同濟大學附屬七一中學2025-2026學年高三上學期期中數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1．集合{x|5＜x＜9，x∈N}，用列舉法可表示為．2．已知sinα=7253．已知“x≥3”是“x≥a”的充分非必要條件，則實數(shù)a的取值范圍．4．當x＞0時，x＋9x的最小值為5．函數(shù)f(x)=log21x?16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c；若b＝6，a＝2c，B=π3，則△ABC的面積為7．已知偶函數(shù)f（x）部分圖象如圖所示，且f（3）＝0，則不等式xf（x）＜0的解集為．8．如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側(cè)面的平面展開圖的面積為3π則此圓錐的體積為.9．已知函數(shù)f(x)＝sinx+2x若函數(shù)fx=ax3+3已知函數(shù)fx=ax，x<0，1712．已知函數(shù)y=a4?x（a>0且a≠1）的圖像恒過定點A，且點A則1m+4m二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13．若關(guān)于x的二次不等式ax2+bxA．a(chǎn)>0，且b2?4ac>0C．a(chǎn)<0，且b2?4ac>014．下列函數(shù)在定義域中既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A．y=1xB．y=?xxC．y=15．已知f(x)=cos(ωx+π3),ω>0．在x∈0,2π內(nèi)的值域為A．23，43B．0，116．設(shè)函數(shù)fx=?x2?2x，x≤0lnx，x>0則x1?x2?下列判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．（本題滿分14分）在直三棱柱ABC?A1B（1）直三棱柱ABC?A1B1C1表面積和體積；（2）18．（本題滿分14分）已知向量m=2（1）設(shè)θ∈?π2π（2）在△ABC中,△ABCAB=1，fC=3+1，且△ABC某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y萬元與年產(chǎn)量x噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為y=x（1）年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本；（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤?并求最大利潤.20．已知函數(shù)f(x)=2x+1+b（1）求b的值，并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）求不等式f[f(x)]+f(14)＜0的解集；（3）設(shè)g（x）＝lnx+mx2，若對任意的x1∈[1，e]，總存在x2∈[0，2]，使得g（x1）＝f（x221．已知定義域為D的函數(shù)y=fx，其導函數(shù)為y′=f′（1）若fx=ax+lnx，x∈1，2（3）若y=fx，x∈R是周期為2的周期函數(shù)，證明：對任意的實數(shù)x1，x同濟大學附屬七一中學2025-2026學年高三上學期期中數(shù)學試題解析學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題（本大題共12題，滿分54分；第1-6題每題4分;第7-12題每題5分）1．{6，7，8}2．?7243.(?∞，3]4．65．0，16.8．22π39.?8π210．（﹣∞，0）∪（0，3）11．(6.【詳解】因為b＝6，a＝2c，B=π3，所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得62＝（2c）2+c2﹣2×（2c）×c×1解得c2＝12，可得c＝23，a＝43，則△ABC的面積S=12acsinB=12×7.【詳解】根據(jù)函數(shù)部分圖象和偶函數(shù)可以補全y軸左側(cè)的圖象，由xf（x）＜0，當x＞0時，f（x）＜0，結(jié)合圖象可得0＜x＜3；當x＜0時，f（x）＞0，可得x＜﹣3，所以xf（x）＜0的解為{x|x＜﹣3或0＜x＜3}．故答案為：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．8.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，所以圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積為：S=1所以l＝3，所以圓錐的高SO=32?1=22．故圓錐的體積為：10.【詳解】∵函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x2+x+1恰好有三個單調(diào)區(qū)間，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1＝0有兩個不相等的零點，則只需滿足：a≠0Δ=36?12a＞0二、選擇題（本大題共4題，滿分18分；第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.B14.B15.D16.C13．B【詳解】由題意關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+14．B【詳解】解：對于A選項，函數(shù)y=1函數(shù)y=?xx為奇函數(shù)，當x>0時，y=?xx=?對于C，由于函數(shù)y=ex,y=?對于D選項，函數(shù)y=?lnx為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；故選：BD【詳解】因為x∈0，2π，所以ωx+π3（如下圖）：可知π≤2πω+π所以解得ω∈116．C【詳解】當x≤0時，fx=?x2?2x，圖象為拋物線的一部分，拋物線開口向下，對稱軸為x=?1，頂點為(?1，1)，過(?2，0)和對于①，當方程fx=a有四個不同的實根x1、x2、不妨假設(shè)x1<x?2<x且x1+x2=?2，ln因此x1?x2?所以x1?x2?x3?x4∈(0，1)，故①為真命題；對于②，方程f2x?a+1fx=1a有4個不同實根，故原方程有6個不同實根；當a=1時，1有3個不同實根，故原方程有3個不同實根；當0<a<1時，1a>1，由y=f(x)的圖象得fx=a有4個不同實根，fx=1a有1個實根，故原方程有1個實根；當a<0且a≠?1時，a≠1a<0且1a有1個實根，fx=1a有1個實根，故原方程有2個不同實根；綜上所述，方程f2三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.（1）3+2，12；（2）arcsin1518.（1）π3或4π3；（2）319．（1）年產(chǎn)量為100噸時，平均成本最低為16萬元；（2）年產(chǎn)量為110噸時，最大利潤為860萬元.【分析】（1）列出式子，通過基本不等式即可求得；（2）將式子化簡后，通過二次函數(shù)的角度求得最大值.【詳解】（1）∵x∈[60，110]，∴yx=即x=100取“=”，符合題意；∴年產(chǎn)量為100噸時，平均成本最低為16萬元；（2）L(x)=24x?x25?24x+2000∴當x=110時，L(x)max=86020．（1）因為f（x）為奇函數(shù)，所以f(x)+f(?x)=2解得b＝﹣2，所以f(x)=2x+1?22x+1=2?42x+1，下面用定義法證明單調(diào)性：?則f(x1)?f(x2)=2?4所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；（2）由（1）知f（x）在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故不等式f[f(x)]+f(?f(x)＜?14，即2?42x+1＜?14因為f（x）在R上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[0，2]上，f(x)max=f(2)=故f(x)∈[0，65]當m≥0時，g（x）＝lnx+mx2在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，要使對任意的x1∈[1，e]，總存在x2∈[0，2]，使得g（x1）＝f（x2）成立，則需g(1)≥f(0)g(e)≤f(2)，即m≥01+me2≤21．（1）?32，0；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題，即?1?1x<a<1?1x在x∈（4）利用函數(shù)是定義域為R的周期函數(shù)，知函數(shù)fx在一個周期上必有最大值和最小值，再利用條件f得到fx1?f【詳解】（1）因為fx=ax+lnx，x∈1,2，所以f即a+1x<1在x∈1,2上恒成立，所以?1<a+1令