2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在心臟病研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)某城市的心臟病發(fā)病率在一段時(shí)間內(nèi)呈指數(shù)增長。若當(dāng)前發(fā)病率為5例/萬人/年，且增長速率為每年10%。記t年后的發(fā)病率為R(t)。試建立描述該城市心臟病發(fā)病率變化的微分方程，并求解該微分方程，表達(dá)R(t)與時(shí)間t的關(guān)系。假設(shè)經(jīng)過5年后，發(fā)病率達(dá)到原來的3倍，請(qǐng)驗(yàn)證此條件是否滿足你的模型。二、某藥物進(jìn)入人體后，其血藥濃度C(t)（單位：mg/L）隨時(shí)間t（單位：小時(shí)）變化的曲線近似滿足一級(jí)動(dòng)力學(xué)過程。假設(shè)藥物靜注后，初始濃度C(0)=10mg/L，且藥物消除半衰期T?=6小時(shí)。(1)請(qǐng)建立描述血藥濃度變化的微分方程，并求解C(t)。(2)計(jì)算藥物濃度降至2mg/L所需的時(shí)間。三、假設(shè)某人的心電圖(ECG)信號(hào)y(t)（單位：mV）是一個(gè)包含噪聲的復(fù)合信號(hào)，可以近似表示為一個(gè)主信號(hào)p(t)與一個(gè)噪聲信號(hào)n(t)的和：y(t)=p(t)+n(t)。已知主信號(hào)p(t)可以近似為一個(gè)周期函數(shù)，其基波頻率為f?=1Hz。為了分析主信號(hào)特征，需要從y(t)中提取p(t)的峰值信息。請(qǐng)簡(jiǎn)述利用傅里葉變換方法提取p(t)峰值信息的可能步驟，并說明該方法的核心原理。四、一項(xiàng)研究旨在探究某基因（A）是否與心臟?。―）的發(fā)生有關(guān)聯(lián)。研究人員收集了1000人的數(shù)據(jù)，其中500人為心臟病患者，500人為健康人?；蛐蜋z測(cè)結(jié)果顯示：在500名健康人中，有450人是AA型，50人是Aa型；在500名心臟病患者中，有400人是AA型，100人是Aa型。(1)請(qǐng)計(jì)算基因型為AA和Aa的人群中，心臟病發(fā)生的概率（條件概率）。(提示：可以構(gòu)建2x2列聯(lián)表)(2)基于計(jì)算結(jié)果，初步判斷基因A與心臟病D之間是否存在關(guān)聯(lián)？請(qǐng)解釋你的理由。五、考慮一個(gè)簡(jiǎn)化的心臟泵血模型，將心臟視為一個(gè)泵，需要克服血管系統(tǒng)的總阻力R。心臟每次搏動(dòng)泵出血液體積為V，心臟搏動(dòng)的頻率為f（次/分鐘）。根據(jù)力學(xué)平衡，心臟輸出功率P與血管阻力R和血流速度Q（Q=Vf）之間存在關(guān)系：P=Q2R。假設(shè)正常情況下，心臟輸出功率P?保持相對(duì)穩(wěn)定。如果血管阻力R增加20%，為了維持輸出功率P接近P?，心臟搏出量V需要變化多少？（假設(shè)搏動(dòng)頻率f不變）六、已知某心臟病患者的收縮壓（SBP）和舒張壓（DBP）數(shù)據(jù)如下（單位：mmHg）：SBP=[120,125,130,135,140,145,150,155,160,165]，DBP=[80,78,82,81,83,85,84,86,88,90]。(1)分別計(jì)算該患者的平均收縮壓和平均舒張壓。(2)假設(shè)將所有SBP數(shù)據(jù)減去其平均值，所有DBP數(shù)據(jù)減去其平均值，請(qǐng)解釋這樣做的目的，并說明處理后的數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)上有什么變化。七、建立數(shù)學(xué)模型是研究心臟生理功能的重要手段。請(qǐng)選擇一個(gè)你感興趣的具體心臟生理過程（例如：心臟電傳導(dǎo)系統(tǒng)、心臟血流動(dòng)力學(xué)、心肌收縮模型等），簡(jiǎn)要描述該過程的生理背景，并說明如何可以運(yùn)用微分方程或偏微分方程來建立其數(shù)學(xué)模型。請(qǐng)闡述模型中可能包含的關(guān)鍵變量、參數(shù)以及控制方程的基本形式。八、在臨床試驗(yàn)中，研究人員測(cè)試一種新藥X相對(duì)于安慰劑在降低心臟病患者血清膽固醇水平方面的效果。他們將患者隨機(jī)分為兩組，每組100人。治療前的平均膽固醇水平在兩組間無顯著差異。治療后3個(gè)月，X組患者的平均膽固醇水平降低了20%，標(biāo)準(zhǔn)差為15mg/dL；Y組（安慰劑組）患者的平均膽固醇水平降低了5%，標(biāo)準(zhǔn)差為10mg/dL。(1)請(qǐng)解釋為什么需要進(jìn)行隨機(jī)分組？(2)如果要使用統(tǒng)計(jì)方法比較兩組治療效果的差異，除了均值和標(biāo)準(zhǔn)差，還需要考慮哪些統(tǒng)計(jì)量？并簡(jiǎn)要說明選擇它們的理由。試卷答案一、微分方程：dR/dt=kR，其中k=0.1。解：R(t)=R?e^(kt)=5e^(0.1t)。驗(yàn)證：R(5)=5e^(0.1*5)=5e^0.5≈6.85。若初始R?=5，則3R?=15。6.85<15，故不滿足原條件（若題目意指增長率導(dǎo)致3倍，則需重新審題，按指數(shù)增長模型，5年后應(yīng)為5e^0.5≈6.85，約1.37倍）。二、(1)微分方程：dC/dt=-kC，k=ln(2)/T?=ln(2)/6。解：C(t)=C?e^(-kt)=10e^(-(ln(2)/6)t)=10*2^(-t/6)。(2)令C(t)=2，得10*2^(-t/6)=2，即2^(-t/6)=0.2=2^(-2.322)，故-t/6=-2.322，得t≈13.93小時(shí)。三、步驟：1.對(duì)信號(hào)y(t)進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，得到頻域信號(hào)Y(f)；2.找出頻域中接近基波頻率f?及其倍頻處的顯著峰值對(duì)應(yīng)的頻率和幅值；3.根據(jù)這些頻率信息，通過逆傅里葉變換或頻域截取等方法，嘗試分離或提取出主信號(hào)p(t)的成分；4.對(duì)提取出的成分進(jìn)行分析，如尋找其峰值。原理：傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)分解為不同頻率成分的疊加。周期性主信號(hào)p(t)在頻域?qū)?yīng)離散的譜線，其峰值對(duì)應(yīng)頻率為基波頻率及其諧波頻率。通過識(shí)別和提取這些峰值對(duì)應(yīng)的頻譜成分，可以分離出主信號(hào)p(t)的信息。四、(1)P(AA|D)=400/500=0.8；P(Aa|D)=100/500=0.2；P(AA|?D)=450/500=0.9；P(Aa|?D)=50/500=0.1。(2)比較P(AA|D)與P(AA|?D)(0.8vs0.9)，以及P(Aa|D)與P(Aa|?D)(0.2vs0.1)。關(guān)聯(lián)性判斷標(biāo)準(zhǔn)通常是看條件概率是否顯著偏離無條件概率。在此例中，基因型為AA或Aa時(shí)，患病概率與健康概率的比值(P(D|AA)/P(?D|AA)=0.8/0.9≈0.89,P(D|Aa)/P(?D|Aa)=0.2/0.1=2)并不一致，特別是Aa基因型與疾病關(guān)聯(lián)更強(qiáng)。因此，初步判斷基因A與心臟病D之間存在關(guān)聯(lián)。五、方法一：設(shè)新阻力為R'=1.2R，新搏出量為V'。要求P'≈P?。即(V')2R'≈V2R。V'2*1.2R≈V2R，V'2≈(V2/R)*(R/1.2)=V2/1.2。故V'≈V/sqrt(1.2)=V/(2*sqrt(3))。需要減少的搏出量ΔV=V-V'=V-V/sqrt(1.2)=V(1-1/sqrt(1.2))=V(1-sqrt(5)/sqrt(6))=V(sqrt(6)/sqrt(6)-sqrt(5)/sqrt(6))=V(sqrt(6-5)/sqrt(6))=V/sqrt(6)。方法二：由于P∝Q2R，且P?/P'≈1，R'/R=1.2，故Q2/R∝1，即Q2∝1。若Q=Vf，則(Vf)2/R∝1，V2f2/R∝1。要求新功率P'≈P?，則新狀態(tài)(V'f'2R')2∝1。若f'=f，則(V'f2R')2∝1，V'2R'∝1。V'2/R'≈V2/R。V'2≈V2R'/R=V2(1/1.2)=V2/1.2。V'≈V/sqrt(1.2)。ΔV/V=1-1/sqrt(1.2)=sqrt(6)/sqrt(6)-sqrt(5)/sqrt(6)=sqrt(6-5)/sqrt(6)=1/sqrt(6)。六、(1)平均收縮壓：ΣSBP/n=(120+125+...+165)/10=1325/10=132.5mmHg。平均舒張壓：ΣDBP/n=(80+78+...+90)/10=825/10=82.5mmHg。(2)目的：消除數(shù)據(jù)本身的均值中心，使得處理后的數(shù)據(jù)以0為均值。這樣做可以方便后續(xù)進(jìn)行基于均值的統(tǒng)計(jì)分析（如計(jì)算協(xié)方差、進(jìn)行回歸分析等），因?yàn)榫禐?時(shí)，數(shù)據(jù)的總均值不會(huì)影響分析結(jié)果。處理后的數(shù)據(jù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差保持不變（若僅做減法），各數(shù)據(jù)點(diǎn)關(guān)于原均值的相對(duì)位置關(guān)系不變。七、選擇：心臟電傳導(dǎo)系統(tǒng)模型。生理背景：心臟的電活動(dòng)由特殊心肌細(xì)胞（如竇房結(jié)、希氏束等）產(chǎn)生和傳導(dǎo)，控制心臟節(jié)律。動(dòng)作電位沿細(xì)胞膜傳播，形成心電信號(hào)。模型方法：可用一維或二維偏微分方程（如反應(yīng)-擴(kuò)散方程）描述動(dòng)作電位在心肌細(xì)胞網(wǎng)格中的傳播過程。核心變量包括：空間位置(x,y)，時(shí)間t，細(xì)胞膜電位V(x,y,t)或興奮程度變量u(x,y,t)。控制方程通常包含描述離子通道電流的偏微分項(xiàng)（反應(yīng)項(xiàng)）和描述電位在空間中擴(kuò)散的擴(kuò)散項(xiàng)（如αu-βu2+Δ2u，其中α,β是函數(shù)，Δ2是拉普拉斯算子）。模型可研究心律失常的觸發(fā)和傳播機(jī)制。八、(1)隨機(jī)分組是為了將患者按概率分配到不同治療組（新藥組和安慰劑組），以盡可能抵消兩組間基線特征（如年齡、性別、病情嚴(yán)重程度等）的系統(tǒng)性差異。這有助于確保兩組在可比的基線上接受干預(yù)，從而更準(zhǔn)確地評(píng)估新藥的真實(shí)療效，減少選擇偏倚