2/30重難點(diǎn)31圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問題【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1橢圓中的切線方程與切點(diǎn)弦問題】 2【題型2雙曲線中的切線方程與切點(diǎn)弦問題】 6【題型3拋物線中的切線方程與切點(diǎn)弦問題】 10【題型4切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題】 13【題型5與切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問題】 19【題型6與切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問題】 25【題型7與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值（范圍）問題】 341、圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問題圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，切線與切點(diǎn)弦問題的考查頻率變高，考查形式多種多樣，以選擇題或填空題的形式考查時(shí)，主要考查切線方程與切點(diǎn)弦方程，難度不大；以解答題的形式考查時(shí)，主要考查切點(diǎn)弦問題和以切線為載體的面積、最值、定值等問題，難度較大；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，學(xué)會靈活求解.知識點(diǎn)圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦1．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦(1)切線方程：過圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點(diǎn)弦方程：當(dāng)M(x0,y0)在曲線外時(shí)，過M可引該二次曲線的兩條切線，過這兩個(gè)切點(diǎn)的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結(jié)論.特別地：①對于橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點(diǎn)M(x0,y0)，則過該點(diǎn)作切線得到的切線方程.當(dāng)M在橢圓外時(shí)，過M引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，則過這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為.②更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項(xiàng)時(shí)，即圓錐曲線形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時(shí)，過點(diǎn)M(x0,y0)有對應(yīng)的一條直線為；當(dāng)M在原圓錐曲線上時(shí)，這條直線為過M的切線；當(dāng)M在曲線外時(shí)，過M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過這兩個(gè)切點(diǎn)的弦的直線.2．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論(1)過橢圓+=1上一點(diǎn)Px0,y0(2)過橢圓+=1外一點(diǎn)Px0,y0(3)過雙曲線?=1上一點(diǎn)Px0,y0(4)過雙曲線?=1外一點(diǎn)Px0,y0【題型1橢圓中的切線方程與切點(diǎn)弦問題】【例1】（24-25高二下·浙江嘉興·期中）經(jīng)過點(diǎn)P(1,32)且與橢圓x24A．x+23y?4=0 C．x+23y?2=0 【答案】A【解題思路】先利用點(diǎn)斜式，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到一元二次方程，讓此方程根的判斷式為零，求出斜率，即可求出切線方程，要考慮斜率不存在的情況．【解答過程】顯然當(dāng)x=1時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)存在斜率k時(shí)，直線方程設(shè)為：y?3y?32直線與橢圓相切，故Δ=0，即[4k(解得k=?36所以切線方程為故選A．【變式1-1】（2025·河北·模擬預(yù)測）過橢圓C：x24+y23=1上的點(diǎn)Ax1,y1，A．?32 B．?94 【答案】B【解題思路】利用橢圓的切點(diǎn)弦方程得直線AB的方程為x+ty【解答過程】先證橢圓的切線方程：對于x2a2+y2b證明：當(dāng)該切線存在斜率時(shí)，不妨設(shè)其方程為y=kx+t，與橢圓方程聯(lián)立可得：a2則Δ=2代入切線方程得n=b于是k=?tma2整理得：mxa由橢圓方程x24+y23=1設(shè)兩切線交點(diǎn)P4,t，易得切線PA的方程為x切線PB的方程為x2由于點(diǎn)P在切線PA、PB上，則x1=ty1聯(lián)立方程x24+y23=1由韋達(dá)定理得y1即y1?y故選：B．【變式1-2】（25-26高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P2,2，過點(diǎn)P作直線l與橢圓C相切，求直線l(3)若過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線互相垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】(1)x(2)x=2或3x?8y+10=0(3)x【解題思路】（1）利用已知條件及a2（2）討論直線l的斜率是否存在，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，令Δ=0（3）討論直線PA的斜率是否存在及是否為0，聯(lián)立直線與橢圓的方程，令Δ=0【解答過程】（1）由題意得b=1，因?yàn)閑=ca=32故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=2，易得x=2與橢圓C相切；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y?2=kx?2，即y=kx?2k+2聯(lián)立y=kx?2k+2x24由Δ=0可得，16即4k2+1?4此時(shí)直線l的方程為3x?8y+10=0.綜上所述，直線l的方程為x=2或3x?8y+10=0.（3）設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線PA斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線PB的斜率為0；當(dāng)直線PA斜率為0時(shí)，此時(shí)直線PB的斜率不存在，易得P±2,±1當(dāng)直線PA斜率存在且不為0時(shí)，此時(shí)x0≠±2，設(shè)直線PA方程為y?y聯(lián)立y?y0=k由于直線PA與橢圓C相切，所以Δ=0化簡得(y0?k由于直線PB斜率為?1所以方程(x02?4)x所以k×?化簡得x0此時(shí)點(diǎn)P的軌跡方程為x0將P±2,±1代入x綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x0【變式1-3】（24-25高二下·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)M3,12作直線l與橢圓(3)若過橢圓外一點(diǎn)Px0,y0【答案】(1)x(2)y=?(3)x2【解題思路】（1）根據(jù)題意，列出方程，結(jié)合a2=b（2）設(shè)直線l的方程為y?12=k(x?3)，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線l與橢圓C相切，利用Δ（3）當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)?時(shí)，求得點(diǎn)P；當(dāng)切線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線方程為y?y0=kx?x0，聯(lián)立方程組，結(jié)合Δ=0【解答過程】（1）解：由題意知，離心率e=32，且短軸長為2，可得c又a2=b2+c2（2）解：由橢圓x24+y2則直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y?1聯(lián)立方程組y?12=k(x?因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以Δ=0，即4k2所以直線l的方程為y?12=?（3）解：當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)?時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P(±2,±1)；當(dāng)切線斜率存在且不為0時(shí)，x0≠±2且設(shè)切線方程為y?y0=k整理得1+4k由Δ=0，可得y0?kx因?yàn)閮蓷l切線互相垂直，所以y02?1x此時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為x2綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x2【題型2雙曲線中的切線方程與切點(diǎn)弦問題】【例2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：x2?2y2=1上點(diǎn)P(3,1)【答案】3x?2y?1=0【解題思路】將雙曲線在某點(diǎn)的切線方程轉(zhuǎn)化為曲線在某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求出在某點(diǎn)的切線斜率，進(jìn)一步求出切線的方程.【解答過程】由C:x2?2根據(jù)題目條件，可知求曲線y=x2?12在點(diǎn)Py∴曲線y=x2?12在點(diǎn)∴曲線y=x2?12在點(diǎn)化簡得3∴雙曲線C在點(diǎn)P處的切線l的方程為3x?2y?1=0【變式2-1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線x2?y22=1【答案】2x?y?2=0【解題思路】根據(jù)雙曲線的切線方程（或切點(diǎn)弦方程）的結(jié)論直接代入即可得直線AB的方程.【解答過程】如下圖所示：方法一：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Ax根據(jù)結(jié)論：若點(diǎn)P0x0,y0在雙曲線則可得切線PA,PB的方程分別為x1x?y又因?yàn)镻1,1在切線上，可得x1?因此Ax1,可知直線AB的方程為x?y2=1方法二：可直接利用結(jié)論：若點(diǎn)P0x0,y0在雙曲線x2a2可得直線AB的方程為x?y2=1【變式2-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）（1）求雙曲線x2?y（2）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線x2?y22=1的兩條切線PA,PB【答案】（1）2x?y?2=0；（2）【解題思路】（1）由雙曲線上一點(diǎn)的切線方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出直線PA,PB的方程，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）由雙曲線x2a2?y所以雙曲線x2?y22化簡可得2x?y?2（2）設(shè)切點(diǎn)Ax1,y1又點(diǎn)P1,1在直線上，代入可得x1?所以點(diǎn)Ax1,所以直線AB的方程為x?y2=1【變式2-3】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲線C1:x(1)若曲線C1上兩個(gè)不同點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1,x2(2)若直線l：y=kx+m與曲線C2(3)若曲線C1上任意點(diǎn)P向曲線C2引兩條切線交C1于另兩點(diǎn)為Q、R，求證：直線QR【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)斜率公式以及點(diǎn)斜式即可求解直線方程；（2）聯(lián)立直線與曲線方程可得1+2k（3）根據(jù)y=?x1+x2x+x【解答過程】（1）設(shè)Ax1,y1，Bx2y1=3?x所以直線AB的斜率kAB根據(jù)點(diǎn)斜式方程，直線AB過點(diǎn)Ax1,y1將y1=3?x展開可得：y?3+x化簡得y=?x即y=?x（2）將直線：y=kx+m代入曲線C2:x展開并整理得：1+2k因?yàn)橹本€l與曲線C2相切，所以此一元二次方程的判別式Δ則Δ展開得：16k化簡可得m2（3）設(shè)P，Q，R三點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1,y1，結(jié)合（1）可知直線PQ的方程：y=?x直線PQ與曲線C2相切，再結(jié)合（2）中m2=2整理得：2再整理：2x同理可得2x所以直線2x1x+y即直線QR的方程：2x再次結(jié)合（2）可推算：2k所以，直線QR與曲線C2【題型3拋物線中的切線方程與切點(diǎn)弦問題】【例3】（24-25高二下·江西鷹潭·期末）拋物線y2=9x在點(diǎn)1,3處的切線的斜率為（A．－1 B．?32 C．3【答案】C【解題思路】設(shè)切線方程為y?3=kx?1，聯(lián)立方程組，Δ【解答過程】根據(jù)題意，拋物線y2=9x在點(diǎn)設(shè)切線方程為y?3=kx?1聯(lián)立方程組y?3=kx?1y2則k≠0Δ=81?4k27?9k故選：C.【變式3-1】（24-25高三下·安徽安慶·階段練習(xí)）AB是過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)且斜率為1的弦，直線l1,lA．（2，?1） B．（1，【答案】A【解題思路】先寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)然后根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立求出交點(diǎn)AB的坐標(biāo)，對拋物線所對的函數(shù)求導(dǎo)繼而求出切線斜率寫出兩條切線方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【解答過程】拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)锳B是過拋物線x2所以AB所在直線的方程為：y?1=1×(x?0)整理得y=x+1.設(shè)A(x1直線方程與拋物線方程聯(lián)立得：y=x+1x2=4yx1=2+22，x2所以A2+22因?yàn)閽佄锞€方程為y=14xkA=1+2因?yàn)橹本€l1是拋物線過A點(diǎn)的切線，所以直線方程為：y=因?yàn)橹本€l2是拋物線過B點(diǎn)的切線，所以直線方程為：兩切線方程聯(lián)立得：y=1+解得：x=2，y=?1所以交點(diǎn)坐標(biāo)為2,?1.故選：A.【變式3-2】（24-25高二上·廣東·期末）已知點(diǎn)A1,y0是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，(1)求C的準(zhǔn)線方程；(2)若點(diǎn)A位于第一象限，求C在點(diǎn)A處的切線l的方程.【答案】(1)x=?1(2)x?y+1=0【解題思路】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式計(jì)算得出p=2，再得出拋物線方程進(jìn)而得出準(zhǔn)線方程即可；（2）先設(shè)直線方程，再聯(lián)立方程組，再分k≠0和.k=0.兩種情況，直線l與C相切求參即可得出直線方程.【解答過程】（1）因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px所以AF=1+p2=2所以C的準(zhǔn)線方程為x=?1.（2）因?yàn)辄c(diǎn)A1,y0在拋物線C又A1,y0位于第一象限，所以y過點(diǎn)A的直線l與C相切，若直線l斜率不存在，不符合題意；設(shè)直線l:y?2=kx?1與C:由y?2=kx?1y2當(dāng)k≠0時(shí)，Δ=16?4k8?4k=0，即k當(dāng)k=0時(shí)，?4y+8=0，y=2與拋物線相交，不符合題意；所以l的方程為y?2=x?1，即x?y+1=0.【變式3-3】（24-25高三上·河南南陽·期末）已知拋物線C:y(1)求拋物線在點(diǎn)A1,2(2)若直線l交拋物線C于不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)Mx1,①OM⊥ON；②直線l過定點(diǎn)4,0；③x1x2【答案】(1)x?y+1=0；(2)證明見解析.【解題思路】（1）法一：設(shè)斜率并應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程，聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，再由Δ=0（2）設(shè)直線l:x=my+n聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，寫出韋達(dá)公式，根據(jù)所選條件應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示并帶入韋達(dá)公式得到參數(shù)關(guān)系證明結(jié)論即可.【解答過程】（1）法一：顯然拋物線在A1,2處的切線的斜率存在，設(shè)其為k則切線方程為y?2=kx?1，與拋物線C:y2即k2x2+2k所以切線方程為x?y+1=0.法二：要求拋物線C.:y2=4x在所以在A1,2處的切線的斜率k=11（2）因?yàn)橹本€l交拋物線C于Mx1,y由y2=4xx=my+n，消去x所以Δ=16m2+16n>0，x1x1由①?②③：因?yàn)镺M⊥ON，所以O(shè)M?ON=所以n=4（n=0舍去）.所以直線l:x=my+4經(jīng)過定點(diǎn)4,0，即證②.所以x1x2由②?①③：因?yàn)橹本€l經(jīng)過定點(diǎn)4,0，則n=4由上面可得y1y2所以O(shè)M?ON=由③?①②：因?yàn)閤1x2所以O(shè)M?ON=由上面可得y1y2所以直線l:x=my+4經(jīng)過定點(diǎn)4,0，即證②.【題型4切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題】【例4】（2025·湖南常德·一模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Pa,2在(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)P作圓O:x2+y2=r2(r>0)的兩條切線l1,（?。┤鬺1⊥l（ⅱ）證明：直線AB過定點(diǎn).【答案】(1)y(2)6409【解題思路】（1）根據(jù)焦半徑公式結(jié)合題設(shè)條件可得關(guān)于p,a的方程組，求出解后可得拋物線方程；（2）（ⅰ）設(shè)l1:y?2=kx?1,l2:y?2=?1kx?1，再根據(jù)OP=2r=【解答過程】（1）點(diǎn)Pa,2在C上，且PF由題意得：a+p2=2所以拋物線C的方程為y2（2）（?。┮?yàn)閘1⊥l設(shè)圓心O到直線l1,l又因?yàn)閘1⊥l2，所以O(shè)P=所以k=?3或k=1聯(lián)立直線l1:y?2=?3x?1與y2=4x聯(lián)立直線l1:y?2=13x?1與y所以PA所以S△PAB（ⅱ）設(shè)直線AB:x=my+n,,A聯(lián)立得x=my+ny2=4x，得yPA,PB的切線斜率為k1PA:y?2=4y即y12y所以4n=5×4m，化簡得n=5m，直線AB:x=my+5m=my+5，過定點(diǎn)0,?5【變式4-1】（24-25高二上·陜西安康·期中）已知橢圓C：x2a2+y(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)為R?1,12(3)過動點(diǎn)Tx0,6?x0作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A【答案】(1)x(2)x?2y+2=0(3)證明見解析，2【解題思路】（1）利用橢圓的離心率和通過的點(diǎn)建立方程，求出基本量，再得到橢圓方程即可.（2）利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到斜率，再利用點(diǎn)斜式得到直線方程即可.（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立切線與橢圓方程，消元后利用判別式為0，可利用切點(diǎn)坐標(biāo)表示m,n，再把T點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可得到過切點(diǎn)的一條直線方程，同理另一個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)也適合，即可得出直線AB的方程，再求出直線所過定點(diǎn)即可.【解答過程】（1）由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M2,2得到2a2+12b2=1,a（2）設(shè)Px1,y1因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為R?1,12，所以x因?yàn)閤124+y所以y1+y2x即直線l的斜率為12，故l的方程為y?12（3）如圖，設(shè)Ax3,可設(shè)切線TA的方程為y=mx+n，n≠0，將y=mx+n與x24+則Δ=(8mn)2且x3=?4mn所以n=1y3，m=?x3將Tx0,6?x0當(dāng)x3=2時(shí)，y3=0，x0=2；當(dāng)而Ax3,設(shè)Bx4,則點(diǎn)A，B都在直線x0故直線AB的方程為x0x+46?由x?4y=0,24y?4=0,得x=23,y=【變式4-2】（2025·安徽·三模）已知拋物線C：x2=2y的焦點(diǎn)為F，直線l：y=kx+b與拋物線C交于M，(1)若線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求k的值；(2)若k=1，b=32，動點(diǎn)P在拋物線C上且異于點(diǎn)M，N，求(3)過點(diǎn)M，N分別作拋物線C的切線l1，l2交于點(diǎn)Q，l1，l2分別交x軸于點(diǎn)A，B，若【答案】(1)3(2)?(3)是，(0,【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)差法求出k的值.（2）聯(lián)立直線與拋物線方程求出點(diǎn)M,N坐標(biāo)，設(shè)P(x,1（3）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而求出|AB|及點(diǎn)Q坐標(biāo)，，利用兩點(diǎn)間距離建立方程求出b即可.【解答過程】（1）設(shè)M(x1,y1所以k=y（2）由y=x+32x2=2y消去y得x不妨設(shè)M(?1,12),N(3,92)，設(shè)則PM=(?1?x,12設(shè)φ(x)=x44當(dāng)x<2時(shí)，φ′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=?1時(shí)取等號；當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)φ(x)在(?∞,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞所以PM?PN的最小值為（3）由y=12x2，求導(dǎo)得y′=x，設(shè)切線l1：y?y1=x同理切線l2：y=x2x?x由y=x1x?x1又F(0,12)，由|FQ|=|AB|得，(由y=kx+bx2=2y消去y得x2?2kx?2b=0所以直線l：y=kx+12過定點(diǎn)【變式4-3】（2025·陜西漢中·二模）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程；(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上點(diǎn)x0,y①求證：直線PQ恒過定點(diǎn)N；②是否存在實(shí)數(shù)λ，使得PN+QN=λ【答案】(1)x(2)①證明見解析；②存在λ=2【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的長軸長為22，離心率為22，由（2）①設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，M(2,m)，由lPM:x1x2+y1y=1，lQM:x【解答過程】（1）由題意可知2c=2ca=所以b=a所以橢圓C的方程為x2（2）①設(shè)Px1,y1，Qx2又因?yàn)閘PM，lQM經(jīng)過點(diǎn)M2,m所以P，Q均在直線x+my?1=0上，即lPQ由x?1=0y=0，解得x=1y=0，所以直線PQ過定點(diǎn)②設(shè)實(shí)數(shù)λ存在，因?yàn)镻N+QN=λ當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線PQ的方程為x=1，由x=1x2+2所以PN=QN=當(dāng)直線PQ斜率k=0時(shí)，不滿足題意：當(dāng)直線PQ斜率k≠0時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為x+my?1=0，則k=?1故λ=1所以λ=1聯(lián)立x=?my+1x2+2y2所以y1+y所以λ=1綜上可知，存在λ=22【題型5與切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問題】【例5】（24-25高三下·湖北·開學(xué)考試）過拋物線C:y2=4x上的一點(diǎn)P作切線l，設(shè)l與x軸相交于點(diǎn)M,F為C的焦點(diǎn)，直線PF交C于另一點(diǎn)Q，則△PQMA．833 B．4 C．163【答案】C【解題思路】設(shè)Pt24,t，根據(jù)條件得到y(tǒng)Q=?4【解答過程】設(shè)Pt24,t，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)由y?t=kx?t24y因直線PM與拋物線相切，得到Δ=16k2故直線PM的方程為yt=2x+令y=0，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為?t24,0，設(shè)直線聯(lián)立x=my+1y2=4x，得y2?4my?4=0則S△PQM令gt=1當(dāng)0<t<233時(shí)，g′t<0，得到gt在區(qū)間0,23故gt所以S△PQM的最小值為故選：C.【變式5-1】（2025·湖北·模擬預(yù)測）拋物線Γ:x2=2y上有四點(diǎn)A，B，C，D，直線AC，BD交于點(diǎn)P，且PC=λPA，PD=λPB0<λ<1．過A,B分別作ΓA．32 B．23 C．33【答案】D【解題思路】由題意可得AB∥CD，取弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M,N，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m代拋物線，由韋達(dá)定理可得xM=k，yM=k2+m，xN=k，從而得P在直線MN【解答過程】解：由PC=λPA，PD=λPB0<λ<1設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M,N，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，代入x2=2y，得則xA+x所以xM=k，同理可得xN由拋物線的幾何意義可知點(diǎn)P在直線MN上，所以xP因?yàn)閤2=2y，所以y=1所以物線在A處的切線為l1:y?yy=xA同理可得物線在B處的切線為l2:y=x由y=xAx?綜上，xM=x所以M,N,P,Q四點(diǎn)共線，且所在直線平行于y軸，

由PC=λPA，得則xC=λx又xC所以有[λx又xA化簡得2λx同理有2λx由兩式知直線AB的方程為：2λx因?yàn)閤P所以2λkx?2λy+(1?λ)k又直線AB過點(diǎn)M(k,k代入得yPS△ABP整理得?k即(3λ?1)(k由題可得yQ所以m>0，所以1?3λ=0，解得λ=1故選：D.【變式5-2】（2025·廣東深圳·二模）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)為E的右焦點(diǎn)，P為E上的動點(diǎn)，當(dāng)直線PF與(1)求E的方程：(2)過R作E的兩條切線分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，求△RMN面積的取值范圍．【答案】(1)x(2)8【解題思路】（1）根據(jù)題干所給信息及a2（2）設(shè)出直線RM，RN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式及三角形面積公式求解即可.【解答過程】（1）設(shè)點(diǎn)F(c,0)(c>0)，當(dāng)直線PF與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)Pc,1因?yàn)閨PR|的最小值為2?b=1，所以b=1，又由a2可解得a=2,c=3故E的方程為x2（2）如圖，設(shè)點(diǎn)M(m,0),N(n,0),R(t,2)，注意到RM，RN斜率不為0，設(shè)RM:x=t?m聯(lián)立x24+因?yàn)镽M與E相切，所以Δ=于是16(t?m)化簡得3m又RN與E相切，同理有3n故m，n是一元二次方程3x則m+n=?2t所以|MN|=|m?n|=(m+n)又t2≥0，所以所以△RMN面積的取值范圍為83【變式5-3】（2025·浙江臺州·二模）已知拋物線Γ：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F1,0，直線l與拋物線Γ交于A，B兩點(diǎn)，且(1)求拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線l的方程；(3)過點(diǎn)Qm,1m<0作拋物線Γ的兩條切線，分別交l于C，D兩點(diǎn)，求【答案】(1)y(2)2x?y?4=0(3)6【解題思路】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)差法，結(jié)合斜率公式即可求解直線的斜率，進(jìn)而可判斷直線過焦點(diǎn)，由焦點(diǎn)弦公式即可求解；（3）設(shè)設(shè)拋物線的切線方程為x?m=ty?1，聯(lián)立直線與拋物線得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)QC的方程為x?m=t1y?1，聯(lián)立x?m=t1y?1y=2x?4，求出xC【解答過程】（1）因?yàn)閽佄锞€Γ：y2=2pxp>0所以p2所以拋物線Γ:（2）由題易知直線AB的斜率存在．設(shè)Ax1,y1因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為M52,1所以y1?y2x1?（3）設(shè)拋物線的切線方程為x?m=ty?1x?m=t(y?1)y2=4x，即y2?4ty+4t?4m=0t1+t2=1聯(lián)立x?m=txC=5CD=5xQ點(diǎn)到直線線l的距離d=|2m?5|5，所以令hm因?yàn)??4m>0，則m<14，h′當(dāng)m<?12時(shí)，h′m<0，hm單調(diào)遞減，當(dāng)所以hmmin=h【題型6與切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問題】【例6】（2025·湖南·模擬預(yù)測）已知直線l:y=x+1與雙曲線M:x2m?y(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)證明:AC=BD；(3)若m=2，過雙曲線M上一點(diǎn)P向雙曲線N:x2m?y23=λ作切線l1,l2，其斜率分別為【答案】(1)0<m<3或3<m<4，(2)證明見解析(3)不存在，理由見解析【解題思路】（1）聯(lián)立方程，利用判別式即可求解，（2）根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得Em3?m,33?m，進(jìn)而聯(lián)立直線方程可得C,D（3）根據(jù)相切可利用判別式為0得k1,k【解答過程】（1）聯(lián)立x2m?故m>03?m≠04m2+16m（2）設(shè)Ax1,設(shè)AB的中點(diǎn)為Ex0,y0，則x又雙曲線的漸近線方程為y=±3mx，聯(lián)立y=所以Cm3?從而可得CD的中點(diǎn)為m3?m,33?m，故則AE=EB,CE=ED

（3）設(shè)過Px3,y3且與雙曲線N聯(lián)立x22?由題意可知,3?2化簡可得y3?kx由題意可知k1,k則x32?2λ≠0故k1若k1?k2為定值，則有32但此時(shí)Δ1故不存在λ，使得k1【變式6-1】（2025·安徽安慶·二模）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)F也是橢圓x2p+(1)求拋物線C的方程：(2)求證：拋物線C在A,B兩點(diǎn)處的切線互相垂直；(3)設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，以線段AM為直徑的圓交拋物線C在A處的切線于點(diǎn)P，試判斷AB?【答案】(1)x(2)證明見解析(3)AB?【解題思路】（1）根據(jù)拋物線和橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法列出方程求解；（2）設(shè)直線AB的方程和Ax1,（3）得出兩條切線方程，然后結(jié)合題意和幾何性質(zhì)將需要求解的代數(shù)式表達(dá)出來，即可得出結(jié)論.【解答過程】（1）易知，拋物線C:x2=2py所以橢圓x2p+y由p22=3?p所以拋物線C的方程為x2（2）因?yàn)橹本€AB與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以其斜率必存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A由y=kx+1x2對y=14x設(shè)拋物線C在A,B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1則k1即拋物線C在A,B兩點(diǎn)處的切線互相垂直.（3）解法1：由（2）可知AP:y?y1=則AP與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為Qx于是AB=?=AM|=于是，AB所以AB?解法2：設(shè)拋物線在A,B兩點(diǎn)的切線lA,l故lA聯(lián)立解得T點(diǎn)坐標(biāo)為x1由（2）知x1x2=?4,T點(diǎn)坐標(biāo)為x1+x22故APAT=AM因?yàn)閗ABkAB即AB⊥FT，故在Rt△ABT中，△ABT∽△ATF所以ABAT=AT所以AB?解法3：因?yàn)閗AB故AB==x又AF=y1|AT=1即AB?由（2）知∠ATB=90°，所以故APAT=AM所以AB?【變式6-2】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）動點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F3,0的距離和M到定直線l:x=23的距離之比是常數(shù)22(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)N4,0，過點(diǎn)N直線與C交于S，T兩點(diǎn)，若弦ST中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?43(3)設(shè)Pm,n是曲線C上的一動點(diǎn)，由原點(diǎn)O向圓x?m2+y?n2=2引兩條切線，分別交曲線C于點(diǎn)A，B，若直線OA，OB的斜率均存在，并分別記為【答案】(1)x(2)1(3)是定值，定值為9【解題思路】（1）根據(jù)題意列式化簡方程MFd（2）設(shè)直線ST的方程為x=my+4，直線與曲線聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理列式求解即可；（3）直線OA,OB的方程分別為y=k1x,y=k2x，設(shè)Ax1,y1,Bx【解答過程】（1）由題意，點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F3,0點(diǎn)M到直線l:x=23的距離d=x?23即2x?32故曲線C的方程為x2（2）設(shè)直線ST的方程為x=my+4，則x=my+4xΔ=64m2?40m2所以yS因?yàn)橄襍T中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?43，所以?8mm2所以直線ST的斜率為12（3）由題意可得，直線OA,OB的方程分別為y=k1x,y=由直線OA與圓x?m2+y?n?m2?2所以k1,k2是方程所以k1k2因?yàn)镻m,n是曲線C上的一動點(diǎn)，所以m則有k1聯(lián)立方程y=k1x所以O(shè)A2=所以O(shè)A2因?yàn)閗1k2所以O(shè)A2【變式6-3】（2025·河北保定·一模）已知橢圓E:x2a2+y2b2(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)矩形ABCD為橢圓E的外切矩形，求矩形ABCD面積的取值范圍；(3)過橢圓E的蒙日圓上一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N，且直線OM,ON的斜率kOM,k【答案】(1)x2(2)323(3)證明見解析.【解題思路】（1）由橢圓所過的點(diǎn)列出關(guān)于a,b的方程組即可求解；（2）分“外切矩形ABCD四邊所在切線存在斜率不存在”和“外切矩形ABCD四邊所在切線斜率都存在”，設(shè)切線lAB：y=kx+mk≠0，與橢圓聯(lián)立方程，利用位置關(guān)系結(jié)合判別式求出m2=12+16k2，同理依次得切線lCD：y=kx+ss≠m滿足s2=12+16k（3）證明：設(shè)切線lPM：y=k0x+m0，與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理依次求得x【解答過程】（1）由題得a=44所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）當(dāng)外切矩形ABCD四邊所在切線存在斜率不存在時(shí)，此時(shí)矩形ABCD面積為2a·2b=4ab=323當(dāng)外切矩形ABCD四邊所在切線斜率都存在時(shí)，則可設(shè)切線lAB聯(lián)立x2則Δ=64m由題可設(shè)切線lCD：y=kx+ss≠m切線lCD和lAB距離為由題可設(shè)切線lBC聯(lián)立x2則Δ=36n由題可設(shè)切線lAD：y=?1切線lBC和lAD距離為所以由對稱性可得矩形ABCD面積為S=d令h=k2+1k所以0<1則S=1612h+25綜上，矩形ABCD面積的取值范圍為323（3）證明：設(shè)切線lPM聯(lián)立x2則Δ=64m此時(shí)xM=?4同理可得kON=3【題型7與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值（范圍）問題】【例7】（2024·黑龍江·三模）已知點(diǎn)P是拋物線C:y2=4x準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則原點(diǎn)O到直線ABA．14 B．13 C．1【答案】D【解題思路】設(shè)P?1,y0,Aa24,a,Bb24,b，且lPA:x=ty?a+【解答過程】由拋物線C:y2=4x，可得焦點(diǎn)F(1,0)設(shè)P?1,由題意可知a≠b≠0且PA,PB的斜率存在且不為0，不妨設(shè)lPA聯(lián)立方程x=ty?a+a由直線與拋物線相切可得Δ=16t2?44ta?又因?yàn)镻?1,y0在直線上，所以有a若y0=0，則a2=b2=4，即AB的直線方程為x=1若y0≠0，則a≠b≠2，兩式聯(lián)立消y所以lAB:y?a=4所以O(shè)到直線AB距離d=4綜上可得d≤1，即原點(diǎn)O到直線AB距離的最大值為1.故選：D.【變式7-1】（2025·全國·模擬預(yù)測）拋物線E:y2=x的焦點(diǎn)為F，P為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A與PA．1 B．2 C．3 D．1【答案】D【解題思路】根據(jù)過點(diǎn)P的直線與拋物線相切，得到PA⊥PB，利用拋物線對稱性設(shè)不妨設(shè)切點(diǎn)為A在第一象限，然后利用導(dǎo)函數(shù)求切線斜率，進(jìn)而求出直線方程，得P?14【解答過程】

由y2=x，可知拋物線焦點(diǎn)F1因?yàn)镻為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，設(shè)P?設(shè)過點(diǎn)P且與拋物線相切的直線為：y?t=kx+由y?t=kx+14所以Δ=16?4×4kk+4t=0所以kPA，k所以kPA?k所以PA?利用拋物線對稱性，不妨設(shè)切點(diǎn)為A在第一象限，坐標(biāo)為Ax由y2=x得y=x所以直線PA的斜率kPA代入①可得切線PA的方程為：y?t=1又因?yàn)辄c(diǎn)Ax0,所以x0?t=1所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P?所以PA=x0所以PA=x當(dāng)且僅當(dāng)x04=164x0故選：D.【變式7-2】（2025·云南·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，P是(1)求C的方程；(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，C在點(diǎn)P（異于點(diǎn)O）處的切線l交x軸于點(diǎn)Q，求tan∠OPQ【答案】(1)y(2)2【解題思路】（1）根據(jù)拋物線可得p的值，從而得拋物線方程；（2）C在點(diǎn)P處的切線l:y=kx+m，聯(lián)立直線與雙曲線可得k,m關(guān)系，設(shè)直線l,OP的傾斜角分別為α,β，則tanα=k，tan【解答過程】（1）設(shè)Px,y,x≥0由題意，得p2=1，解得所以C的方程為y2（2）C在點(diǎn)P處的切線l:y=kx+m，設(shè)直線l,OP的傾斜角分別為α,β，聯(lián)立y=kx+m則Δ=2km?42?4k且xP=?2km?42k設(shè)直線l,OP的傾斜角分別為α,β，則tanα=k又tanβ=kOP當(dāng)且k=±2即tan∠OPQ的最大值為2【變式7-3】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知A1,0，B4,0，動點(diǎn)S滿足SB=2SA，作SH⊥x軸于點(diǎn)H，T為直線SH上一點(diǎn)，且滿足TH=(1)求E的方程；(2)若M是E上的動點(diǎn)，過M作橢圓C：x22+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，【答案】(1)x2(2)?【解題思路】（1）設(shè)Tx,y，Sx′,y′，根據(jù)向量關(guān)系得到x′（2）設(shè)Mx0,y0，切線斜率存在時(shí)，x0≠±2，設(shè)切線方程，與橢圓x22+y2=1聯(lián)立，利用根的判別式為0得到方程，設(shè)關(guān)于k的方程的兩根為k1，k2，得到兩根之和，兩根之積，得到P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合【解答過程】（1）設(shè)Tx,y，Sx′因?yàn)門H=22故x′?x=0,?y=?由SB=2SA，得x′將x′=x,y故E的方程為x2（2）設(shè)Mx0,y0，過M設(shè)斜率為k，切線方程為y=kx+y聯(lián)立y=kx+y0?k則Δ=16即x0設(shè)②中關(guān)于k的方程的兩根為k1，k則k1①式中，當(dāng)k取k1時(shí)，得xyP將k1換成k2，得故OP=y其中y=2?x又k1k21+4k故OP?因?yàn)閤0所以O(shè)P?當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，x24+y2由對稱性不妨設(shè)M?2,1，此時(shí)設(shè)P此時(shí)OP?綜上，OP?OQ的取值范圍是一、單選題1．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知直線l與橢圓Γ，點(diǎn)F1,F2分別為橢圓Γ:x22+y2=1的左右焦點(diǎn)，直線F1M⊥l，A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】C【解題思路】設(shè)直線方程為y=kx+t，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式和點(diǎn)到直線的距離公式求出t與k的關(guān)系，再根據(jù)充分性和必要性的概念求解即可.【解答過程】根據(jù)題意可知直線l斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+t，聯(lián)立x22當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，Δ=4kt2由題意F1因?yàn)镕1M⊥l，F(xiàn)2所以當(dāng)F1M?解得t2=2k所以“直線l與橢圓Γ相切”是“F1故選：C.2．（24-25高三上·湖南永州·階段練習(xí)）過P點(diǎn)可以作雙曲線x2?y2=1A．0,0 B．12,1 C．12【答案】B【解題思路】由直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立判斷過點(diǎn)P作雙曲線的切線情況即可.【解答過程】對于A：設(shè)過點(diǎn)0,0切線為：y=kx代入x2?y2=1化簡整理有：1?對于B:設(shè)斜率為k，則過點(diǎn)12，1的直線方程為y?1=kx?則由Δ=k22?k所以過點(diǎn)12對于C:因?yàn)殡p曲線x2?y2=1得兩條漸近線為：y=±x，又因?yàn)?對于D:因?yàn)?,0在雙曲線上，所以過點(diǎn)1,0的切線有且只有一條，故D錯(cuò)誤.故選：B.

3．（24-25高二上·湖北武漢·期中）過點(diǎn)4,33作直線，使它與雙曲線x24A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解題思路】根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，與漸近線平行以及該點(diǎn)處的切線均只與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)即可求解.【解答過程】當(dāng)x=4時(shí)，164?y29因此過點(diǎn)4,33設(shè)y=kx?4+33（k≠±將其代入雙曲線方程可得x24?令Δ=8k解得k=3故過點(diǎn)4,33或者由x24?當(dāng)y>0時(shí)，y=32x2?4，故y故過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)4,33的直線方程為y=3x?4聯(lián)立x24?y29=1因此在點(diǎn)4,33綜上可知：過點(diǎn)4,33故選：C.4．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知過圓錐曲線x2m+y2n=1上一點(diǎn)Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=0【答案】B【解題思路】根據(jù)題中所給的結(jié)論，求出過A3,?1的切線方程，進(jìn)而可以求出切線的斜率，利用互相垂直的直線之間斜率的關(guān)系求出過A點(diǎn)且與直線l【解答過程】過橢圓x212+y24=1上的點(diǎn)A3,?1的切線l的方程為3x12+?y4=1，即x?y?4=0，切線l的斜率為1故選：B.5．（2024·浙江紹興·二模）已知拋物線C：y2=4x，直線x=m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線交于點(diǎn)P，若△ABP為正三角形，則m的值為（A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解題思路】可得A,B關(guān)于x軸對稱，且AB⊥x軸，則兩條切線的交點(diǎn)P在x軸上，設(shè)Am,yA，Px0,0，可設(shè)AP:y=3【解答過程】由題意可得A,B關(guān)于x軸對稱，且AB⊥x軸，則兩條切線的交點(diǎn)P在x軸上，設(shè)Am,y因?yàn)椤鰽BP為正三角形，不妨取kAP=3聯(lián)立y=33x?則Δ=2x所以AP:y=33x+3，代入A又yA2=4m故選：C.6．（2025·山西·三模）已知過點(diǎn)M2,1的直線交拋物線C:y2=4x于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點(diǎn)P，則A．755 B．5 C．2 【答案】A【解題思路】設(shè)Ay124,y1，By224,y2，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出拋物線C在點(diǎn)A、【解答過程】設(shè)Ay12由y2=4x，得y=2x12所以拋物線C在點(diǎn)A的切線斜率為k=(得拋物線C在點(diǎn)A的切線方程為y?y1=同理可得拋物線C在點(diǎn)B處的切線方程為y2y1y=2x+y124又因?yàn)橹本€AB的斜率kAB所以直線AB的方程為y?y1=將點(diǎn)M2,1代入直線AB的方程得：y設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為x,y，則①式可整理為：2y=8+4x，即2x?y+4=0，所以點(diǎn)P的軌跡為一條直線．所以線段PM的最小值為點(diǎn)M到直線y=2x+4的距離，即為d=2×2?1×1+4故選：A.7．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知橢圓E：x22+y2=1的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P2,t分別作E的切線PA、PB，切點(diǎn)分別為AA．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【解題思路】根據(jù)橢圓上一點(diǎn)的切線方程求出直線AB的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理將y1【解答過程】因?yàn)闄E圓方程為x22+則切線PA,PB的方程為x1x2因?yàn)榍芯€PA,PB過點(diǎn)P2,t，所以，切線PA,PBx1+ty1=1,所以直線AB的方程為x+ty=1.該直線必過點(diǎn)1,0剛好是橢圓的右焦點(diǎn).聯(lián)立直線AB方程和橢圓方程為：x+ty=1x22根據(jù)韋達(dá)定理y1+所以S△ABF因?yàn)閠2要使得面積取得最大值，則t2+1+所以當(dāng)t2+1+1t故選：A.8．（2025·山東·模擬預(yù)測）已知拋物線C：x2=4y，過直線l：x+2y=4上的動點(diǎn)P可作C的兩條切線，記切點(diǎn)為A,B，則直線AB（A．斜率為2 B．斜率為±2 C．恒過點(diǎn)0,?2 D．恒過點(diǎn)?1,?2【答案】D【解題思路】設(shè)Ax1,y1,Bx2,【解答過程】設(shè)Ax1,y1由于y′=12x即y?y1=同理可得過點(diǎn)B的切線方程為y+y設(shè)P4?2n,n，過點(diǎn)Ax1故n+y1=同理n+y2=故直線AB的方程為y+n=2?n斜率不為定值，AB錯(cuò)誤，當(dāng)x=?1時(shí)，y=?2，恒過點(diǎn)?1,?2，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.二、多選題9．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1（x1≠0）是拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作拋物線xA．y1+yC．y1y2y3=16【答案】BCD【解題思路】對A：借助斜率公式可表示出直線AB的斜率，即可表示直線AB的方程，聯(lián)立曲線，結(jié)合相切的性質(zhì)與根的判別式計(jì)算即可得；對B：同A可得y1+y3y【解答過程】對A：∵直線AB的斜率為k=y∴直線AB的方程為y?y即y1∵y12=4x1聯(lián)立x2=4y，消y得：∵直線AB與拋物線x2=4y相切，∴∴y1對B：同理可得y1+y∵y1≠0整理得y2∵y2≠y對C：由y1+y代入y1+y對D：將直線BC的方程與拋物線x2同理可得Δ=∴直線BC與拋物線x2故選：BCD.10．（2025·寧夏·一模）雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2作漸近線的垂線l，垂足為N，l與另一條漸近線交于點(diǎn)MA．雙曲線的漸近線方程為y=±2x C．直線PF1與PF2的斜率之積是2 D．雙曲線在點(diǎn)P處的切線與x【答案】AD【解題思路】由題設(shè)F2(c,0)，且漸近線為y=±bax，若l垂直于y=bax，則MN:y=?ab(x?c)，聯(lián)立漸近線求得xN=a2【解答過程】由題設(shè)F2(c,0)，且漸近線為y=±bax，若ly=?ab(x?c)y=b由MN=2NF2，則a2所以b2=cP(2,2)在雙曲線上，則4a所以F1(?3,0),F點(diǎn)P處的切線為y?2=k(x?2)，聯(lián)立2x所以(k2?2)所以k2?42k+8=0，則令y=0，則xI=3故選：AD.11．（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E的方程：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e，過左焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A．sinB．SC．與橢圓切于點(diǎn)A的切線方程為x?D．若直線AB的斜率存在，則k【答案】ACD【解題思路】利用橢圓定義及正弦定理推理判斷A；利用橢圓定義、余弦定理、三角形面積公式及二倍角公式求解判斷B；設(shè)出切線方程并現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出切線斜率判斷C；設(shè)出直線AB方程并與橢圓方程聯(lián)立推理判斷D.【解答過程】令橢圓E的半焦距為c，則|F對于A，在△F1A因此e=2c對于B，在△F1=(|AF1S△AF對于C，與橢圓切于點(diǎn)A的切線斜率存在，設(shè)方程為y=kx?(kx由y=kx?(kx1?y1Δ=4整理得(a2?則a2y12b因此切線方程為y=?b2x對于D，設(shè)直線AB的方程為y=t(x+c)，點(diǎn)M(x0消去y得(a2t2+kAB故選：ACD.三、填空題12．（2025·全國·模擬預(yù)測）寫出與橢圓x245+y220=1【答案】x+3y+15=0或x?3y+15=0.【解題思路】設(shè)出公切線方程并分別于橢圓和拋物線聯(lián)立，解方程組即可得出切線方程.【解答過程】由已知，公切線斜率不為0，設(shè)公切線方程為x=my+t.聯(lián)立x=my+t,20其判別式Δ1即?20m聯(lián)立.x=my+t,y其判別式Δ2聯(lián)立①②，解得m=±3,t=?15，所以橢圓和拋物線的公切線方程為x+3y+15=0或x?3y+15=0.故答案為：x+3y+15=0或x?3y+15=0.13．（2025高二·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1【答案】3x?3y?1=0【解題思路】設(shè)PA的斜率為k，得到PA:y?y1=k(x?x1)，聯(lián)立方程組，根據(jù)Δ=0和雙曲線的方程，求得k=x1y1，得到PA【解答過程】設(shè)A(x1,y1則PA:y?y1=k(x?消去y得(1?k因?yàn)镻A與雙曲線相切，所以Δ=4即4(y1即(x因?yàn)閤12?代入可得y12k2?2所以PA:y?y1=同理可得PB的方程為y2因?yàn)镻(3,3)在切線PA,PB上，所以3y所以A,B滿足方程3y=3x?1，又由兩點(diǎn)確定一條直線，所以A,B滿足直線方程3y=3x?1，所以過A,B的直線方程為3x?3y?1=0.故答案為：3x?3y?1=0.14．（2025·河南·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)A(1,1)的直線l與拋物線Γ:y2=4x交于B，C兩點(diǎn)，以B，C為切點(diǎn)分別作Γ的兩條切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為【答案】2x?y+2=0【解題思路】設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理可求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程.【解答過程】設(shè)l的方程為x=ky+(1?k)，代入y2=4x中，整理得設(shè)By12由題意過點(diǎn)B的切線斜率存在且不為0，設(shè)為y?y聯(lián)立y?y1=kx?y124y所以切線方程為2x?y1y+y1聯(lián)立解得x=y1y24所以兩條切線交點(diǎn)的軌跡方程為2x?y+2=0．故答案為：2x?y+2=0.四、解答題15．（24-25高二下·廣東惠州·期中）已知橢圓C1:x24+y2(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)M(?1,0)作拋物線的切線l，求切線l的方程．【答案】(1)x2(2)y=0或x+y+1=0.【解題思路】（1）由橢圓的離心率求出橢圓參數(shù)，即得橢圓方程，然后借助橢圓與拋物線的關(guān)系求解拋物線的方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線，借助二次方程性質(zhì)求解直線方程.【解答過程】（1）橢圓C1:x24+y2由a=2，可得b=1，則橢圓C1:x2拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)，得p=2，拋物線（2）設(shè)過點(diǎn)M?1,0作拋物線的切線l:y=kx+1，則整理得x2?4kx?4k=0，Δ=16k2+16k=0所求是切線方程為：y=0或x+y+1=0