第第頁第04講充分條件與必要條件【人教A版】1．命題及相關(guān)概念(1)定義：用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題.(2)命題的分類①真命題：判斷為真的語句；②假命題：判斷為假的語句.(3)命題的形式：“若p，則q”.其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.【注】數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題不一定都是定理，因為命題有真假之分，而定理是真命題.【題型1命題的概念】【例1】（24-25高一上·甘肅酒泉·期中）下列語句是命題的是（

）A．3是偶數(shù)嗎? B．三角形的內(nèi)角和等于180°C．這里的景色山真美啊! D．x>2【變式1.1】（24-25高二下·四川綿陽·階段練習(xí)）下列語句是命題的是（

）A．二次函數(shù)的圖象太美啦！ B．這是一棵大樹C．求證：1+1=2 D．3比5大【變式1.2】（24-25高一上·江蘇·課后作業(yè)）有下列語句，其中是命題的個數(shù)為（

）．（1）這道數(shù)學(xué)題有趣嗎？（2）0不可能不是自然數(shù)；（3）a2+1>0(a∈RA．3 B．4 C．5 D．6【變式1.3】（24-25高一上·廣西河池·階段練習(xí)）有下列語句，其中是命題的個數(shù)為（

）（1）數(shù)學(xué)真有趣（2）0是自然數(shù)（3）a（4）x>3（5）素數(shù)都是奇數(shù).A．2 B．3 C．4 D．5【題型2命題的真假的判斷】【例2】（24-25高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）對于命題p：全等三角形的周長相等，命題q：周長相等的三角形全等，下列說法中正確的是（

）A．p和q都是真命題 B．p和q都是假命題C．p是真命題，q是假命題 D．p是假命題，q是真命題【變式2.1】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)全集U=R，集合A，B是R的兩個子集，對于任意x∈R，定義m=0①對于任意x∈R，都有m+n=1?A=②對于任意x∈R，都有mn=m?A?B則（

）A．①②都是真命題 B．①②都是假命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題【變式2.2】（24-25高一上·全國·課堂例題）判斷下列語句是否為命題？若是，請判斷其真假，并說明理由．(1)求證3是無理數(shù)；(2)若x∈R，則x(3)你是高一的學(xué)生嗎？(4)并非所有的人都喜歡吃蘋果；(5)若xy是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)；(6)60x+9>4．【變式2.3】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列語句哪些是命題？如果是命題，那么它們是真命題還是假命題？為什么？(1)個位數(shù)是5的自然數(shù)能被5整除；(2)凡直角三角形都相似；(3)上課請不要講話；(4)若兩個角互為補角，則這兩個角不相等；(5)你是高一學(xué)生嗎？(6)x>3.模塊二模塊二充分、必要與充要條件1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設(shè)與命題p對應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.4．充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.5．充分條件、必要條件的應(yīng)用充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上，解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.【題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定】【例3】（25-26高一上·江蘇·開學(xué)考試）對于?x∈R，用x表示不大于x的最大整數(shù)，例如：π=3，?2.1=?3，則“x>y”是“x>yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3.1】（24-25高一上·河南·期末）已知a,b∈R，則“a?2b?2=0”是“a?22A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式3.2】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）指出下列各題中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充分必要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答）.(1)在△ABC中，p:∠A>∠B，q:BC>AC；(2)對于實數(shù)x，y，p:x+y≠8，q:x≠2或y≠6；(3)p:(a?2)(a?3)=0，q:a=3.【變式3.3】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）下列命題中，判斷條件p是條件q的什么條件.(1)p:|x|=|y|，q:x=y；(2)p:△ABC是直角三角形，q:△ABC是等腰三角形；(3)p:四邊形的對角線互相平分，q:四邊形是矩形；(4)p:x=1，q:x?1=x?1(5)p:m>0，q:關(guān)于x的方程x2【題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索】【例4】（24-25高一上·山東德州·階段練習(xí)）下列不等式中，可以作為x<3的一個充分不必要條件的是（）A．2<x<4 B．3<x<4 C．x<2 D．x<4【變式4.1】（24-25高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0有實數(shù)解的一個必要不充分條件的是（A．m<12 B．m≤14 C．【變式4.2】（24-25高一上·廣東河源·階段練習(xí)）命題“?x∈x1≤x≤2，x2A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)≥4 D．a(chǎn)=6【變式4.3】（24-25高一上·廣東深圳·期中）設(shè)x∈R，不等式|x?3|<2的一個充分不必要條件是（

A．1<x<5 B．x>0 C．x<4 D．2≤x≤3【題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)】【例5】（24-25高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知集合A=x?2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m?1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則mA．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．? D．m|2<m≤3【變式5.1】（24-25高一上·江蘇泰州·期中）已知p：?2≤x≤5，q:2?2m≤x≤2+mm>0，若p的充分不必要條件是q，則實數(shù)m的取值范圍為（

A．m≤3 B．0<m≤3C．m≥2 D．0<m≤2【變式5.2】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知命題p:2?a<x<a+2(a>0)，命題q:1<x<4，(1)若p是q的充分非必要條件，求實數(shù)a的取值范圍;(2)若p是q的必要非充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【變式5.3】（24-25高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知集合A=x|?3≤x≤4(1)是否存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的充要條件，若存在，求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由(2)是否存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，若存在求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由，(3)是否存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的必要不充分條件，若存在求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由，【題型6\t"/gzsx/zj145202/_blank"\o"根據(jù)充要條件求參數(shù)"由充要條件求參數(shù)】【例6】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若命題p：“2x>6?a”是命題q：“x∈R”的充要條件，則（

）A．a(chǎn)<6 B．a(chǎn)>6 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)>0【變式6.1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）集合A=?1,1,3,5，集合B=a,1,3,5，若“x∈A”是“x∈B”的充要條件，則a=（A．0 B．?1 C．3 D．5【變式6.2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知p:?4≤x?1≤6，q:?a+2≤x≤2+a，若p是q的充要條件，則實數(shù)a=．【變式6.3】（24-25高一上·陜西西安·開學(xué)考試）命題p：一次函數(shù)y=k?1x+2k+1的圖像經(jīng)過一、二、四象限的充要條件是【題型7充要條件的證明】【例7】（2025·河南·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)y=a2x2+a2x+1，a∈R且a≠0【變式7.1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)集合A，B，求證：A?B是A∪B=B的充要條件．【變式7.2】（24-25高一上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知ab≠0，求證：a3?2a2【變式7.3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）設(shè)a,b,c為△ABC的三邊，求證：方程x2+2ax+b2=0【題型8充分、必要條件與集合交匯】【例8】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合A=x∣?2≤x?1≤5，集合B=x∣m+1≤x≤2m?1(1)若m=3，求?R(2)設(shè)命題p:x∈A；命題q:x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【變式8.1】（24-25高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合A=x(1)若a=0，求A∩B；(2)若A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若x∈B是x∈A的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【變式8.2】（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知集合A=xx2(1)若A∩B=?，求實數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，是否存在實數(shù)m，使得命題q是命題p的必要不充分條件？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【變式8.3】（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合A=x|m?1≤x≤2m，B=(1)當(dāng)m=3時，求A∩B，A∪?(2)從①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；②A∩?RB=?問題：若_______，求實數(shù)m的取值范圍.一、單選題1．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）下列語句中，命題的個數(shù)是（

）①空集是任何集合的真子集；②請起立；③?1的絕對值為1；④你是高一的學(xué)生嗎?A．0 B．1 C．2 D．32．（24-25高一上·四川綿陽·階段練習(xí)）“x2?9=0”是“x=3”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（24-25高一上·廣東江門·期中）若p:1?x>0是q:2x≤a的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)≤24．（24-25高一上·上?！て谀┕湃嗽啤耙晃莶粧?，何以掃天下”，這句諺語說明古人認(rèn)為“能掃一屋”的一個（

）條件是“能掃天下”A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件5．（25-26高一上·全國·期中）設(shè)a，b∈R，則“a?ba2<0”是“a<bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式3a?5b=3a+5A．a(chǎn)b<0 B．a(chǎn)b≤0C．a(chǎn)b>0 D．a(chǎn)b≥07．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要條件B．“方程ax2+bx+c=0C．“a∈P∪Q”是“a∈P∩Q”的必要不充分條件D．“x>y”是“x28．（24-25高一上·河南南陽·期末）“?x∈?1,2，x2?m≥0A．m≥0 B．m≤1 C．m≤4 D．m≤5二、多選題9．（24-25高一上·廣東中山·階段練習(xí)）?112<5x?3<12A．?12<x<4 B．?12<x<210．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“x<m或x>m+2”是“?1<x<4”的必要不充分條件，則實數(shù)m的值可以是（

）A．?5 B．?3 C．3 D．511．（24-25高一上·山東德州·階段練習(xí)）下面命題正確的是（

）A．“a>1”的必要不充分條件是“1aB．命題“若x<1，則x2C．設(shè)x,y∈R，則“x≥2且y≥2”是“xD．設(shè)a,b∈R，則“a≠0”是“ab≠0三、填空題12．（25-26高一上·全國·單元測試）已知p:a<x<4a，其中a>0,q:2<x<4．若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．13．（24-25高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知p:?2≤x≤2,q:1?m≤x≤m?1，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為.14．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）在下列所示電路圖中，下列說法正確的是.（填序號）.（1）如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)A閉合是奵泡B亮的必要不充分條件.四、解答題15．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）判斷下列語句是不是命題，如果是命題，指出是真命題還是假命題．(1)任何負(fù)數(shù)都大于零；(2)△ABC與△A(3)x2(4)??A；(5)6是方程x?2x?6(6)方程x216．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）下列命題中，判斷條件p是條件q的什么條件.(1)p:x=y(2)p:△ABC是直角三角形，q:△ABC是等腰三角形；(3)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形.17．（2025高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)a,b,c分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c，則△ABC為直角三角形的充要條件是a2+b2=18．（24-25高一上·云南玉溪·期中）已知集合P={x|?2≤x≤10}，非空集合S={x|1?m≤x≤1+m}．(1)若x∈P是x∈S的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充分條件，若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．19．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合A=xa?1≤x≤2a+3，B=x(1)當(dāng)a=1時，求?U(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

第04講充分條件與必要條件【人教A版】1．命題及相關(guān)概念(1)定義：用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題.(2)命題的分類①真命題：判斷為真的語句；②假命題：判斷為假的語句.(3)命題的形式：“若p，則q”.其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.【注】數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題不一定都是定理，因為命題有真假之分，而定理是真命題.【題型1命題的概念】【例1】（24-25高一上·甘肅酒泉·期中）下列語句是命題的是（

）A．3是偶數(shù)嗎? B．三角形的內(nèi)角和等于180°C．這里的景色山真美啊! D．x>2【答案】B【解題思路】根據(jù)命題的定義逐個判斷即可.【解答過程】對于A：命題是陳述句不是疑問句，A錯誤；對于B：這是陳述句，同時對事件作出判斷，是命題，B正確；對于C：這是感嘆句，不是命題，C錯誤；對于D：這是一個數(shù)學(xué)不等式，沒有作出判斷，所以D錯誤，故選：B.【變式1.1】（24-25高二下·四川綿陽·階段練習(xí)）下列語句是命題的是（

）A．二次函數(shù)的圖象太美啦！ B．這是一棵大樹C．求證：1+1=2 D．3比5大【答案】D【解題思路】根據(jù)命題的定義逐一判斷即可.【解答過程】能夠判斷成立或不成立的陳述句叫命題，只有選項D能夠判斷出真假，3比5大顯然不成立，是假命題，故選：D.【變式1.2】（24-25高一上·江蘇·課后作業(yè)）有下列語句，其中是命題的個數(shù)為（

）．（1）這道數(shù)學(xué)題有趣嗎？（2）0不可能不是自然數(shù)；（3）a2+1>0(a∈RA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解題思路】根據(jù)命題的定義即可結(jié)合選項逐一求解.【解答過程】（1）這不是一個陳述句，沒有辦法判斷出真假，故不是命題；（2）這句話表示0是自然數(shù)，顯然這句話是對的，因此是命題，而且是真命題；（3）因為a2+1>0(a∈R（4）不能判斷x>3是否正確，所以x>3不是命題；（5）因為91=13×7，所以可以判斷“91不是素數(shù)這句話”是正確的，所以是命題，而且是真命題；（6）不能判斷上海的空氣質(zhì)量越來越好這句話是否正確，所以不是命題.所以（1）、（4）、（6）不是命題，其余都是命題．其中，（2）是真命題；（3）是真命題；（5）是真命題．故選：A.【變式1.3】（24-25高一上·廣西河池·階段練習(xí)）有下列語句，其中是命題的個數(shù)為（

）（1）數(shù)學(xué)真有趣（2）0是自然數(shù)（3）a（4）x>3（5）素數(shù)都是奇數(shù).A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解題思路】根據(jù)命題的概念逐項判斷即可.【解答過程】（1）這是一個感嘆句，沒有辦法判斷出真假，故不是命題；（2）0是自然數(shù)，顯然這句話是對的，因此是命題，而且是真命題；（3）因為a2+1>0a∈R（4）不能判斷x>3是否正確，所以x>3不是命題；（5）2是素數(shù)也是偶數(shù)，所以是命題，是假命題；所以（1）?（4）不是命題，其余都是命題.其中，（2）是真命題；（3）是真命題；（5）是假命題.故選：B.【題型2命題的真假的判斷】【例2】（24-25高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）對于命題p：全等三角形的周長相等，命題q：周長相等的三角形全等，下列說法中正確的是（

）A．p和q都是真命題 B．p和q都是假命題C．p是真命題，q是假命題 D．p是假命題，q是真命題【答案】C【解題思路】根據(jù)全等三角形的定義即可判斷命題p,q，對A,B,C,D進行判斷即可.【解答過程】解：對命題p，全等三角形的形狀和大小均相同，故周長相等，故命題p為真命題,對命題q，只要三角形三邊和相等，則周長相等，對形狀和大小無要求，故周長相等的三角形不一定全等，故命題q為假命題；對A,命題p為真命題,命題q為假命題，故A錯；對B，命題p為真命題,命題q為假命題，故B錯；對C,命題p為真命題,命題q為假命題，故C對，對D,命題p為真命題,命題q為假命題,故D錯.故選：C.【變式2.1】（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）設(shè)全集U=R，集合A，B是R的兩個子集，對于任意x∈R，定義m=0①對于任意x∈R，都有m+n=1?A=②對于任意x∈R，都有mn=m?A?B則（

）A．①②都是真命題 B．①②都是假命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題【答案】A【解題思路】根據(jù)題意確定m，n的取值，得出x與集合A，B的關(guān)系，判斷命題是否正確.【解答過程】命題①對于任意x∈R，都有m+n=1?A=B若m+n=1，則m=1n=0即x∈A，x?B,或m=0n=1，x?A，x∈B，即若A=?UB，則x∈A時x?B即m=1或x?A時x∈B即m=0n=1即m+n=1，故總有m+n=1故命題①為真命題；命題②對于任意x∈R，都有mn=m?A?B.若x∈A，則m=1，而mn=m，故n=1即x∈B，故A?B；若A?B，則當(dāng)x∈A，x∈B一定成立，即m=n=1，此時mn=m，當(dāng)x?A時，m=0，此時mn=m也成立，故命題②為真命題；故選：A.【變式2.2】（24-25高一上·全國·課堂例題）判斷下列語句是否為命題？若是，請判斷其真假，并說明理由．(1)求證3是無理數(shù)；(2)若x∈R，則x(3)你是高一的學(xué)生嗎？(4)并非所有的人都喜歡吃蘋果；(5)若xy是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)；(6)60x+9>4．【答案】(1)不是命題；(2)是命題，真命題；(3)不是命題；(4)是命題；真命題；(5)是命題，假命題；(6)不是命題.【解題思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命題的定義判斷各個語句，再判斷命題的真假.【解答過程】（1）是祈使句，不是命題．（2）因為x∈R，x（3）是疑問句，不是命題．（4）是命題，而且是真命題，有的人喜歡吃蘋果，有的人不喜歡吃蘋果.（5）是命題，而且是假命題，如7×(?7)=?7是有理數(shù)，但7（6）不是命題，這種含有未知數(shù)的語句，無法確定未知數(shù)的取值能否使不等式成立．【變式2.3】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列語句哪些是命題？如果是命題，那么它們是真命題還是假命題？為什么？(1)個位數(shù)是5的自然數(shù)能被5整除；(2)凡直角三角形都相似；(3)上課請不要講話；(4)若兩個角互為補角，則這兩個角不相等；(5)你是高一學(xué)生嗎？(6)x>3.【答案】(1)真命題，原因見解析(2)假命題，原因見解析(3)不是命題（祈使句）(4)假命題，原因見解析(5)不是命題（一般疑問句）(6)不是命題（無法判斷真假）【解題思路】（1）真命題，設(shè)這個自然數(shù)為10k+5k∈（2）假命題，舉反例；（3）不是命題，不是陳述句；（4）假命題，舉反例；（5）不是命題，是問句；（6）不是命題，不可以判斷真假.【解答過程】（1）是命題，并且是真命題．這是因為個位數(shù)是5的自然數(shù)可寫成10k+5k∈N的形式，而所以10k+5能被5整除，即“個位數(shù)是5的自然數(shù)能被5整除”是一個真命題；（2）是命題，并且是假命題.取三個角分別為90°,45°,45°的直角三角形，它與三個角分別為90°,60°,30°的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一個假命題；（3）不是命題，因為“上課請不要講話”不是判斷語句，所以它不是一個命題；（4）是命題，并且是假命題，取一個角為90°，另一個角也為90°，它們是互補的，所以它是假命題；（5）不是命題.因為“你是高一學(xué)生嗎？”是問句，不是表示判斷的陳述句，所以它不是命題；（6）不是命題.雖然“x>3”是陳述句，但是它包含一個可變的對象x，無法判斷其真假，因此它不是命題.模塊二模塊二充分、必要與充要條件1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設(shè)與命題p對應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.4．充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.5．充分條件、必要條件的應(yīng)用充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上，解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.【題型3充分條件、必要條件及充要條件的判定】【例3】（25-26高一上·江蘇·開學(xué)考試）對于?x∈R，用x表示不大于x的最大整數(shù)，例如：π=3，?2.1=?3，則“x>y”是“x>yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】根據(jù)已知定義依次判斷充分性和必要性即可.【解答過程】由x>y得：x>y≥y，又當(dāng)x>y時，若x=3.2，y=3.1，則x=∴“x>y”是“故選：A.【變式3.1】（24-25高一上·河南·期末）已知a,b∈R，則“a?2b?2=0”是“a?22A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解題思路】結(jié)合特例及平方數(shù)和絕對值的定義，根據(jù)充分條件和必要條件的概念判斷即可.【解答過程】若a=2，b=1，滿足a?2b?2=0，但若a?22+b?2=0，則所以“a?2b?2=0”是“故選：B.【變式3.2】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）指出下列各題中，p是q的什么條件（在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充分必要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答）.(1)在△ABC中，p:∠A>∠B，q:BC>AC；(2)對于實數(shù)x，y，p:x+y≠8，q:x≠2或y≠6；(3)p:(a?2)(a?3)=0，q:a=3.【答案】(1)p是q的充分必要條件.(2)p是q的充分不必要條件.(3)p是q的必要不充分條件.【解題思路】根據(jù)充分、必要條件條件的定義判斷即可.【解答過程】（1）在△ABC中，顯然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要條件.（2）由x+y≠8，則x≠2或y≠6；當(dāng)x=3,y=5時，滿足x≠2或y≠6，但x+y=8，所以p是q的充分不必要條件.（3）由(a?2)(a?3)=0得a=2或a=3；所以p是q的必要不充分條件.【變式3.3】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）下列命題中，判斷條件p是條件q的什么條件.(1)p:|x|=|y|，q:x=y；(2)p:△ABC是直角三角形，q:△ABC是等腰三角形；(3)p:四邊形的對角線互相平分，q:四邊形是矩形；(4)p:x=1，q:x?1=x?1(5)p:m>0，q:關(guān)于x的方程x2【答案】(1)必要不充分；(2)既不充分也不必要；(3)必要不充分；(4)充分不必要；(5)充分不必要【解題思路】根據(jù)充分不必要條件、必要不充分條件及充要條件的定義逐一判斷即可.【解答過程】（1）解：由|x|=|y|可得x=y或x=?y，即由p推不出q，但由q可以推出p，所以條件p是條件q的必要不充分條件；（2）解：由△ABC是直角三角形推不出△ABC是等腰三角形，由△ABC是等腰三角形推不出△ABC是直角三角形，所以條件p是條件q的既不充分也不必要條件；（3）解：由四邊形的對角線互相平分推不出四邊形是矩形(如菱形的對角線互相平分，但菱形不是矩形)，由四邊形是矩形可以推出四邊形的對角線互相平分，所以條件p是條件q的必要不充分條件；（4）解：由x=1可得x?1=0,x?1=0，即有但由x?1=x?1只能得x≥1即由p可以推出q，但由q不可以推出p，所以條件p是條件q的充分不必要不條件；（5）解：由m>0，可得1+4m>0，從而得方程x2但由方程x2+x?m=0有實根，可得即m≥?1即由p可以推出q，但由q不可以推出p，所以條件p是條件q的充分不必要不條件.【題型4充分條件、必要條件及充要條件的探索】【例4】（24-25高一上·山東德州·階段練習(xí)）下列不等式中，可以作為x<3的一個充分不必要條件的是（）A．2<x<4 B．3<x<4 C．x<2 D．x<4【答案】C【解題思路】找{x|x<3}的真子集即可.【解答過程】因為可以作為x<3的一個充分不必要條件對應(yīng)的集合為{x|x<3}的真子集．集合{x|2<x<4},{x|3<x<4},{x|x<4}都不是{x|x<3}的真子集，只有集合{x|x<2}是{x|x<3}的真子集，故選：C．【變式4.1】（24-25高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0有實數(shù)解的一個必要不充分條件的是（A．m<12 B．m≤14 C．【答案】A【解題思路】根據(jù)一元二次方程有解可得m≤1【解答過程】關(guān)于x的一元二次方程x2則Δ=1?4m≥0，解得m≤結(jié)合選項可知m≤14的一個必要不充分條件的是故選：A.【變式4.2】（24-25高一上·廣東河源·階段練習(xí)）命題“?x∈x1≤x≤2，x2A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)≥4 D．a(chǎn)=6【答案】A【解題思路】根據(jù)必要不充分條件的定義即可判斷.【解答過程】由命題“?x∈x1≤x≤2，可得a≥x2，即可得a≥4，則a≥4可推得a≥3，必要性成立而a≥3推不出a≥4，充分性不成立，?x∈x1≤x≤2，x2故選：A.【變式4.3】（24-25高一上·廣東深圳·期中）設(shè)x∈R，不等式|x?3|<2的一個充分不必要條件是（

A．1<x<5 B．x>0 C．x<4 D．2≤x≤3【答案】D【解題思路】由|x?3|<2可得1<x<5，再由充分不必要條件的定義、結(jié)合選項即可得答案.【解答過程】解：因為|x?3|<2，所以?2<x?3<2，解得1<x<5，由充分不必要條件的定義可知，只有D選項符合.故選：D.【題型5由充分條件、必要條件求參數(shù)】【例5】（24-25高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知集合A=x?2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m?1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則mA．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．? D．m|2<m≤3【答案】A【解題思路】分集合B是否為空集討論即可，當(dāng)B≠?時，由集合間的包含關(guān)系求出；【解答過程】由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則B是A的真子集，當(dāng)B=?時，m+1>2m?1，解得m<2；當(dāng)B≠?時，m+1≥?22m?1≤5m+1≤2m?1，前兩個等號不能同時取得，解得綜上m的取值范圍是m|m≤3，故選：A.【變式5.1】（24-25高一上·江蘇泰州·期中）已知p：?2≤x≤5，q:2?2m≤x≤2+mm>0，若p的充分不必要條件是q，則實數(shù)m的取值范圍為（

A．m≤3 B．0<m≤3C．m≥2 D．0<m≤2【答案】D【解題思路】根據(jù)題意，將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為真子集關(guān)系，列出不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】設(shè)集合A=x?2≤x≤5，集合因為p的充分不必要條件是q，所以B是A的真子集，則m>02?2m≥?22+m≤5，解得故選：D.【變式5.2】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知命題p:2?a<x<a+2(a>0)，命題q:1<x<4，(1)若p是q的充分非必要條件，求實數(shù)a的取值范圍;(2)若p是q的必要非充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1){a∣0<a≤1}(2){a∣a≥2}【解題思路】（1）設(shè)A={x∣2?a<x<2+a},B={x∣1<x<4}，由題設(shè)推得A是B的真子集，即得不等式組，解之即得；（2）由題設(shè)推得B是A的真子集，即得不等式組，解之即得.【解答過程】（1）設(shè)A={x∣2?a<x<2+a},B={x∣1<x<4}由題意可知A是B的真子集，∵a>0,∴2+a>2?a，即A≠?，則2?a≥1a+2<4或2?a>1a+2≤4，解得a≤1，又故實數(shù)a的取值范圍是{a∣0<a≤1}；（2）由題意可知B是A的真子集，則a+2≥42?a<1或a+2>42?a≤1，解得故實數(shù)a的取值范圍是{a∣a≥2}.【變式5.3】（24-25高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知集合A=x|?3≤x≤4(1)是否存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的充要條件，若存在，求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由(2)是否存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，若存在求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由，(3)是否存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的必要不充分條件，若存在求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由，【答案】(1)不存在，理由見解析(2)存在；m≥4(3)存在；1<m≤2【解題思路】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為A=B，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到B≠?，轉(zhuǎn)化為A?（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為B?【解答過程】（1）若存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的充要條件，則A=B．故1?m=?33m?2=4故不存在實數(shù)m，使得x∈A是x∈B成立的充要條件．（2）因為m>1，故3m?2>1>1?m，故B≠?．x∈A是x∈B成立的充分不必要條件得A?≠B，故?3≥1?m故m≥4，即m的取值范圍為m≥4．（3）因為m>1，故3m?2>1>1?m，故B≠?．x∈A是x∈B成立的必要不充分條件得B?≠A，故?3≤1?m故m≤2，又m>1，故m的取值范圍為1<m≤2．【題型6\t"/gzsx/zj145202/_blank"\o"根據(jù)充要條件求參數(shù)"由充要條件求參數(shù)】【例6】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若命題p：“2x>6?a”是命題q：“x∈R”的充要條件，則（

）A．a(chǎn)<6 B．a(chǎn)>6 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)>0【答案】B【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為2x>6?a【解答過程】2x>6?a恒成立，2x≥0，所以6?a<0，解得故選：B.【變式6.1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）集合A=?1,1,3,5，集合B=a,1,3,5，若“x∈A”是“x∈B”的充要條件，則a=（A．0 B．?1 C．3 D．5【答案】B【解題思路】由題意可得A=B，進而可求a的值.【解答過程】因為“x∈A”是“x∈B”的充要條件，所以A=B，又A=?1,1,3,5，B=a,1,3,5，所以故選：B.【變式6.2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知p:?4≤x?1≤6，q:?a+2≤x≤2+a，若p是q的充要條件，則實數(shù)a=．【答案】5【解題思路】根據(jù)充要條件列出等式求解即可.【解答過程】因為p:?3≤x≤7，又q:?a+2≤x≤2+a，p是q的充要條件，所以?a+2=?3,2+a=7，解得實數(shù)a=5．故答案為：5.【變式6.3】（24-25高一上·陜西西安·開學(xué)考試）命題p：一次函數(shù)y=k?1x+2k+1的圖像經(jīng)過一、二、四象限的充要條件是【答案】?【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【解答過程】因為一次函數(shù)y=k?1則滿足k?1<02k+1>0，解得?即一次函數(shù)y=k?1x+2k+1的圖像經(jīng)過一、二、四象限的充要條件是故答案為：?1【題型7充要條件的證明】【例7】（2025·河南·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)y=a2x2+a2x+1，a∈R且a≠0【答案】證明見解析【解題思路】先求出函數(shù)的最小值，再分別證明充分性和必要性即可.【解答過程】證明：因為a≠0，所以函數(shù)y=a2x所以ymin先證充分性：因為0<a≤2，且ymin再證必要性：因為對于?x∈R，a2x2+a2x+1≥0綜上可知，對于?x∈R，a2x2【變式7.1】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）設(shè)集合A，B，求證：A?B是A∪B=B的充要條件．【答案】證明見解析【解題思路】利用充分性和必要性的定義即可證明.【解答過程】證明：充分性因為x∈A，A?B，所以x∈B，所以當(dāng)A?B成立時，有A∪B=B成立，故充分性成立．必要性因為x∈(A∪B=B)，所以B?A．所以當(dāng)A∪B=B成立時，也有A?B成立，故必要性成立所以A?B是A∪B=B的充要條件．【變式7.2】（24-25高一上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知ab≠0，求證：a3?2a2【答案】證明見解析.【解題思路】根據(jù)充要條件的定義分別證明充分性和必要性即可.【解答過程】充分性：若a?b=0，則a3即充分性成立；必要性：若a3?2a則(a?b)(a2?ab+由ab≠0，得a≠0且b≠0，即(a?b2)因此a2?ab+b所以a3?2a【變式7.3】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）設(shè)a,b,c為△ABC的三邊，求證：方程x2+2ax+b2=0【答案】證明見解析【解題思路】設(shè)出方程的根，聯(lián)立方程得x0=b【解答過程】證明：必要性：設(shè)方程x2+2ax+b2=0則x02+2a兩式相減，得c?ax由b2>0，可得故x0將此式代入x02可得b2+c充分性：∵∠A=90°，∴b2將①代入方程x2可得x2+2ax+a方程兩根為x=c?a或x=?a?c，將①代入方程x2可得x2即(x+c?a)(x+c+a)=0，方程兩根為x=a?c或x=?a?c，故兩方程有公共根x=?(a+c).∴方程x2+2ax+b2=0【題型8充分、必要條件與集合交匯】【例8】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合A=x∣?2≤x?1≤5，集合B=x∣m+1≤x≤2m?1(1)若m=3，求?R(2)設(shè)命題p:x∈A；命題q:x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)?(2)?【解題思路】（1）求出集合A,B，再求?R（2）由命題p是命題q的必要不充分條件得集合B是集合A的真子集，再分B=?、B≠?討論可得答案.【解答過程】（1）A=x∣?2≤x?1≤5若m=3，則集合B=x∣4≤x≤5所以A∪B=?1,6則?RA∪B=（2）∵命題p是命題q的必要不充分條件，∴集合B是集合A的真子集，當(dāng)B=?時，m+1>2m?1，解得m<2，當(dāng)B≠?時，m+1≤2m?1m+1>?12m?1≤6，或解得2≤m≤7綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為?∞【變式8.1】（24-25高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合A=x(1)若a=0，求A∩B；(2)若A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若x∈B是x∈A的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1){x|?1≤x≤3}(2)[?1(3){a|a≤?1}．【解題思路】1利用交集運算即可；2利用子集關(guān)系，再分兩類空集和非空集討論即可；3把充分不必要關(guān)系轉(zhuǎn)化為真子集關(guān)系，再求參數(shù)范圍.【解答過程】（1）當(dāng)a=0時，A=x所以A∩B={x|?1≤x≤3}；（2）因為A=x所以由A∪B=B，得A?B，①當(dāng)A=?時，a?1>3?2a，解得a>4②當(dāng)A≠?時，則a?1≤3?2aa?1≥?23?2a≤4，解得綜上，a≥?12，故實數(shù)a的取值范圍為（3）由x∈B是x∈A的充分不必要條件，可得B?又A=x則a?1≤3?2a①a?1≤?2②3?2a≥4③故實數(shù)a的取值范圍是?∞【變式8.2】（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知集合A=xx2(1)若A∩B=?，求實數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，是否存在實數(shù)m，使得命題q是命題p的必要不充分條件？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)?∞,2(2)不存在，理由見解析【解題思路】（1）分B=?、B≠?討論，根據(jù)交集的運算和空集的定義結(jié)合不等式即可求解；（2）命題q是命題p的必要不充分條件可得集合A是集合B的真子集，再列出相應(yīng)不等式組，即可求解.【解答過程】（1）由題意可得A=x?1≤x≤6，由當(dāng)B=?時，則m+1>2m?1，解得m<2；當(dāng)B≠?時，則m+1≤2m?1m+1>6或m+1≤2m?12m?1<?1，解得綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為?∞,2（2）不存在，理由如下：假設(shè)存在m使得命題q是命題p的必要不充分條件，則命題q是命題p的必要不充分條件，可得集合A是集合B的真子集，則m+1≤2m?12m?1≥6所以假設(shè)不成立，即不存在m.故不存在m使得命題q是命題p的必要不充分條件.【變式8.3】（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合A=x|m?1≤x≤2m，B=(1)當(dāng)m=3時，求A∩B，A∪?(2)從①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；②A∩?RB=?問題：若_______，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤3}，A∪?R(2)答案見解析【解題思路】（1）由集合的交并補混合運算求解即可；（2）選①，由題意得到A是B的真子集，再分集合A是否為空集討論即可；選②，因為A∩?RB=?，所以A?B，再分集合A是否為空集討論即可；選③，A∪B=B，所以A?B【解答過程】（1）當(dāng)m=3時，A=x|2≤x≤6，又B=∴A∩B={x|2≤x≤3}，又?RB=x|x<0∴A∪?RB=（2）選①，因為“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A是B的真子集，若A=?，則m?1>2m，解得m<?1；若A≠?，則m?1≤2mm?1≥02m≤3且等號不能同時成立，解得綜上，m<?1或1≤m≤32，即m選②，因為A∩?RB=?選③，A∪B=B，所以A?B，下同選①.一、單選題1．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）下列語句中，命題的個數(shù)是（

）①空集是任何集合的真子集；②請起立；③?1的絕對值為1；④你是高一的學(xué)生嗎?A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解題思路】根據(jù)命題的概念逐一判斷.【解答過程】①③是命題；②是祈使句，不是命題；④是疑問句，不是命題.故選：C.2．（24-25高一上·四川綿陽·階段練習(xí)）“x2?9=0”是“x=3”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】根據(jù)充分必要條件關(guān)系判斷.【解答過程】因為x2所以x2?9=0不能推出x=3，而由x=3可以推出所以x2?9=0是故選：B.3．（24-25高一上·廣東江門·期中）若p:1?x>0是q:2x≤a的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)≤2【答案】C【解題思路】根據(jù)兩個命題的關(guān)系，得到兩集合的包含關(guān)系，列不等式求解即可.【解答過程】依題意知：p:x<1，q:x≤a因為p是q的必要不充分條件，所以xx≤a2?xx<1，所以故選：C.4．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不掃，何以掃天下”，這句諺語說明古人認(rèn)為“能掃一屋”的一個（

）條件是“能掃天下”A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【解題思路】利用充分，必要條件的定義判斷即可.【解答過程】由題意知“能掃天下”是“能掃一屋”的充分條件，即“能掃一屋”是“能掃天下”的必要條件.故選：B.5．（25-26高一上·全國·期中）設(shè)a，b∈R，則“a?ba2<0”是“a<bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答過程】a，b∈R，由(a?b)a2<0，得a2>0由a<b，得a?b<0，又a2≥0，則所以“(a?b)a2<0故選：A.6．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式3a?5b=3a+5A．a(chǎn)b<0 B．a(chǎn)b≤0C．a(chǎn)b>0 D．a(chǎn)b≥0【答案】B【解題思路】對已知等式兩邊平方，根據(jù)絕對值的定義可得等式成立的充要條件.【解答過程】因為3a?5b=3兩邊平方得：9a所以?ab=ab，即ab≤0所以等式3a?5b=3a+5故選：B.7．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要條件B．“方程ax2+bx+c=0C．“a∈P∪Q”是“a∈P∩Q”的必要不充分條件D．“x>y”是“x2【答案】D【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的判斷方法逐一判定即可.【解答過程】對于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分條件，即選項A錯誤；對于B，當(dāng)a=0,b=0,c≠0時，滿足“b2?4ac≥0”，但方程對于C，若P=Q，則(P∩Q)=(P∪Q)，所以選項C錯誤；對于D，若x=1,y=?1，有x>y，但不滿足x2>y2；若x=?2,y=1，則故選：D.8．（24-25高一上·河南南陽·期末）“?x∈?1,2，x2?m≥0A．m≥0 B．m≤1 C．m≤4 D．m≤5【答案】D【解題思路】根據(jù)題中命題成立，先求出m≤4；再逐項判斷即可.【解答過程】由題意可得，x2?m≥0在即m≤x2在因為x∈?1,2時，0≤所以為使m≤x2在x∈?1,2因此，A選項，m≥0是“?x∈?1,2，xB選項，m≤1是“?x∈?1,2，xC選項，m≤4是“?x∈?1,2，xD選項，m≤5是“?x∈?1,2，x故選：D.二、多選題9．（24-25高一上·廣東中山·階段練習(xí)）?112<5x?3<12A．?12<x<4 B．?12<x<2【答案】AD【解題思路】解不等式，得到解集，結(jié)合集合的包含關(guān)系得到AD滿足要求，BC不滿足要求.【解答過程】?112<5x?3<12由于x?12故?12<x<4同理，x?12故?1<x<6是?11B,C選項均不滿足要求.故選：AD.10．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“x<m或x>m+2”是“?1<x<4”的必要不充分條件，則實數(shù)m的值可以是（

）A．?5 B．?3 C．3 D．5【答案】ABD【解題思路】根據(jù)必要不充分條件的定義可得推出關(guān)系，由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【解答過程】由必要不充分條件定義可知：x<m或x>m+2??1<x<4，?1<x<4?x<m或x>m+2，∴m≥4或m+2≤?1，∴m≥4或m≤?3，∴實數(shù)m的值可以是?5，?3和5.故選：ABD.11．（24-25高一上·山東德州·階段練習(xí)）下面命題正確的是（

）A．“a>1”的必要不充分條件是“1aB．命題“若x<1，則x2C．設(shè)x,y∈R，則“x≥2且y≥2”是“xD．設(shè)a,b∈R，則“a≠0”是“ab≠0【答案】AD【解題思路】根據(jù)充分、必要條件和命題的真假依次判斷即可.【解答過程】對A：因為a>1?0<1a<1，但1a<1?a<0或a>1對B：當(dāng)x=?2時，滿足x<1，但此時x2<1不成立，所以命題“若x<1，則對C：當(dāng)“x≥2且y≥2”時，“x2+y2≥4”成立；但當(dāng)“x2+y2≥4”時，比如“x=1，y=2”，此時“對D：當(dāng)“a≠0但b=0”時，可得“ab=0”；當(dāng)“ab≠0”時，可得“a≠0且b≠0”.所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件.故D正確.故選：AD.三、填空題12．（25-26高一上·全國·單元測試）已知p:a<x<4a，其中a>0,q:2<x<4．若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】a【解題思路】記集合A={xa<x<4a,a>0},B={x∣2<x<4}，由題意得B?A，進而得【解答過程】記集合A={xa<x<因為p是q的必要條件，所以B?A，即0<a≤24a≥4，所以1≤a≤2故答案為：a1≤a≤213．（24-25高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知p:?2≤x≤2,q:1?m≤x≤m?1，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為.【答案】m>3【解題思路】依據(jù)充分不必要條件求得需滿足?2≥1?m2≤m?1且等號不同時成立，可得m>3【解答過程】根據(jù)題意可知，若p是q的充分不必要條件需滿足?2≥1?m2≤m?1，解得m≥3但且兩端等號不同時成立，所以m≠3，即m>3；因此實數(shù)m的取值范圍為m>3.故答案為：m>3.14．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）在下列所示電路圖中，下列說法正確的