第01講勾股定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①勾股定理②勾股定理的證明掌握勾股定理的內(nèi)容并能夠熟練的應(yīng)用。掌握勾股定理的驗(yàn)證方法，并能夠熟練的進(jìn)行相關(guān)應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)01勾股定理文字描述：在直角三角形中，。幾何語(yǔ)言：如圖。若直角三角形的兩直角邊分別是，斜邊是，則有：。變形式：；；?！炯磳W(xué)即練1】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c為其三邊長(zhǎng)．（1）若a＝3，b＝4，則c＝；（2）若a＝5，c＝13，則b＝．（3）若b＝8，c＝10，則a＝；（4）若c＝20，a：b＝4：3，則b＝．知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的驗(yàn)證方法：如圖①：由邊長(zhǎng)為的4個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：。如圖②：由邊長(zhǎng)為的4個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：。如圖③：由邊長(zhǎng)為的2個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：?！炯磳W(xué)即練1】2．若a，b為直角三角形的兩直角邊，c為斜邊，下列選項(xiàng)中不能用來(lái)證明勾股定理的是（）A． B． C． D．題型01利用勾股定理求線段長(zhǎng)度【典例1】一直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為6和8，則斜邊長(zhǎng)為（）A．10 B．13 C．7 D．14【變式1】若Rt△ABC的兩邊長(zhǎng)為5和12，則第三邊長(zhǎng)為（）A．13 B．26 C． D．13或【變式2】如圖，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD是斜邊的高，則CD＝（）A．3 B．4.2 C．4.8 D．5【變式3】等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊上的中線長(zhǎng)為4，它的面積為（）A．24 B．20 C．15 D．12【變式4】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，線段BC的垂直平分線交AC、BC于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則PA的長(zhǎng)度為（）A．3 B．4 C． D．題型02利用勾股定理求面積以直角三角形的三邊做相同的圖形（等邊三角形、等腰直角三角形、正方形、半圓），驗(yàn)證他們的面積關(guān)系?！镜淅?】如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得出正方形A的面積是（）A．12 B．24 C．30 D．10【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以AB、AC、BC為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，則S2為（）A．9 B．11 C．32 D．41【變式2】如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分別以AC、CB為邊向兩側(cè)作正方形．若圖中兩個(gè)正方形的面積和S1+S2＝36，則AB＝6．【變式3】如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是（）A．9 B．10 C．11 D．12【變式4】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，則S4＝（）A．183 B．87 C．119 D．81【變式5】如圖，Rt△ABC的兩條直角邊BC＝6，AC＝8．分別以Rt△ABC的三邊為邊作三個(gè)正方形．若四個(gè)陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S4，則S2+S3﹣S1的值為（）A．4 B．3 C．2 D．0題型03利用歐勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)【典例1】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，Rt△ABC的直角邊AB落在數(shù)軸上，且AB長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度，BC長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，若以點(diǎn)A為圓心，以斜邊AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【變式1】如圖，Rt△ABC的直角邊AC在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)為（）A． B．﹣3 C．1.2 D．﹣2【變式2】如圖的數(shù)軸上，點(diǎn)A，C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為1，3，線段AB⊥AC于點(diǎn)A，且AB長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，若以點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的弧交數(shù)軸于0和1之間的點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的實(shí)數(shù)為（）A． B． C． D．【變式3】如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)是（）A． B． C． D．題型04特殊直角三角形三邊的比值①30°所在的直角三角形：由30°所在直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得三邊的比值為1：：2；②等腰直角三角形（45°）：由等腰直角三角形兩腰相等以及勾股定理可得三邊的比值為1:1：。【典例1】三角形三條邊長(zhǎng)之比為1：：2，那么這個(gè)三角形為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB邊上的高，則AD的長(zhǎng)為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【變式2】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，∠D＝30°，AB＝2，BC＝3，則CD＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【典例1】21．如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，1，，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【變式1】下列四組數(shù)據(jù)中，能作為等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A．6，8，10 B．7，13，7 C． D．【變式2】已知△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c，且滿足，則此三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形題型05利用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離在平面直角坐標(biāo)系中，若和，由勾股定理可得【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，1）到原點(diǎn)的距離是（）A．1 B．3 C． D．【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（3，0）和B（0，4），則這兩點(diǎn)之間的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．7【變式2】如圖，已知點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)B（4，1），在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，且點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（0，﹣1） C．（1，0）或（0，﹣1） D．（2，0）或（0，1）題型06勾股定理的驗(yàn)證及其求值【典例1】我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一個(gè)證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【變式1】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3【變式2】如圖，“趙爽弦圖”是用四個(gè)相同的直角三角形與一個(gè)小正方形無(wú)縫隙地鋪成一個(gè)大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項(xiàng)中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【變式3】如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周醇算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點(diǎn)得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影郵分）．若圖1中的四個(gè)直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為9．較短直角邊為5，則圖2中的“風(fēng)車”圖案的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，若∠A+∠C＝90°，則下列等式中成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a(chǎn)2+c2＝b2 D．以上都不對(duì)2．如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，則AB＝（）A． B． C． D．63．等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為6，則這個(gè)等腰三角形的面積是（）A．3 B．8 C．6 D．3或84．如果直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是6、8、x，則x滿足（）A． B．x＝10 C．或x＝10 D．x＝285．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．若BC＝16，且CD：BD＝3：5，則點(diǎn)D到邊AB的距離為（）A．3 B．5 C．6 D．106．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A，B所表示得數(shù)分別是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)），則點(diǎn)D所表示的數(shù)是（）A． B．﹣1 C． D．2﹣7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，6），（8，0），以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣10，0） B．（0，﹣10） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）8．已知x，y為正數(shù)，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，如果以x，y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（）A．10 B．100 C．14 D．1969．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫(huà)正方形得到的，每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（）A． B． C． D．10．“四千年來(lái)，數(shù)學(xué)的道理還是相通的”．運(yùn)用祖沖之的出入相補(bǔ)原理也可證明勾股定理．若圖中空白部分的面積是11，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是25，則大正方形的邊長(zhǎng)是（）A． B． C． D．11．點(diǎn)P（9，40）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），M（﹣2，3），連接AM，以點(diǎn)A為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧．交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為．第12題第13題13．如圖Rt△ABC，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”：當(dāng)AC＝3，BC＝4時(shí)，則陰影部分的面積為．14．如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為34，小正方形的面積為4，則a+b的值為．15．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC邊上的高AD＝4，則△ABC的周長(zhǎng)為．16．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊．（1）如果a＝5，b＝12，那么c＝．（2）如果c＝61，a＝60，那么b＝．（3）若∠A＝45°，a＝2，則c＝．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC＝12，AB＝20．（1）試說(shuō)明：CE＝CF；（2）試著求出線段CE的長(zhǎng)．18．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，點(diǎn)B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a為整數(shù)．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)C（m，0）為x軸上一點(diǎn)，且△ABC是以BC為底的等腰三角形，求m的值．19．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫(huà)圖：（1）在圖中畫(huà)一條線段MN，使MN＝；（2）在圖中畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)均為無(wú)理數(shù)，且各邊都不相等的直角△DEF．20．閱讀下列材料，完成任務(wù)我們知道，平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可以用如圖所示的平面幾何圖形的面積來(lái)表示，實(shí)際上，還有一些代數(shù)式恒等式也可以用這種形式表示．任務(wù)：（1）圖1是由2個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形和2個(gè)全等的長(zhǎng)方形所拼成的大正方形，根據(jù)圖中的信息，可以寫(xiě)出所表示的代數(shù)恒等式為；（2）圖2所示的圖形是由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的全等的直角三角形和一個(gè)正方形的拼成的大正方形，請(qǐng)你用面積法推導(dǎo)恒等式的方法，證明勾股定理．（3）在Rt△ABC中，a，b為直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)，且a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，求直角三角形的斜邊長(zhǎng)c．第01講勾股定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①勾股定理②勾股定理的證明掌握勾股定理的內(nèi)容并能夠熟練的應(yīng)用。掌握勾股定理的驗(yàn)證方法，并能夠熟練的進(jìn)行相關(guān)應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)01勾股定理文字描述：在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。幾何語(yǔ)言：如圖。若直角三角形的兩直角邊分別是，斜邊是，則有：。變形式：；；。【即學(xué)即練1】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c為其三邊長(zhǎng)．（1）若a＝3，b＝4，則c＝；（2）若a＝5，c＝13，則b＝．（3）若b＝8，c＝10，則a＝；（4）若c＝20，a：b＝4：3，則b＝．【分析】在直角三角形中，已知三條邊中的兩條邊長(zhǎng)，都可利用公股定理求得第三條邊長(zhǎng)．【解答】解：（1）斜邊c＝＝5；（2）直角邊b＝＝12；（3）直角邊a＝＝6；（4）∵a：b＝4：3，∴a＝b，∴＝20，解得b＝12．知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的驗(yàn)證方法：如圖①：由邊長(zhǎng)為的4個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：。如圖②：由邊長(zhǎng)為的4個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：。如圖③：由邊長(zhǎng)為的2個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成：整體法表示面積：。用各部分面積之和表示面積：。整理可得：?！炯磳W(xué)即練1】2．若a，b為直角三角形的兩直角邊，c為斜邊，下列選項(xiàng)中不能用來(lái)證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：選項(xiàng)A不能用來(lái)證明勾股定理，故符合題意；選項(xiàng)B，正方形的面積＝4×ab+（b﹣a）2＝+2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2＝c2，不符合題意；選項(xiàng)C，正方形的面積＝（a+b）2＝4×ab+c2，化簡(jiǎn)得，a2+b2＝c2，不符合題意；選項(xiàng)D，梯形的面積＝（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，化簡(jiǎn)得，a2+b2＝c2，不符合題意；故選：A．題型01利用勾股定理求線段長(zhǎng)度【典例1】一直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為6和8，則斜邊長(zhǎng)為（）A．10 B．13 C．7 D．14【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求解．【解答】解：由勾股定理可得，斜邊長(zhǎng)為：＝10，故選：A．【變式1】若Rt△ABC的兩邊長(zhǎng)為5和12，則第三邊長(zhǎng)為（）A．13 B．26 C． D．13或【分析】分兩種情況考慮：若12為直角邊，可得出5也為直角邊，第三邊為斜邊，利用勾股定理求出斜邊，即為第三邊；若12為斜邊，可得5和第三邊都為直角邊，利用勾股定理即可求出第三邊．【解答】解：①若12為直角邊，可得5為直角邊，第三邊為斜邊，根據(jù)勾股定理得第三邊為＝13；②若12為斜邊，5和第三邊都為直角邊，根據(jù)勾股定理得第三邊為＝，則第三邊長(zhǎng)為13或．故選：D．【變式2】如圖，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD是斜邊的高，則CD＝（）A．3 B．4.2 C．4.8 D．5【分析】由勾股定理求出BC長(zhǎng)，由三角形面積公式得到10CD＝6×8，即可求出CD＝4.8．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∵CD是斜邊的高，∴△ABC的面積＝AB?CD＝BC?AC，∴10CD＝6×8，∴CD＝4.8．故選：C．【變式3】等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊上的中線長(zhǎng)為4，它的面積為（）A．24 B．20 C．15 D．12【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊上的中線長(zhǎng)為4，∴底邊為2×＝2×3＝6，∴它的面積為＝12，故選：D．【變式4】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，線段BC的垂直平分線交AC、BC于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則PA的長(zhǎng)度為（）A．3 B．4 C． D．【分析】連接PB，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出PB＝PC，設(shè)PA＝x，則PC＝PB＝4﹣x，再根據(jù)勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：如圖，連接PB，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝4，∵線段BC的垂直平分線交AC、BC于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，∴PC＝PB，設(shè)PA＝x，則PC＝PB＝4﹣x，在Rt△APB中，由勾股定理得，PA2+AB2＝PB2，∴x2+32＝（4﹣x）2，解得x＝，即PA＝，故選：D．題型02利用勾股定理求面積以直角三角形的三邊做相同的圖形（等邊三角形、等腰直角三角形、正方形、半圓），驗(yàn)證他們的面積關(guān)系。【典例1】如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得出正方形A的面積是（）A．12 B．24 C．30 D．10【分析】利用勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由勾股定理可得：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，∴正方形A的邊長(zhǎng)的平方＝18+6＝24，∴正方形A的面積＝24，故選：B．【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以AB、AC、BC為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，則S2為（）A．9 B．11 C．32 D．41【分析】先用含π的式子表示出AB、BC，再根據(jù)勾股定理及等式的性質(zhì)表示出AC，最后求出S2．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故選：A．【變式2】如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分別以AC、CB為邊向兩側(cè)作正方形．若圖中兩個(gè)正方形的面積和S1+S2＝36，則AB＝6．【分析】由正方形的面積公式求得AC2+BC2的值；然后在直角△ABC中，利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)度．【解答】解：根據(jù)題意知，AC2+BC2＝S1+S2＝36，則在直角△ABC中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．故答案為：6．【變式3】如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，即S3＝2+5+1+2＝10．故選：B．【變式4】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，則S4＝（）A．183 B．87 C．119 D．81【分析】利用勾股定理的幾何意義解答．【解答】解：由題意可知：，，，，如圖，連接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S4＝135﹣48＝87，故選：B．【變式5】如圖，Rt△ABC的兩條直角邊BC＝6，AC＝8．分別以Rt△ABC的三邊為邊作三個(gè)正方形．若四個(gè)陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S4，則S2+S3﹣S1的值為（）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】依據(jù)題意，證明△EAD≌△CAB（SAS），得出S4＝S△ABC＝24，證明△ABK≌△BGH（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出S△ABK＝S△BGH，證出S△ABC＝S1，設(shè)S四邊形ADHC＝x，S△BCK＝y(tǒng)，由勾股定理及正方形的性質(zhì)可得出S2+S3＝S1，則可得出答案．【解答】解：由題意得，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAB，AD＝AB，∴△EAD≌△CAB（SAS）．∴S4＝S△ABC．又∵∠ABK＝∠BGH，∠KAB＝∠HBG，AB＝BG，∴△ABK≌△BGH（ASA）．∴S△ABK＝S△BGH．∴S△ABC+S△BCK＝S1+S△BCK．∴S△ABC＝S1＝S4．又由題意可設(shè)S四邊形ADHC＝x，S△BCK＝y(tǒng)，∴，，．∵AC2+BC2＝AB2，∴S3+S4+x+S2+y＝S1+x+y+S△ABC．∴S3+S4+S2＝S1+S△ABC．又∵S△ABC＝S1＝S4，∴S3+S2＝S1．∴S2+S3＝S1．∴S2+S3﹣S1＝0．故選：D．題型03利用歐勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)【典例1】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，Rt△ABC的直角邊AB落在數(shù)軸上，且AB長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度，BC長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，若以點(diǎn)A為圓心，以斜邊AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)度，即AD的長(zhǎng)度即可得出結(jié)果．【解答】解：由勾股定理知：AC＝＝＝，所以AD＝AC＝．所以點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣1．故選：D．【變式1】如圖，Rt△ABC的直角邊AC在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)為（）A． B．﹣3 C．1.2 D．﹣2【分析】利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，得出AP的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，∴AB＝＝＝，由題意可知，AP＝AB＝，∵點(diǎn)A表示﹣2，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為：﹣2，故選：D．【變式2】如圖的數(shù)軸上，點(diǎn)A，C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為1，3，線段AB⊥AC于點(diǎn)A，且AB長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，若以點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的弧交數(shù)軸于0和1之間的點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的實(shí)數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】利用勾股定理即可求得CB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可求得答案．【解答】解：由題意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，則CB＝＝，那么點(diǎn)P表示的實(shí)數(shù)為3﹣，故選：A．【變式3】如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】由勾股定理得AB＝2，再由作圖得AD＝AB＝2，然后由點(diǎn)D在原點(diǎn)的左側(cè)即可得出答案．【解答】解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣2，∴AC＝4，∵∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∵以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D，∴AD＝AB＝2，∵點(diǎn)D在原點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)D表示的數(shù)為：﹣（2﹣2）＝2﹣2，故選：D．題型04特殊直角三角形三邊的比值①30°所在的直角三角形：由30°所在直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得三邊的比值為1：：2；②等腰直角三角形（45°）：由等腰直角三角形兩腰相等以及勾股定理可得三邊的比值為1:1：?！镜淅?】三角形三條邊長(zhǎng)之比為1：：2，那么這個(gè)三角形為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】首先根據(jù)三邊之比設(shè)出三邊長(zhǎng)為x，x，2x，再根據(jù)勾股定理逆定理可證明出直角三角形．【解答】解：設(shè)三條邊長(zhǎng)分別為x，x，2x，∵x2+（x）2＝（2x）2，∴這個(gè)三角形為直角三角形，故選：C．【變式1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB邊上的高，則AD的長(zhǎng)為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【分析】求出∠BCD＝30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BD＝BC，再根據(jù)AD＝AB﹣BD代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝30°，∵∠CDB＝90°，BC＝2，∠BCD＝30°，∴，∴AD＝AB﹣BD＝3，故選：B．【變式2】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，∠D＝30°，AB＝2，BC＝3，則CD＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)E，證明△BCE是等邊三角形，可得BE＝CE＝BC＝3，從而得到AE＝AB+BE＝5，再由直角三角形的性質(zhì)可得DE＝2AE＝10，即可求解．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)E，∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝60°，∵∠A＝90°，∠D＝30°，∴∠E＝60°，∴∠CBE＝∠E＝∠BCE＝60°，∴△BCE是等邊三角形，∴BE＝CE＝BC＝3，∴AE＝AB+BE＝5，在Rt△ADE中，∠D＝30°，∴DE＝2AE＝10，∴CD＝DE﹣CE＝7．故選：C．【典例1】21．如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，1，，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵12+12＝2，（）2＝2，∴12+12＝（）2，∴這個(gè)三角形是等腰直角三角形，故選：D．【變式1】下列四組數(shù)據(jù)中，能作為等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A．6，8，10 B．7，13，7 C． D．【分析】利用勾股定理逆定理以及等腰三角形的定義，進(jìn)行求解即可．【解答】解：A、∵6≠8≠10，∴不能作為等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；B、∵72+72≠132，∴不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、∵2≠≠，∴不能作為等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；D、∵52+52＝50，，∴，∴能作為等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)，符合題意．故選：D．【變式2】已知△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c，且滿足，則此三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【分析】根據(jù)平方，絕對(duì)值相加為0，可分別求出a，b，c的值，根據(jù)邊長(zhǎng)可判斷三角形的形狀．【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0，∴a﹣2＝0，a＝2；b﹣2＝0，b＝2；c﹣2＝0，c＝2．∵22+22＝，即：a2+b2＝c2，∴所以此三角形是直角三角形．又∵a＝b，∴故此三角形是等腰直角三角形．故選：C．題型05利用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離在平面直角坐標(biāo)系中，若和，由勾股定理可得【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，1）到原點(diǎn)的距離是（）A．1 B．3 C． D．【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解，即可得到答案．【解答】解：∵點(diǎn)P（3，1），O（0，0），∴點(diǎn)P（3，1）到原點(diǎn)的距離＝，故選：C．【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（3，0）和B（0，4），則這兩點(diǎn)之間的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】由勾股定理即可得出答案．【解答】解：如圖，∵A（3，0），B（0，4），∴AB＝＝＝5，故選：C．【變式2】如圖，已知點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)B（4，1），在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，且點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（0，﹣1） C．（1，0）或（0，﹣1） D．（2，0）或（0，1）【分析】連接CP'交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P與點(diǎn)P'即為所求的點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可得出選項(xiàng)．【解答】解：如圖，連接CP'交x軸于點(diǎn)P，∵AP'＝，AP＝＝BP，∴點(diǎn)P與點(diǎn)P'即為所求的點(diǎn)，即P（1，0）或P'（0，﹣1），故選：C．題型06勾股定理的驗(yàn)證及其求值【典例1】我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一個(gè)證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)基礎(chǔ)圖形的面積公式表示出各個(gè)選項(xiàng)的面積，同時(shí)根據(jù)割補(bǔ)的思想可以寫(xiě)出另外一種面積表示方法，即可得出一個(gè)等式，進(jìn)而可判斷能否證明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面積為：c2；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A選項(xiàng)能證明勾股定理．B、梯形的面積為：＝；也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成，則其面積為：＝，∴＝，∴a2+b2＝c2，故B選項(xiàng)能證明勾股定理．C、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故C選項(xiàng)能證明勾股定理．D、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D選項(xiàng)不能證明勾股定理．故選：D．【變式1】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3【分析】利用整體代入的思想求出（a﹣b）2的值即可．【解答】解：由題意可得，，∴小正方形的面積＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，故選：C．【變式2】如圖，“趙爽弦圖”是用四個(gè)相同的直角三角形與一個(gè)小正方形無(wú)縫隙地鋪成一個(gè)大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項(xiàng)中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：x2+y2＝25，故B錯(cuò)誤，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D錯(cuò)誤，∴（x﹣y）2＝1，故A錯(cuò)誤，∴x2﹣y2＝7，故C正確；故選：C．【變式3】如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周醇算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點(diǎn)得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影郵分）．若圖1中的四個(gè)直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為9．較短直角邊為5，則圖2中的“風(fēng)車”圖案的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，由題意可知，AB＝CD＝5，BC＝9，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣5＝4，∴AD＝＝，∴“風(fēng)車”圖案的周長(zhǎng)為4+4×5＝4+20故選：C．1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，若∠A+∠C＝90°，則下列等式中成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a(chǎn)2+c2＝b2 D．以上都不對(duì)【分析】由已知兩角之和為90度，利用三角形內(nèi)角和定理得到三角形為直角三角形，利用勾股定理即可得到結(jié)果．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠C＝90°，∴∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形，則根據(jù)勾股定理得：a2+c2＝b2．故選：C．2．如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，則AB＝（）A． B． C． D．6【分析】根據(jù)勾股定理即可直接求出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，∴．故選：B．3．等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為6，則這個(gè)等腰三角形的面積是（）A．3 B．8 C．6 D．3或8【分析】因?yàn)橐阎L(zhǎng)度為4和6兩邊，沒(méi)有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【解答】解：①當(dāng)4為底時(shí)，其它兩邊都為6，4、6、6可以構(gòu)成三角形，底邊上的高為＝4，∴等腰三角形的面積＝×＝8；②當(dāng)4為腰時(shí)，其它兩邊為4和6，∵4+4＝8＞6，∴能構(gòu)成三角形，∴底邊上的高為＝＝，∴等腰三角形的面積＝×6＝3．故選：D．4．如果直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是6、8、x，則x滿足（）A． B．x＝10 C．或x＝10 D．x＝28【分析】本題考查的是勾股定理，分直角邊邊長(zhǎng)是8和斜邊邊長(zhǎng)是8兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)直角邊邊長(zhǎng)是8時(shí)，則x2＝62+82＝100，則x＝10；當(dāng)斜邊邊長(zhǎng)是8時(shí)，則x2＝82﹣62＝28，則；綜上所述：x的滿足或x＝10，故選：C．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．若BC＝16，且CD：BD＝3：5，則點(diǎn)D到邊AB的距離為（）A．3 B．5 C．6 D．10【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則DE即為點(diǎn)D到邊AB的距離，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵BC＝16，且CD：BD＝3：5，∴CD＝6，BD＝10，∴DE＝6，即點(diǎn)D到邊AB的距離為6，故選：C．6．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A，B所表示得數(shù)分別是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)），則點(diǎn)D所表示的數(shù)是（）A． B．﹣1 C． D．2﹣【分析】根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1，由勾股定理得，AC＝，則點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣1．故選：B．7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，6），（8，0），以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣10，0） B．（0，﹣10） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，6），（8，0），∴OA＝6，OB＝8，∴，∵以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，∴AC＝AB＝10，∴OC＝AC﹣OA＝10﹣6＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）．故選：D．8．已知x，y為正數(shù)，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，如果以x，y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（）A．10 B．100 C．14 D．196【分析】由絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性質(zhì)解出x、y的值，再由勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，斜邊長(zhǎng)的平方即為正方形的面積．【解答】解：∵x，y為正數(shù)，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，∴x﹣6＝0，y﹣8＝0，∴x＝6，y＝8，∴以x，y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為＝10，∴以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為102＝100，故選：B．9．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫(huà)正方形得到的，每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（）A． B． C． D．【分析】由正方形的性質(zhì)和勾股定理分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵以直角三角形各邊為邊在三角形外部畫(huà)正方形，每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積，∴每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的邊長(zhǎng)的平方，A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故選項(xiàng)A不符合題意；B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故選項(xiàng)B不符合題意；C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．10．“四千年來(lái)，數(shù)學(xué)的道理還是相通的”．運(yùn)用祖沖之的出入相補(bǔ)原理也可證明勾股定理．若圖中空白部分的面積是11，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是25，則大正方形的邊長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)圖中直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊為c，根據(jù)題意“空白部分的面積是11，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是25”可得，將兩式相加并求解即可獲得答案．【解答】解：如下圖，設(shè)圖中直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊為c，∵圖中空白部分的面積是11，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合題意，舍去），∴大正方形的邊長(zhǎng)是．故選：D．11．點(diǎn)P（9，40）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是41．【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：點(diǎn)P（9，40）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是；故答案為：41．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），M（﹣2，3），連接AM，以點(diǎn)A為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。粁軸的負(fù)半軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，0）．【分析】過(guò)M點(diǎn)作MB⊥x軸于B點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)求解AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AM，即可求得AN的長(zhǎng)，由坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【解答】解：過(guò)M點(diǎn)作MB⊥x軸于B點(diǎn)，∵A（1，0），M（﹣2，3），∴OA＝1，MB＝3，OB＝2，∴AB＝3，在Rt△ABM中，AM＝，∴AN＝AM＝，∴ON＝AO﹣OA＝﹣1，∵C點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1﹣，0）．故答案為：（1﹣，0）．13．如圖Rt△ABC，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”：當(dāng)AC＝3，BC＝4時(shí)，則陰影部分的面積為6．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，分別求出三個(gè)半圓的面積和△ABC的面積，即可得出答案．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，所以陰影部分的面積S＝×π×（）2+π×（）2+﹣π×（）2＝6，故答案為：6．14．如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為34，小正方形的面積為4，則a+b的值為8．【分析】根據(jù)圖形表示出大，小正方形的面積：（b﹣a）a2+b2＝34，（b﹣a）2＝4，再根據(jù)四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．【解答】解：∵大正方形的面積為34，小正方形的面積為4，∴a2+b2＝34，（b﹣a）2＝4，∴4×ab＝34﹣4＝30，∴2ab＝30，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+60＝64，∴a+b＝8．故答案為：8．15．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC邊上的高AD＝4，則△ABC的周長(zhǎng)為14+2或8+2．【分析】分兩種情況考慮：如圖1所示，此時(shí)△ABC為銳角三角形，在直角三角形ABD與直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD與DC的長(zhǎng)，由BD+DC求出BC的長(zhǎng)可解答；如圖2所示，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，同理由BD﹣CD求出BC的長(zhǎng)可解答．【解答】解：分兩種情況考慮：如圖1所示，此時(shí)△ABC為銳角三角形，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD＝＝＝2；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：CD＝＝＝3，此時(shí)BC＝BD+DC＝2+3，∴△ABC的周長(zhǎng)為：AB+AC+BC＝6+5+2+3＝14+2；如圖2所示，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD＝＝＝2；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：CD＝＝＝3，此時(shí)BC＝BD﹣DC＝2﹣3，∴△ABC的周長(zhǎng)為：AB+AC+BC＝6+5+2﹣3＝8+2；綜上，△ABC的周長(zhǎng)為14+2或8+2．故答案為：14+2或8+2．16．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊．（1）如果a＝5，b＝12，那么c＝13．（2）如果c＝61，a＝60，那么b＝11．（3）若∠A＝45°，a＝2，則c＝2．【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用勾股定理求解即可；（3）先求出∠B，根據(jù)等角對(duì)等邊得出b＝a＝2，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，∴c＝