+d所以球的半徑R=22+故選：D.【變式1-3】（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)?秦?漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD=23,ED=1，若鱉臑P?ADE的體積為2，則陽(yáng)馬P?ABCD外接球的表面積為（

A．144π B．36π C．24π【答案】B【解題思路】根據(jù)鱉臑P?ADE的體積為2先求AP，進(jìn)而得陽(yáng)馬P?ABCD外接球的半徑R，最后根據(jù)球的表面積公式即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)陽(yáng)馬P?ABCD外接球的半徑為R，由題意有：VP?AED又PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，所以PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB，所以2R2所以陽(yáng)馬P?ABCD外接球的表面積為：S=4π故選：B.【題型2補(bǔ)形法求外接球問(wèn)題】【例2】（2025·湖南·二模）如圖，在四面體P?ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，則此四面體的外接球表面積為（

）A．3π B．9π C．36π【答案】B【解題思路】將四面體P?ABC補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為2、1、2，長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，而長(zhǎng)方體外接球的直徑即為其體對(duì)角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.【解答過(guò)程】將四面體P?ABC補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為2、1、2，四面體P?ABC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，而長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為R，故2R=22+故選：B.【變式2-1】（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽粒，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原．如圖，三角形是底邊和腰長(zhǎng)分別為8cm和12cm的等腰三角形的紙片，將它沿虛線（中位線）折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的四面體，若該四面體內(nèi)包一蛋黃（近似于球）.則蛋黃的半徑的最大值為（

）A．142 B．144 C．152【答案】B【解題思路】將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，三棱錐的各邊為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，計(jì)算出三棱錐的體積與表面積，結(jié)合等體積法可求出其內(nèi)切球的半徑.【解答過(guò)程】如圖所示，對(duì)折疊之前的平面圖形中各點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，同時(shí)將折疊后的幾何體置于長(zhǎng)方體中.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x、y、z，則x2+y四面體ADEF體積為V=xyz?4×1在△ADE中，AD=y2+由余弦定理可得cos∠AED=所以sin∠AED=所以S△ADE四面體ADEF的表面積為S=4S設(shè)內(nèi)切球半徑r，則V=13Sr所以蛋黃半徑的最大值為144故選：B.【變式2-2】（24-25高一下·江蘇南京·期末）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=4，PC與平面ABCD所成角的大小為θ，且tanθ=223，則四棱錐A．26π B．28πC．34π D．14π【答案】C【解題思路】依題意可將四棱錐P?ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體PEFG?ABCD，則四棱錐P?ABCD的外接球也是長(zhǎng)方體PEFG?ABCD的外接球，由tanθ=223可求出【解答過(guò)程】如圖，因?yàn)镻A⊥面ABCD，四邊形ABCD為正方形，所以可將四棱錐P?ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體PEFG?ABCD，則四棱錐P?ABCD的外接球也是長(zhǎng)方體PEFG?ABCD的外接球.由PA⊥面ABCD，所以∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角θ，則tanθ=PAAC設(shè)四棱錐P?ABCD的外接球的半徑為R，因?yàn)殚L(zhǎng)方體PEFG?ABCD的對(duì)角線PC的長(zhǎng)即為其外接球的直徑，所以PC=2R=AC2所以四棱錐P?ABCD的外接球的表面積為4π故選：C.【變式2-3】（2025·甘肅白銀·三模）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥AC,PA⊥平面ABC，PA=3,AB=1,AC=2，D，E，F(xiàn)分別是棱PB，PC，BC的中點(diǎn)，則三棱錐A?DEF的外接球的表面積為（

）A．5π2 B．7π2 C．【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，將三棱錐A?DEF補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體與該三棱錐的相同的外接球求解.【解答過(guò)程】設(shè)棱AB,AC,PA的中點(diǎn)分別為H,M,G，連接HF,MF,DG,EG,DH,EM，構(gòu)造長(zhǎng)方體DGEN?HAMF，則長(zhǎng)方體DGEN?HAMF外接球的表面積即為三棱錐A?DEF外接球的表面積．依題意，HD=3設(shè)長(zhǎng)方體DGEN?HAMF外接球的半徑為R，則(2R)2所以其外接球的表面積S=4π故選：B.【題型3截面法求外接球問(wèn)題】【例3】（2025·廣東佛山·一模）已知圓臺(tái)的高為1，下底面的面積16π，體積為373πA．64π B．81π C．100π【答案】C【解題思路】首先畫(huà)出組合體的截面圖，再利用幾何關(guān)系，列方程組，即可求解，最后代入表面積公式.【解答過(guò)程】如圖，圓臺(tái)與外接球的軸截面，如下，

設(shè)上底面的半徑為r1，下底面的半徑為r2，外接球的半徑為由下底面的面積為16π，則r圓臺(tái)的體積V=1即r12+4r1設(shè)OA=x,OB=1+x，△OAC和△OBD中，32+1+x解得x=3，R2所以圓臺(tái)外接球的表面積為4π故選：C.【變式3-1】（2025·安徽·一模）已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=BC=22，AC=23，則球O的表面積為（A．40π3 B．20π C．27【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，利用正弦、余弦定理，求得△ABC的外接圓的半徑，記△ABC的外心為O1，證得PO1⊥平面【解答過(guò)程】設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，因?yàn)锳B=BC=22，AC=2由余弦定理得cos∠ACB=AC所以sin∠ACB=由正弦定理得2r=ABsin∠ACB記△ABC的外心為O1，連接O1A，O1B取AB，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則O1E⊥AB，又因?yàn)镻A=PB=PC，可得PE⊥AB，PF⊥BC，因?yàn)镻E∩O1E=E因?yàn)镻E,O1E?平面PEO1所以AB⊥平面PEO1，BC⊥平面又因?yàn)镻O1?平面PEO1所以PO1⊥AB因?yàn)锳B∩BC=B，AB,BC?平面ABC，所以PO1⊥平面ABC由題意可得外接球的球心在PO1上，或在PO則球心到O1的距離為24則有245?R2所以球O的表面積S=4π故選：A.

【變式3-2】（2024·安徽·三模）已知圓臺(tái)O1O2的上?下底面面積分別為4π,36π，其外接球球心O滿足O1A．20513 B．101013 C．【答案】B【解題思路】根據(jù)相切結(jié)合勾股定理可得R2=4+9h【解答過(guò)程】設(shè)圓臺(tái)O1O2的高為4hO1O2的上?下底面面積分別為4π,36則R2=4+9h故所求體積之比為4故選：B.

【變式3-3】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)ABCD?EFGH的上底面積為16，下底面積為64，且其各個(gè)頂點(diǎn)均在半徑R=57的球O的表面上，則該四棱臺(tái)的高為（

A．2 B．8 C．2或12 D．4或8【答案】C【解題思路】做出截面DBFH，根據(jù)圓心O是否位于截面內(nèi)部分兩種情況，根據(jù)線段關(guān)系即可求解.【解答過(guò)程】如圖，做出截面DBFH，此時(shí)圓心O位于截面內(nèi)部，取DB中點(diǎn)E，HF中點(diǎn)F1，連接DO、EF1易得點(diǎn)O在EF1上，由題意得DB=42，HF=8因?yàn)镺F1=所以EF當(dāng)O不在截面內(nèi)，同第一種情況理可得OE=7，OF所以EF1=2，綜上所述：該四棱臺(tái)的高為2故選：C.【題型4棱切球模型問(wèn)題】【例4】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，其棱切球的體積為（

）A．2π B．6π C．23【答案】C【解題思路】將正四面體ABCD補(bǔ)形為正方體，此時(shí)正方體的內(nèi)切球即為正四面體的棱切球，利用球的體積公式求解即可.【解答過(guò)程】如圖，將棱長(zhǎng)為2的正四面體補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為2的正方體，則正方體的內(nèi)切球即為正四面體ABCD的棱切球，所以正四面體ABCD的棱切球的半徑為22所以棱切球的體積為V=4故選：C．【變式4-1】（2025·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1的中心為A．3π,?6π B．3π【答案】C【解題思路】由題意分析得到最小的球?yàn)檎襟w的棱切球，最大的球?yàn)檎襟w的外接球.然后分別求出半徑，后求出表面積的范圍.【解答過(guò)程】由題意知，當(dāng)球O是正方體的棱切球時(shí)，球與棱有公共點(diǎn)，如圖：此時(shí)球的半徑r1當(dāng)球O是正方體的外接球時(shí)，球與棱有公共點(diǎn)，如圖：此時(shí)球的半徑r2所以球的半徑r∈6故球的表面積S∈6故選：C.【變式4-2】（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圓面是底，圓的半徑記為R，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高，記為H，則球冠的曲面面積S=2πRH.球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A′B′C

A．22?1π B．42?1π【答案】D【解題思路】設(shè)正方體ABCD?A′B′C′D′的棱切球半徑為【解答過(guò)程】如圖，正方體與正方體的棱切球形成六個(gè)球冠，正方體ABCD?A′B′C所以r=22，又球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半則H=r?12=2?1所以所求曲面的面積為：S=6×2×π故選：D.【變式4-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）若將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，八個(gè)頂點(diǎn)共截去八個(gè)三棱錐，可得到一個(gè)有十四個(gè)面的多面體.它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，如圖所示，已知該多面體過(guò)A，B，C三點(diǎn)的截面面積為63，則其棱切球（球與各棱相切）的表面積為【答案】12【解題思路】設(shè)AB=m，外接球的半徑為R，根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知該幾何體的棱切球即為底面棱長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為22【解答過(guò)程】設(shè)AB=m，外接球的半徑為R，該多面體是由棱長(zhǎng)為2m如圖，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的截面為正六邊形ABCFED，其面積S=6×34×根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知該幾何體的棱切球即為底面棱長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為22故R2=2故該多面體的棱切球的表面積為4πR故答案為：12π【題型5內(nèi)切球模型問(wèn)題】【例5】（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）一圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面直徑為4，母線長(zhǎng)為5，則內(nèi)切于該圓臺(tái)的球體體積為（

）A．4π5 B．4π3 C．【答案】B【解題思路】根據(jù)條件求出圓臺(tái)的高，結(jié)合條件得到球與圓臺(tái)的上、下底面相切，從而求出內(nèi)切球的半徑，即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r1,r又母線長(zhǎng)為5，則圓臺(tái)的高為h=5?若球與圓臺(tái)的下底面和側(cè)面相切，設(shè)球的半徑為R，球心為O，圓臺(tái)的上、下底面的中心分別為O2與圓臺(tái)側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn)為F，過(guò)球心的軸截面如圖所示，連接OF,OC，易知O1B=BF=2，則由OF2+FC2=又2R=25所以R=h2=1

故選：B.【變式5-1】（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)等于底面的圓半徑的2倍，那么該圓錐的表面積與圓錐的內(nèi)切球表面積之比為（

）A．32 B．94 C．36【答案】B【解題思路】根據(jù)圓錐和它的內(nèi)切球的性質(zhì)，做出軸截面，求出內(nèi)切球半徑和底面半徑之比，求出圓錐的表面積與圓錐的內(nèi)切球表面積之比.【解答過(guò)程】如圖所示，作圓錐軸截面△OAB及其內(nèi)切圓P，與三角形切于M,N兩點(diǎn)，設(shè)圓錐底面半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則OA=2R，由勾股定理易知ON=3所以在△OMP中，MP=r,OP=3由三角形內(nèi)切圓可得△OMP～△ONA，可得OPOA=MPAN，即圓錐表面積為S表=1則圓錐的表面積與圓錐的內(nèi)切球表面積之比S表故選：B.【變式5-2】（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）正三棱臺(tái)ABC?A1BA．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解題思路】由截面圖結(jié)合等面積法和勾股定理列出關(guān)于r的等量關(guān)系求出r即可求解.【解答過(guò)程】由題可知上下底正三角形的高分別為62由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則有32+r所以正三棱臺(tái)的高為6.故選：D.【變式5-3】（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的母線與下底面所成角的正弦值為32，則此圓臺(tái)的表面積與其內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線都相切的球）的表面積之比為（

A．43 B．32 C．83【答案】D【解題思路】設(shè)上底面半徑為r1，下底面半徑為r2，根據(jù)圓臺(tái)的內(nèi)切球的性質(zhì)以及線面角可得r2=3r1，且母線長(zhǎng)為【解答過(guò)程】設(shè)上底面半徑為r1，下底面半徑為r如圖，取圓臺(tái)的軸截面，作CM⊥AB，垂足為M，設(shè)內(nèi)切球O與梯形兩腰分別切于點(diǎn)E,F，可知BC=r1+由題意可知：母線與底面所成角為∠B=π則BMBC=r即BC=4r1，BM=2r可知內(nèi)切球O的半徑r=3可得S圓臺(tái)=π所以S圓臺(tái)故選：D.【題型6多球相切問(wèn)題】【例6】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為23的正三角形的圓錐形封閉容器，放入一個(gè)小球O2后，還可以放入一個(gè)半徑為1的小球O1，則小球OA．4243 B．1243 C．481【答案】A【解題思路】要使小球O2的體積與容器體積之比最大，則小球O2的半徑r2【解答過(guò)程】由題意，得圓錐形容器的底面半徑r=3，高h(yuǎn)=3因?yàn)檫呴L(zhǎng)為23的正三角形的內(nèi)切圓半徑r1=所以小球O1要使小球O2的體積與容器體積之比最大，則小球O2的半徑r2最大，所以只需小球O圓錐形容器的側(cè)面都相切，其軸截面如圖.此時(shí)r2所以小球O2的體積與容器體積之比的最大值為4故選：A.【變式6-1】（2025·重慶·三模）棱長(zhǎng)為43的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的體積最大為（

A．82π3 B．42π3【答案】D【解題思路】先求出正四面體的體積及表面積，利用VA?BCD=V【解答過(guò)程】如圖，由題意知球和正四面體A?BCD的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為O，半徑為R，空隙處的最大球球心為O1，半徑為r由正四面體結(jié)構(gòu)特征可知G為△BCD的中心，AG⊥面BCD，設(shè)E為CD中點(diǎn)，球O和球O1分別與面ACD相切于F和H易得BE=432?2由VA?BCD=V又VA?BCD=1故R=3×1664×123=又由△AO1H和△AOF相似，可得AO1即空隙處的最大球的半徑為22所以空隙處的最大球的體積為為43故選：D.【變式6-2】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，裝滿水的圓臺(tái)形容器內(nèi)放進(jìn)半徑分別為2和4的兩個(gè)鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器壁、水面均相切，此時(shí)容器中水的體積為.

【答案】72【解題思路】通過(guò)軸截面來(lái)分析解決圓臺(tái)的上下底面半徑及高，求得圓臺(tái)的體積，再求容器中水的體積.【解答過(guò)程】作幾何體的軸截面圖如圖，M，N分別是大球和小球的球心，Q是圓臺(tái)的軸截面等腰梯形ABCD兩腰AD和BC的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).

G，H分別是球M和球N與圓臺(tái)側(cè)面的切點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是與圓臺(tái)上下底面的切點(diǎn).則GM⊥AQ，NH⊥AQ，QE⊥AB，QF⊥CD，且GM=EM=4，NH=NF=2，EF=12.過(guò)N點(diǎn)作NK//AQ交GM于K，顯然NK⊥GM，所以四邊形且MN=6，MK=MG?KG=MG?NH=2，所以在直角三角形MNK中，sin∠MNK=由同角三角函數(shù)關(guān)系式得cos∠MNK=1?sin又由NK//AQ，所以∠MNK=∠EQA，所以sin∠EQA=在直角三角形NHQ中，NH=2，得NQ=NHsin∠EQA又在直角三角形DFQ中，DF=FQ?tan同理在直角三角形EQA中，EQ=EF+FQ=12+4=16，AE=EQ?tan所以圓臺(tái)的上底面半徑AE=42，下底面半徑DF=2，高所以圓臺(tái)的體積V=1而球M的體積VM=43π所以容器中水的體積V故答案為：72π【變式6-3】（2025·山東泰安·二模）如圖，在母線長(zhǎng)為4+23，高為3+23的倒置圓錐形容器（不計(jì)厚度）內(nèi)放置一個(gè)底面半徑為1的圓柱體.現(xiàn)向圓柱側(cè)面與圓錐側(cè)面所夾空間內(nèi)放入若干小球，所有小球均與圓柱側(cè)面，圓錐側(cè)面及圓錐底面所在平面相切，則這樣的小球最多能放入【答案】6【解題思路】求出滿足條件的小球的半徑，再由俯視圖可求出兩個(gè)小球球心與底面圓圓心投影連線的夾角，即可得解.【解答過(guò)程】如圖，則R2=l由題意，小球與圓柱、圓錐側(cè)面、圓錐底面相切，作軸截面如圖所示，因?yàn)?BO′=OA則∠BAC=30°，設(shè)圓O1的半徑為r1，則解得r1作俯視圖，因?yàn)椤鱋′O由360°60°故答案為：6.【題型7外接球之二面角模型】【例7】（2025·黑龍江大慶·一模）已知正三棱錐A?BCD的底面邊長(zhǎng)為6，二面角A?BC?D的余弦值為34，則正三棱錐A?BCD外接球的表面積為（

A．2561313π B．6251313π【答案】C【解題思路】作輔助線，找到二面角的平面角∠AED，利用相關(guān)線段長(zhǎng)度，結(jié)合二面角A?BC?D的余弦值求出AE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出正三棱錐的高AH，設(shè)外接球半徑為r，根據(jù)外接球的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列出關(guān)于r的方程，求解出r，最后利用球的表面積公式計(jì)算出外接球的表面積.【解答過(guò)程】如圖所示，正三棱錐A?BCD，作AH⊥平面BCD于點(diǎn)H，則H為正三角形BCD的中心，取BC的中點(diǎn)E，連接DE,AE，設(shè)外接球心為O，則O在AH上，連接OD.

由已知△BCD的邊長(zhǎng)為6，由于AE⊥BC,DE⊥BC，∠AED即二面角A?BC?D的平面角，則cos∠AED=因?yàn)镈E=BD2所以AE=EHcos∠AED設(shè)外接球O的半徑為r，則OA=OD=r，OH=AH?r又DH=23DE=所以r2=2故正三棱錐A?BCD外接球的表面積S=4π故選：C.【變式7-1】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=2，D為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACD沿AD折起，使C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，且二面角C′?AD?B的大小為90°，當(dāng)BCA．102 B．62 C．6【答案】B【解題思路】設(shè)∠BAD=α，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理得出C′F⊥平面ABD，再結(jié)合圖形根據(jù)勾股定理可得BC【解答過(guò)程】如圖，設(shè)∠BAD=α，則∠C過(guò)點(diǎn)C′作C′F⊥AD因?yàn)槎娼荂′?AD?B的大小為90°，所以平面C又平面C′AD∩平面ABD=AD，C′F?平面C′過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，則AE=2cosα，又C′F=2sin所以EF=AE?AF因?yàn)槎娼荂′?AD?B的大小為所以BC當(dāng)α=π4時(shí)，BC′有最小值2，此時(shí)AD平分∠BAC，且D，三棱錐C′?ABD可看作是棱長(zhǎng)為設(shè)三棱錐C′?ABD外接球的半徑為則(2R)2=(故選：B.【變式7-2】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐A?BCD中，AB=AC=2,?BC=CD=2,?∠BCD=120°，若三棱錐A?BCD的外接球表面積為A．60°或120° B．30°或150° C．60° D．45°【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，作出球心O，利用外接球半徑R，△ABC,△BCD外接圓半徑r1,r2，可求得【解答過(guò)程】設(shè)△ABC,△BCD外接圓圓心分別為O1,O2，外接圓半徑為過(guò)O1,O2分別作平面ABC，平面BCD的垂線，交點(diǎn)即為三棱錐∵AB=AC=2,?BC=2，所以O(shè)1在BC中點(diǎn)處，r∵BC=CD=2,?∠BCD=120°，CDsin∠CBD=2r2所以O(shè)1三棱錐A?BCD的外接球表面積為S=4πOO1=又OO2⊥平面BCD，O1O則sin∠OO1又OO1⊥平面ABC，BC，A又AO1⊥BC,所以∠AO1O∠AO1O故選：A.【變式7-3】（2025·河南鶴壁·二模）如圖，在三棱錐A?BCD中，△ABC和△BCD均為邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若二面角A?BC?D的大小為90°，則三棱錐A?BCD外接球的表面積為（

A．5π B．C．6π D．【答案】A【解題思路】取BC中點(diǎn)為E，以及△ABC的外心為O1，△BCD的外心為O2，依據(jù)平面PBC⊥平面ABC可知【解答過(guò)程】設(shè)E是BC中點(diǎn)，連接AE,DE，設(shè)△ABC的外心為O1，△BCD的外心為OO是四面體外接球球心，由于△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為3的正三角形，所以AE⊥BC,DE⊥BC,AE=DE=3且O1,O2分別在根據(jù)二面角A?BC?D?的大小為?90°OO1⊥平面BCD，OO2由于O1E=OEO1=E設(shè)四面體外接球的半徑為R，則R=1所以外接球的表面積為4π故選：A.【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問(wèn)題】【例8】（2025·重慶·三模）已知某圓錐的外接球的體積為500π3，若球心到該圓錐底面的距離為4，則該圓錐體積的最大值為（

A．9π B．27π C．18π D．48π【答案】B【解題思路】求出外接球的半徑，由此可求出圓錐底面半徑長(zhǎng)，并求出圓錐高的最大值，結(jié)合錐體體積公式可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】設(shè)圓錐PO1的外接球O半徑為R，則4π所以，圓錐PO1的底面半徑為所以，當(dāng)圓錐的高為R+4=5+4=9時(shí)，圓錐的體積最大，且其最大值為13故選：B.【變式8-1】（2025·湖南·二模）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=6，E為線段CA．323π B．40003π27 【答案】B【解題思路】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用外心定義可得ABD的外接圓圓心G的坐標(biāo)，進(jìn)而可得外接圓半徑GA=32+13=2213，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為【解答過(guò)程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A作AB的垂線為y軸，AA1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)三角形ABD的外接圓的圓心為G，則點(diǎn)G在xOy平面上，且為線段AB中垂線與線段AD中垂線交點(diǎn)，注意到線段AB中垂線方程滿足x=3z=0，AD中點(diǎn)為D又在平面xOy中，kAD=35，則聯(lián)立x=3z=0與y=?533x?過(guò)點(diǎn)G作平面ABC的垂線，則外心O一定在此垂線上，故可設(shè)O的坐標(biāo)為3,?33,h故三角形ABD的外接圓半徑GA=由題可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為3,33,t，且由外接球的定義知：R2故R2=h故當(dāng)h最小時(shí)，半徑最小，即體積最小，由基本不等式知，h=t2+12t≥2t故體積V≥4000故選：B.【變式8-2】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P?ABC中，三條棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=2.若點(diǎn)Q為三棱錐P?ABC的外接球球面上任意一點(diǎn)，則Q到面ABC距離的最大值為（

）A．3+6 B．C．32+6【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，易得外接球半徑R=32，利用正弦定理得到截面△ABC的外接圓半徑為r=536【解答過(guò)程】三棱錐P?ABC的外接球就是以PA、PB、PC為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，其直徑為2R=12+又AB=5,BC=22則sin∠BAC=265，于是由正弦定理，故球心O到ABC面的距離為R2所以點(diǎn)Q到面ABC距離的最大值是32故選：C.【變式8-3】（2025·四川成都·二模）直觀想象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，現(xiàn)有大小完全相同的10個(gè)半徑為r的小球，全部放進(jìn)棱長(zhǎng)為8+46的正四面體盒子中，則r的最大值為（

A．12 B．1 C．32【答案】D【解題思路】根據(jù)題意利用正四面體的性質(zhì)得出棱長(zhǎng)與高之間的關(guān)系，再由10個(gè)球在正四面體盒子內(nèi)部擺放規(guī)則以及內(nèi)切關(guān)系，利用三角形相似即可求得r的最大值.【解答過(guò)程】如圖所示，因?yàn)檎拿骟w的高等于其棱長(zhǎng)的63倍，所以其高為AO=8+10個(gè)半徑為r的小球放進(jìn)棱長(zhǎng)為8+46的正四面體A?BCD則從上到下每層的小球個(gè)數(shù)依次為1,1+2當(dāng)r取最大值時(shí)，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個(gè)球都與正四面體底面相切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于每層正三角狀頂點(diǎn)的所有上下相鄰小球的球心連線為一個(gè)正四面體E?FGH，則該正四面體E?FGH的棱長(zhǎng)為r+2r+r=4r，可得正四面體E?FGH的高EP=4r×6連接DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，連接AM，過(guò)點(diǎn)E作NE⊥AM于點(diǎn)N，易知△AOM∽△ANE,AM=DM=3MO，所以AENE所以AE=3NE=3r，所以正四面體A?BCD的高AO=AE+EP+PO=3r+4解得r=2，所以r的最大值為2.故選：D.【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問(wèn)題】【例9】（2025·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）已知球O的半徑為3，正方體ABCD?A1B1C1D1所有頂點(diǎn)均在球面上，點(diǎn)M是棱A．5π B．4π C．3π【答案】C【解題思路】根據(jù)正方體對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑求出正方體的棱長(zhǎng)，結(jié)合當(dāng)OM與截面垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，此時(shí)截面圓面積最小，進(jìn)而可得答案．【解答過(guò)程】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則正方體對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑2R，球心O是正方體對(duì)角線中點(diǎn)，由正方體對(duì)角線公式a2+a因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，當(dāng)OM與截面垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，此時(shí)截面圓面積最小．因?yàn)镺A=R=3，AM=3，勾股定理OA2設(shè)截面圓半徑為r，則r=R所以截面面積S=π故選：C．【變式9-1】（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=3，AC=4，點(diǎn)D滿足AD=3DC，三棱錐P?ABC的外接球?yàn)榍騉，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為4π，則球OA．16π B．20π C．24π【答案】D【解題思路】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體并建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=h、外接球半徑為R，求出各點(diǎn)及球心坐標(biāo)，分析截面圓的面積差從而求出h、R，代入球的表面積公式即可得解.【解答過(guò)程】設(shè)PA=h，因?yàn)樵谌忮FP?ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，所以將其補(bǔ)為一個(gè)長(zhǎng)方體（長(zhǎng)為4，寬為3，高為h），三棱錐與該長(zhǎng)方體共外接球，球心O為長(zhǎng)方體體對(duì)角線中點(diǎn)，設(shè)外接球半徑為R，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0),D(3,0,0),O(2,3OD=1+R=A過(guò)D作求O的截面，最大截面為：過(guò)球心O，半徑為R，面積為πR最小截面為：與OD垂直，半徑為r=R2?O因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為4π所以πR2?π則R2=25+故選：D.【變式9-2】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M,N分別為A．π2 B．2π3 C．π【答案】A【解題思路】設(shè)T是線段MN的中點(diǎn)，則OT⊥MN，利用勾股定理求出MN，進(jìn)而求出OT，找出當(dāng)OT垂直于過(guò)MN的平面時(shí)，截得該正方體的內(nèi)切球所得截面圓的面積最小，再利用弦長(zhǎng)公式和面積公式即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】設(shè)T是線段MN的中點(diǎn)，則OT⊥MN，由勾股定理MN=M球心O到MN距離為OT=(當(dāng)OT垂直于過(guò)MN的平面時(shí)，截得該正方體的內(nèi)切球所得截面圓的面積最小，MN被球截得的弦長(zhǎng)為l=2R此時(shí)圓的半徑就是r=l2=故選：A.【變式9-3】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱錐P?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=43，AB=6，過(guò)棱AB作球O的截面，則所得截面面積的取值范圍是（

A．9π,12π B．9π,16π【答案】B【解題思路】求出三棱錐外接球的半徑，取AB的中點(diǎn)D，當(dāng)OD垂直截面時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的直徑為AB長(zhǎng)，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大，即可得解.【解答過(guò)程】如圖，作PH⊥平面ABC，垂足為H，取AB的中點(diǎn)D，外接球的球心為O，連接AO,AH，易得H為△ABC的中心，則AH=23，所以PH=設(shè)外接球半徑為R，則AO2=AH2當(dāng)OD垂直過(guò)AB的截面時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的直徑為AB長(zhǎng)，最小面積為π×當(dāng)截面過(guò)球心O時(shí)，截面圓的面積最大，最大面積為π×故截面面積的取值范圍是9π故選：B.【題型10\t"/gzsx/zsd28893/_blank"\o"多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題"多面體與球體內(nèi)切外接綜合問(wèn)題】【例10】（2025·天津河?xùn)|·二模）已知正方體的邊長(zhǎng)為a，其外接球體積與內(nèi)切球表面積的比值為32，則a的值為（

A．3 B．2 C．5 D．3【答案】A【解題思路】利用正方體的外接球與內(nèi)切球的性質(zhì)結(jié)合球體的表面積與體積公式計(jì)算即可.【解答過(guò)程】易知正方體的外接球半徑為其體對(duì)角線的一半，即3a內(nèi)切球半徑為棱長(zhǎng)的一半，即a24π故選：A.【變式10-1】（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐P?ABC中，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，記三棱錐P?ABC內(nèi)切球、外接球的半徑分別為r,R，則rR=（A．16 B．38 C．13?1【答案】D【解題思路】根據(jù)VP?ABC=13S△ABC+3【解答過(guò)程】設(shè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，底面正三角形的中心為H，則頂點(diǎn)P在底面的投影點(diǎn)為H，因?yàn)閭?cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，即∠PAH=60在Rt△PAH中，AH=23a2S△PAB=1正四棱錐體積為：VP?ABC因?yàn)閂P?ABC=1在正三棱錐中，外接球的球心在PH，設(shè)球心為O，設(shè)OH=k，根據(jù)球心到頂點(diǎn)距離相等可得，OP=OA，即a?k=k2+a2所以rR故選：D.【變式10-2】（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PA=PB=PC=PD=5，設(shè)該四棱錐的外接球球心與內(nèi)切球球心分別為O1，O2，則OA．0 B．36 C．33 【答案】B【解題思路】由題設(shè)可知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2側(cè)棱長(zhǎng)為5，進(jìn)而求出外接球的半徑，應(yīng)用等體積法求內(nèi)切球的半徑，即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)樗睦忮FP?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PA=PB=PC=PD=5，P?ABCD為正四棱錐，設(shè)底面中心為O則四棱錐外接球球心及內(nèi)切球球心都在PO上，設(shè)外接球球心為O1，半徑為R連接O1C，則有PO1在△POC中，PO=P由O1C2=OC2設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，△PBC中，PB=PC=5,BC=2，所以S△PBC=1由VP?ABCD=1∴r=33，則O1故選：B.【變式10-3】（2025·天津和平·一模）已知正四面體ABCD（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）表面積為π6，設(shè)能裝下正四面體ABCD的最小正方體的體積為V1，正四面體ABCD的外接球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為V2，則VA．316π B．68π C．【答案】A【解題思路】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球球心為O，半徑為r2，由等體積法求出a=1，將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四面體ABCD的最小正方體，即可求出V1，設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R，根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出【解答過(guò)程】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的表面積為S=4×3由題設(shè)底面△ABC的外接圓半徑r1，則所以正四面體的高為a2其體積為V=1設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球球心為O，半徑為r2V=解得：r2=612a將該正四面體放入下圖的正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四面體ABCD的最小正方體，正四面體ABCD的最小正方體的邊長(zhǎng)為b，如下圖，即2b2=體積為V1=b則正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為2R=3所以R=64，所以外接球的體積為V1故選：A.一、單選題1．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其內(nèi)切球和外接球球心重合，則該圓錐外接球的表面積為（

）A．48π B．36π C．24π D．12π【答案】A【解題思路】根據(jù)內(nèi)切球和外接球球心重合，得到角之間的關(guān)系，繼而可求外接球半徑.【解答過(guò)程】因?yàn)閮?nèi)切球和外接球球心重合，如圖可以得到∠OSA=∠OAS=∠OAH=30°所以外接球半徑R=OA=OS=2OH，∵32R=SH=3因此圓錐外接球的表面積為48π.故選：A.2．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1DA．80π B．91π C．128π【答案】D【解題思路】根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)找到其外接球的球心，然后設(shè)球心為O，點(diǎn)O距離下底面的高度為x.根據(jù)題意列出方程，求解即可.【解答過(guò)程】由題意可知，正四棱臺(tái)外接球的球心在其上、下底面正方形的對(duì)角線的中點(diǎn)的連線上，如圖所示，設(shè)球心為O，點(diǎn)O距離下底面的高度為x.因?yàn)閔=46，AB=8，A1B1=4設(shè)棱臺(tái)的外接球的半徑為R，根據(jù)勾股定理可得R2=4則R2=x故選：D.3．（2025·福建龍巖·二模）已知正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的上，下底面邊長(zhǎng)分別為A．7π B．323π C．16【答案】C【解題思路】根據(jù)臺(tái)體體積公式可得臺(tái)體的高，即可利用勾股定理列方程求解半徑.【解答過(guò)程】在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，故143則BD=222連接BD、AC相交于點(diǎn)E，B1D1、A設(shè)外接球的球心為O，若O在臺(tái)體外，設(shè)O到底面ABCD的距離為d，則半徑為R=E即4+d2=1+3+d2若O在臺(tái)體內(nèi)，O到底面ABCD的距離為d，則半徑為R=E即4+d2=1+3?d2綜上所述，h=EF=OF=3，故R=2，所以4故選：C.4．（2025·黑龍江·二模）在四棱錐S?ABCD中，側(cè)面SAD⊥底面ABCD，側(cè)面SAD是正三角形，底面ABCD是邊長(zhǎng)為26的正方形，則該四棱錐外接球表面積為（

A．5π B．10π C．28π D．56π【答案】D【解題思路】運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)證得O1E⊥平面SAD，SE⊥平面【解答過(guò)程】如圖所示，連接AC、BD交于一點(diǎn)O1，取AD中點(diǎn)E，連接O1E所以由題意知，O1E⊥AD，SE⊥AD，O1又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，O1E?平面所以O(shè)1E⊥平面同理：SE⊥平面ABCD，設(shè)等邊△SDA的外接圓的圓心為O2，過(guò)O2作O1E的平行線交過(guò)O1則OO1⊥平面ABCD，O所以O(shè)為四棱錐S?ABCD外接球的球心，半徑為R，在等邊△SDA中由正弦定理得26sinπ又因?yàn)镺O所以R=OS=O所以四棱錐S?ABCD外接球表面積為4π故選：D.5．（2025·四川德陽(yáng)·三模）六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形）.若一正八面體的內(nèi)切球表面積為S1，外接球表面積為S2，則S2A．43 B．32 C．3【答案】C【解題思路】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征可得外接球的半徑，利用等積法可得內(nèi)切球半徑，進(jìn)而利用球的表面積公式即可求得.【解答過(guò)程】如圖正八面體，連接AC和BD交于點(diǎn)O，因?yàn)镋A=EC，ED=EB，所以EO⊥AC，EO⊥BD，又AC?平面ABCD，BD?平面ABCD，AC∩BD=O，所以EO⊥平面ABCD，設(shè)正八面體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，假設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為2，則EB=EC=BC=2，OB=OC=2，EO=S△EBC=3因OB=OC=OE=2，則R=2，且則點(diǎn)O到平面BEC的距離為內(nèi)切球半徑r，因?yàn)閂E?OBC=V即13×1×2所以S2故選：C.6．（2025·安徽合肥·三模）將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD沿對(duì)角線BD進(jìn)行翻折，使得二面角A?BD?C的大小為120°，連接AC，得到四面體ABCD，則該四面體的外接球體積與四面體的體積之比為（

）A．43π B．83π C．【答案】D【解題思路】根據(jù)題意得到翻折后四面體ABCD是2個(gè)直角三角形構(gòu)成的，所以外接球球心在斜邊的中點(diǎn)處，可得到半徑進(jìn)而求得體積，由翻折特性可知BD⊥平面AOC，又VA?BCD【解答過(guò)程】翻折后所得圖形如下圖所示，易知BD的中點(diǎn)O為球心，故該四面體的外接球體積V=4又AO⊥BD,CO⊥BD，AO,CO?平面AOC，AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC，二面角A?BD?C的大小為120°，S△AOCVA?BCD故所求體積之比為83故選：D．7．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=22，PA=AC=4，△ACD為等邊三角形，則平面PAD與三棱錐P?ABC的外接球球面的交線長(zhǎng)為（

A．4π B．25π C．6【答案】B【解題思路】先證明出BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，則PC為三棱錐P?ABC的外接球的直徑，且PC=42，作出輔助線，得到CH⊥平面PAD，求出M到平面PAD的距離d=CH2=3，平面PAD與三棱錐P?ABC的外接球球面的交線為圓，且圓的半徑【解答過(guò)程】因?yàn)锳B2+B又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，又AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，則PC為三棱錐P?ABC的外接球的直徑，PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PA⊥AC，PA=AC=4，由勾股定理得PC=P取M為PC的中點(diǎn)，過(guò)C作CH⊥AD，H為垂足，PM=22PA⊥平面ABCD，CH?平面ABCD，所以PA⊥CH，又AD∩PA=A，AD,PA?平面PAD，故CH⊥平面PAD，因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形，且AC=4，則CH=23所以M到平面PAD的距離d=CH2=故平面PAD與三棱錐P?ABC的外接球球面的交線為圓，且圓的半徑r滿足r2+d2故選：B.8．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△ACD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，將該四邊形沿對(duì)角線AC折成四面體B?ACD，在折起的過(guò)程中，四面體的外接球體積最小值為（

）A．32π3 B．4π C．4【答案】C【解題思路】因?yàn)椤鰽CD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以△ACD的外接圓圓心是AC的中點(diǎn)，所以外接球的球心與AC中點(diǎn)的連線垂直面ACD,再使用余弦定理列出方程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中角的范圍，求出外接球半徑的范圍，得出答案.【解答過(guò)程】如圖，設(shè)三棱錐B?ACD的外接球球心為O，取AC的中點(diǎn)E,連接EB,ED,OB,OD，因?yàn)椤鰽CD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以△ACD的外接圓圓心是點(diǎn)E，則由球的性質(zhì)可知，OE⊥平面ACD，設(shè)外接球半徑為R,∵△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,△ACD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∴EB=3在Rt△OED中勾股定理可知OE=則在△BOE中利用余弦定理可得，cos∵∠OEB∈[0,π2),∴cos∠OEB∈(0,1]所以R的最小值為1，外接球體積最小值為4π故選：C.二、多選題9．（2024·河南信陽(yáng)·一模）六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為23m2C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為2πm2【答案】ACD【解題思路】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗(yàn)證各選項(xiàng).【解答過(guò)程】

對(duì)A：由題知，各側(cè)面均為邊長(zhǎng)為m的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積S=8×3對(duì)B：連接AS,PS，則AS=PS=22m，PS⊥故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積V=2×1對(duì)C：底面中心S到各頂點(diǎn)的距離相等，故S為外接球球心，外接球半徑R=PS=2故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積S′對(duì)D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑r=3V故內(nèi)切球的表面積S″故選：ACD．10．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知多面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，AA1，BB1，CC1，DDA．AB．若多面體ABCD?A1C．VD．若CC1=3，AA【答案】ACD【解題思路】據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷A；由外接球的特征和性質(zhì)判斷B；據(jù)棱錐的體積公式判斷C；應(yīng)用等體積法判斷D.【解答過(guò)程】如圖1-4，在正方形ABCD中，AC⊥BD．由題意AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD由BB1//DD1，B所以AC⊥B1D1AA1⊥B又A1C1?平面如圖1-5，當(dāng)多面體為正方體時(shí)，才有外接球，外接球的半徑等于體對(duì)角線的一半，為3，所以外接球的表面積S=12π，故B錯(cuò)誤．如圖1-6，AA1+C如圖1-7，若CC1=3，AA1故選：ACD.11．（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球表面積為A．正方體ABCD?A1B．D1C//C．在該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)構(gòu)造一個(gè)三棱錐，則該三棱錐體積的最大值為8D．平面AMC1截正方體ABCD?【答案】BCD【解題思路】先由外接球的表面積計(jì)算正方體的棱長(zhǎng)a，由面對(duì)角線為棱切球的直徑即可求得棱切球的半徑r，進(jìn)而得表面積，連接D1B交AC1于O，連接OM，即證OM//D1C【解答過(guò)程】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，由正方體的外接球的表面積為12π，所以S=4解得R=3，又2R對(duì)于A：設(shè)正方體ABCD?A1B所以2r2=a對(duì)于B：連接D1B交AC1于O，連接OM，在正方體ABCD?A1B1C所以O(shè)M//D1C，又D1C不在平面AMC1內(nèi)，OM?對(duì)于C：這樣的三棱錐有兩類：有3個(gè)頂點(diǎn)在正方體的一個(gè)面內(nèi)，體積為13三棱錐任意3個(gè)頂點(diǎn)不在正方體的同一面內(nèi)，體積為23?4×4對(duì)于D：取A1D1的中點(diǎn)為N，連接AN,NC1，取B1C1所以四邊形A1HC1N平行四邊形，所以A1H//所以AM//A1H，所以AM//NC1，所以平面AM又正方體的棱長(zhǎng)為2，所以AM=MC1=又AC1=23,MN=2故選：BCD.三、填空題12．（2025·河北秦皇島·一模）內(nèi)切球半徑為1的正四棱錐的外接球半徑的最小值為.【答案】2【解題思路】設(shè)出底面邊長(zhǎng)和高后，結(jié)合正四棱錐外接球與內(nèi)切球性質(zhì)用底面邊長(zhǎng)及高表示出外接球半徑與內(nèi)切球半徑，而后作商，多次換元將式子化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【解答過(guò)程】設(shè)正四棱錐P?ABCD底面邊長(zhǎng)為a，高為h，底面ABCD的中心為M，連接PM,BM，則BM=22a，PM=h設(shè)外接球球心為O1，內(nèi)切球球心為O2，則O1，O因?yàn)镻O1=B在Rt△O1MB中，因?yàn)閂P?ABCD所以r=ah所以R==(2h2令k=ha，則令t=4k2令m=t?1(m>0)，則Rr當(dāng)且僅當(dāng)m2=1所以Rr的最小值為2+1，注意到r=1，故故答案為：2+1.13．（2025·河北秦皇島·三模）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．四面體SABC是一個(gè)鱉臑，已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，SA=AB=2，SC=26，BC=4，則平面SAB截該鱉臑的外接球所得截面面積為【答案】2【解題思路】根據(jù)鱉臑的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)得線線垂直，設(shè)SC的中點(diǎn)為O，從而可得點(diǎn)O為四面體S?ABC外接球的球心，結(jié)合球的幾何性質(zhì)確定球心O到平面SAB的距離得截面圓的半徑，即可得所求.【解答過(guò)程】設(shè)SC的中點(diǎn)為O，連接OA,OB，因?yàn)轺M臑的四個(gè)面都是直角三角形，且SA=AB=2，故SA⊥AB．因?yàn)椤螦BC=90°，AB=2，BC=4，故AC=25又SA=2，SC=26，故SA⊥AC又AC∩AB=A，AC,AB?平面ABC，所以SA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以SA⊥BC．又AB⊥BC，SA∩AB=A，SA,AB?平面ABS，∴BC⊥平面ABS，又BS?平面ABS，所以BC⊥SB，∴△SBC和△SAC都是以平面SC為斜邊的直角三角形．由于O為SC的中點(diǎn)，則點(diǎn)O為四面體S?ABC外接球的球心，∴外接球的半徑R=6，且點(diǎn)O到平面SAB的距離為d=∴△SAB的外接圓半徑r=R∴平面SAB截四面體SABC的外接球的截面的面積為2π故答案為：2π14．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是某零件的結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球、正四面體的三個(gè)面均相切.若AB＝12，則該模型中一個(gè)小球的體積為.

【答案】6【解題思路】根據(jù)題干信息畫(huà)出示意圖，根據(jù)正四面體的特征分別計(jì)算出大小球半徑即可求出小球的體積.【解答過(guò)程】如圖所示，設(shè)O為大球的球心，大球的半徑為R，大正四面體的底面中心為E，棱長(zhǎng)為AB=12，高為h，CD的中點(diǎn)為F，連接OA,OB,OC,OD,OE,BF，則BE=23BF=∵V正四面體∴13∴R=1設(shè)小球的半徑為r，小球也可看作一個(gè)小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高h(yuǎn)小∴r=1∴小球的體積為：43故答案為：6π四、解答題15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,PA=3,PB=4,PC=5，(1)求三棱錐P?ABC的表面積；(2)求三棱錐P?ABC的外接球體積．【答案】(1)47+(2)125【解題思路】（1）由直角三角形面積公式得到△PAB,△PAC,△PBC面積，由余弦定理和三角形面積公式得到△ABC面積，相加得到表面積；（2）由兩兩垂直可知補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體體對(duì)角線即為外接球直徑，再由球的體積公式得到外接球體積.【解答過(guò)程】（1）由題意得S△PABS△PAC以下計(jì)算S△ABC在Rt△PAB中，PA=3,PB=4，所以AB=5在Rt△PAC中，PA=3,PC=5，所以AC=在Rt△PBC中，PB=4,PC=5，所以BC=在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC=所以sin∠BAC=所以S△ABC所以三棱錐P?ABC的表面積S=S（2）因?yàn)镻A,PB,PC兩兩垂直，所以三棱錐P?ABC的外接球直徑2R即為以PA,PB,PC長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，根據(jù)長(zhǎng)方體體對(duì)角線公式得2R=P所以三棱錐P?ABC的外接球半徑R=5所以三棱錐P?ABC的外接球體積V=416．（24-25高一下·廣東·階段練習(xí)）如圖，△BCD是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，BD=4，cos∠BCD=63(1)求圓錐的外接球的表面積；(2)用平行于底面的平面截去圓錐的上半部分，若剩下的圓臺(tái)有內(nèi)切球，求圓臺(tái)的體積.【答案】(1)64(2)208【解題思路】（1）設(shè)底面圓心為O，半徑為r1，利用正弦定理即可求出r1，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓即可求出PA，即可求出圓錐的高h(yuǎn)，設(shè)圓錐外接球半徑為R，建立方程求出（2）設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r2，內(nèi)切球的半徑為r，利用相似三角形即可求出r,【解答過(guò)程】（1）設(shè)底面圓心為O，半徑為r1,cos由正弦定理可知2r1=又圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，所以2πr1=π設(shè)圓錐外接球的半徑為R，則6?R2+12=R所以外接球的表面積為4π（2）設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r2，內(nèi)切球的半徑為r由圖根據(jù)三角形相似可知r223=4所以圓臺(tái)的體積為V=117．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐P?ABC中，PB=PC,AC=AB=2,AC⊥AB，且平面PBC⊥(1)證明：BC⊥PA(2)證明銳二面角A?PB?C的平面角大于π4(3)設(shè)三棱錐P?ABC的體積為V，內(nèi)切球的半徑為r，求2r【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)2+6【解題思路】（1）應(yīng)用線面垂直的判定證明線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，令P(0,0,x)，再應(yīng)用向量法得到二面角余弦值關(guān)于x的表達(dá)式，即可證；（3）根據(jù)（2）及棱錐體積公式、等體積法得到V,r關(guān)于x的表達(dá)式，進(jìn)而有2r【解答過(guò)程】（1）由PB=PC,AC=AB，若D為BC的中點(diǎn)，則BC⊥PD,AD⊥BC,PD∩AD=D且都在平面PAD內(nèi)，所以BC⊥平面PAD,PA?平面PAD，則BC⊥PA；（2）由平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊥BC，PD?平面PBC，所以PD⊥平面ABC，A