2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計(jì)學(xué)在教育研究中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分）1.在教育研究中，欲比較兩種不同教學(xué)方法對學(xué)生某項(xiàng)技能掌握程度的影響，且認(rèn)為兩種方法的效果方差相等，最適合采用的推斷統(tǒng)計(jì)方法是？A.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)B.配對樣本t檢驗(yàn)C.單因素方差分析D.卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)2.某研究者欲了解學(xué)生的家庭背景（分為“城市”和“農(nóng)村”兩類）與其學(xué)習(xí)動機(jī)強(qiáng)度（高、中、低三個等級）之間是否存在關(guān)聯(lián)，應(yīng)采用的推斷統(tǒng)計(jì)方法是？A.單樣本t檢驗(yàn)B.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)C.卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)D.相關(guān)系數(shù)分析3.一項(xiàng)關(guān)于閱讀訓(xùn)練效果的研究，隨機(jī)抽取了60名小學(xué)生，記錄了他們訓(xùn)練前后的閱讀理解得分。此處“訓(xùn)練前后得分之差”的數(shù)據(jù)類型屬于？A.離散型定量數(shù)據(jù)B.連續(xù)型定量數(shù)據(jù)C.定性數(shù)據(jù)D.混合數(shù)據(jù)4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時，第一類錯誤指的是？A.樣本統(tǒng)計(jì)量偏小，拒絕了實(shí)際上成立的總體假設(shè)B.樣本統(tǒng)計(jì)量偏大，未能拒絕實(shí)際上成立的總體假設(shè)C.樣本統(tǒng)計(jì)量偏小，未能拒絕實(shí)際上不成立的總體假設(shè)D.樣本統(tǒng)計(jì)量偏大，拒絕了實(shí)際上不成立的總體假設(shè)5.若要評估一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)化教育測驗(yàn)的內(nèi)部一致性信度，常用的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)是？A.抽樣誤差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.Cronbach'sα系數(shù)D.相關(guān)系數(shù)二、填空題（每空3分，共15分）6.對于一組呈正態(tài)分布的定量數(shù)據(jù)，其平均值、中位數(shù)和眾數(shù)三者相等。7.在計(jì)算樣本方差時，使用的是（n-1）作為分母，目的是為了獲得對總體方差的更無偏估計(jì)。8.若兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)為-0.8，表明它們之間存在較強(qiáng)的線性關(guān)系，且為負(fù)相關(guān)關(guān)系。9.進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時，研究者通常需要設(shè)定一個顯著性水平α，常見的α值是0.05。10.從一個總體中抽取樣本時，每個個體被抽中的概率相等的方法稱為簡單隨機(jī)抽樣。三、計(jì)算題（共30分）11.（10分）某校隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，測量了他們的身高（單位：cm），數(shù)據(jù)如下（部分?jǐn)?shù)據(jù)）：175,168,182,165,170,178,180,172,169,176,173,181,164,177,171,179,166,174,160,168,183,170,175,167,172,169,176,171,177,165。請計(jì)算這30名學(xué)生身高的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。（請寫出計(jì)算公式和主要步驟）12.（10分）一項(xiàng)研究比較了兩種不同教學(xué)干預(yù)（干預(yù)Avs干預(yù)B）對改善學(xué)生問題行為的效果。隨機(jī)抽取了40名行為問題學(xué)生，均分為兩組，分別接受不同干預(yù)。干預(yù)結(jié)束后，對兩組學(xué)生的問題行為頻率進(jìn)行評分，干預(yù)組平均得分72，標(biāo)準(zhǔn)差8；對照組平均得分68，標(biāo)準(zhǔn)差10。假設(shè)兩組總體方差相等，請計(jì)算獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值，并說明其計(jì)算過程。（請寫出t值計(jì)算公式和主要步驟）13.（10分）某研究者調(diào)查了100名大學(xué)生對“在線學(xué)習(xí)平臺使用頻率”（高、中、低三個水平）與“在線學(xué)習(xí)滿意度”（滿意、一般、不滿意三個水平）的關(guān)系，數(shù)據(jù)整理如下（非表格形式呈現(xiàn)，請理解）：出現(xiàn)15人次在“高頻率使用”且“滿意”；出現(xiàn)25人次在“中頻率使用”且“滿意”；出現(xiàn)10人次在“低頻率使用”且“滿意”；出現(xiàn)20人次在“高頻率使用”且“一般”；出現(xiàn)30人次在“中頻率使用”且“一般”；出現(xiàn)15人次在“低頻率使用”且“一般”；出現(xiàn)5人次在“高頻率使用”且“不滿意”；出現(xiàn)10人次在“中頻率使用”且“不滿意”；出現(xiàn)10人次在“低頻率使用”且“不滿意”。請根據(jù)這些信息，說明運(yùn)用卡方檢驗(yàn)分析這兩個變量之間是否存在關(guān)聯(lián)時，需要計(jì)算的期望頻數(shù)是如何得到的？并寫出計(jì)算其中一個期望頻數(shù)的具體公式和結(jié)果。四、簡答題（共20分）14.（10分）簡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，并解釋其中“假設(shè)”和“檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”的含義。15.（10分）在教育研究中，使用相關(guān)分析研究兩個變量關(guān)系時，解釋相關(guān)系數(shù)r的數(shù)值范圍（-1≤r≤1）意味著什么？為什么僅憑相關(guān)系數(shù)不能斷定變量間存在因果關(guān)系？五、應(yīng)用題（共20分）16.一項(xiàng)研究旨在考察家庭作業(yè)時間（每周小時數(shù)）是否與高中生的數(shù)學(xué)成績（百分制）存在線性關(guān)系。研究者收集了50名高中生的樣本數(shù)據(jù)。研究者計(jì)劃使用一元線性回歸模型來分析，并假設(shè)數(shù)據(jù)大致符合線性關(guān)系要求。請說明在進(jìn)行回歸分析時，如何利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)回歸方程Y=a+bX，并解釋回歸系數(shù)b（斜率）和a（截距）在教育研究中的實(shí)際意義。試卷答案一、選擇題1.A2.C3.B4.D5.C二、填空題6.相等7.（n-1）8.負(fù)相關(guān)9.0.0510.簡單隨機(jī)抽樣三、計(jì)算題11.解：樣本均值計(jì)算公式：$\bar{x}=\frac{\sumx_i}{n}$樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$（主要步驟：先計(jì)算總和，再計(jì)算均值，然后計(jì)算每個數(shù)據(jù)與均值的差的平方，求和，除以n-1，最后開方得到標(biāo)準(zhǔn)差）（注：此處需代入具體數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，答案省略）12.解：獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式：$t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$其中，合并方差$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$，$s_p=\sqrt{s_p^2}$（主要步驟：先計(jì)算兩組各自的合并方差及其標(biāo)準(zhǔn)誤，再將兩組均值差除以標(biāo)準(zhǔn)誤得到t值）（注：此處需代入具體數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，答案省略）13.解：卡方檢驗(yàn)計(jì)算期望頻數(shù)：$E_{ij}=\frac{(R_i\timesC_j)}{N}$其中，$E_{ij}$是第i行第j列的期望頻數(shù)，$R_i$是第i行的邊際總和，$C_j$是第j列的邊際總和，N是樣本總數(shù)。（主要步驟：先計(jì)算每個單元格所在行的邊際總和和所在列的邊際總和，然后將該單元格的行總和與列總和的乘積除以樣本總數(shù)，得到該單元格的期望頻數(shù)）（例如，計(jì)算第一個單元格（高頻率，滿意）的期望頻數(shù)：$E_{11}=\frac{(15+20+5)\times(15+25+10)}{100}=\frac{40\times50}{100}=20$）（注：此處需根據(jù)題干提供的數(shù)據(jù)計(jì)算所有期望頻數(shù)，答案省略）四、簡答題14.解：假設(shè)檢驗(yàn)基本步驟：1.提出零假設(shè)（H0）和備擇假設(shè)（H1）。2.選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其在H0成立時的分布（通常是抽樣分布）。3.計(jì)算樣本數(shù)據(jù)所得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體值。4.根據(jù)顯著性水平α和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，確定拒絕域或計(jì)算p值。5.做出統(tǒng)計(jì)決策：若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域或p值小于α，則拒絕H0；否則，不拒絕H0?！凹僭O(shè)”：指關(guān)于總體參數(shù)的陳述，分為零假設(shè)（H0，通常表示無效應(yīng)或無差異）和備擇假設(shè)（H1，通常表示存在效應(yīng)或差異）。“檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”：是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來的一個值，其分布是已知的（在H0成立時），用于衡量樣本結(jié)果與零假設(shè)之間差異的程度。15.解：相關(guān)系數(shù)r的數(shù)值范圍（-1≤r≤1）表示兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度和方向。*|r|=1：表示完全線性相關(guān)。*0<|r|<1：表示線性相關(guān)，|r|越接近1，線性關(guān)系越強(qiáng)；|r|越接近0，線性關(guān)系越弱。*r=0：表示不存在線性相關(guān)關(guān)系。*r>0：表示正相關(guān)，即一個變量增加，另一個變量也傾向于增加。*r<0：表示負(fù)相關(guān)，即一個變量增加，另一個變量傾向于減少。僅憑相關(guān)系數(shù)不能斷定變量間存在因果關(guān)系，因?yàn)椋?.可能存在第三方變量的影響（混淆變量），導(dǎo)致兩個變量表現(xiàn)出相關(guān)性。2.可能存在反向因果關(guān)系。3.可能相關(guān)性是偶然的，尤其在樣本量很大時。五、應(yīng)用題16.解：估計(jì)回歸方程Y=a+bX的步驟：1.計(jì)算樣本均值$\bar{x}$和$\bar{y}$。2.計(jì)算回歸系數(shù)b（斜率）：$b=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$3.計(jì)算截距a：$a=\bar{y}-b\bar{x}$回歸系數(shù)b（斜率）的實(shí)際意義：表示自變量X（家庭作業(yè)時間）每增加一