2025～2026學(xué)年高二上學(xué)期10月考試

數(shù)學(xué)試題

試卷滿分150分考試時間120分鐘

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上。

2.作答時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡

上的非答題區(qū)域均無效。

3.考試結(jié)束后，本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1．若雙曲線C的實軸長是虛軸長的一半，則C的離心率為（）

A．25B．4C．5D．2

2．若隨機變量X服從正態(tài)分布N1,2，且PX0.50.86，則P1X1.5（）

A．0.24B．0.36C．0.5D．0.86

1

3．若數(shù)列a滿足a3a1，則稱a為“對奇數(shù)列”．已知b為“對奇數(shù)列”，且b2，

nn1nnn21

則b2025（）

A．322024B．22025C．232024D．232023

4．已知函數(shù)fxaexlnx在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．

A．e2B．eC．e1D．e2

n

31

5．已知在x的二項展開式中，第6項為常數(shù)項，若在展開式中任取3項，其中有理項

23x

的個數(shù)為，則E=（）

81298

A．B．C．D．

11111155

x

6．若曲線fx有三條過點0,a的切線，則實數(shù)a的取值范圍為（）

ex

1414

A．0,B．0,C．0,D．0,

e2e2ee

7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一直到出現(xiàn)正面向上時或拋滿100次時結(jié)束，設(shè)拋擲的次數(shù)為X，

則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX（）

A．大于2B．小于2C．等于2D．與2的大小無法確定

x2ex,x1

22

8．已知函數(shù)fxex，方程[f(x)]af(x)0（a0）有兩個不等實根，則下列選項

,x1

x2

正確的是（）

A．2是f(x)的極大值點B．函數(shù)h(x)f(x)x無零點

2e

C．a(chǎn)的取值范圍是,[e,)D．x1(0,1)，x2(1,3)，使f(x1)f(x2)

e2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

11

9．已知隨機事件A，B滿足P(A)，P(B)，P(B|A)P(B)，則（）

24

3

A．事件A與事件B相互獨立B．P(AB)

4

25

C．P(A|B)D．P(AB)

38

10．甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他

區(qū)別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件A1和A2表示從甲箱中取出的球是紅球和白

球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（）

311

A．P(A)B．P(B)

1550

92

C．PBA1D．P(A2B)

5011

11．設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax21，則（）

A．當(dāng)a1時，f(x)有三個零點

B．當(dāng)a<0時，x0是f(x)的極大值點

C．存在a，b，使得xb為曲線yf(x)的對稱軸

D．存在a，使得點1,f1為曲線yf(x)的對稱中心

第2頁，共4頁

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

5

12．x2y1展開式中含x2y項的系數(shù)為．

13．在一個不透明的袋子中裝有4個形狀大小相同，顏色互不相同的小球．某人先后兩次任意摸

取小球（每次至少摸取1個小球），假設(shè)每次摸到球的各種不同情況等可能，第一次摸取后記下摸

到的小球顏色，再將摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也記下摸到的小球顏色．則“兩次記下

的小球顏色能湊齊4種顏色，且恰有一種顏色兩次都被記下”的概率為．

2lnt

14．已知函數(shù)fxxlnx，gxxlnx，若fx12lnt，gx2t，則的最大值為．

x1x2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15．(13分)一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺．如果從中隨機挑選2臺．

(1)求這2臺電腦中至多有1臺B品牌電腦的概率；

(2)求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)X的分布列及均值和方差．

16．(15分)已知首項為1的等差數(shù)列an滿足：a1,a2,a31成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列an的通項公式；

n

(2)若數(shù)列bn滿足：a1bna2bn1anb131，求數(shù)列bn的前n項和Tn.

17．(15分)如圖，在四棱錐PABCD中，BC//AD，ABBC1，AD3,點E在AD上，且

PEAD，PEDE2．

(1)若F為線段PE中點，求證：BF//平面PCD．

(2)若AB平面PAD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．

x2y2

18．(17分)已知橢圓C:1的右焦點為F，斜率不為0的直線l與C交于A,B兩點.

43

1

(1)若P1,是線段AB的中點，求直線l的方程；

2

(2)若直線l經(jīng)過點Q4,0（點A在點B,Q之間），直線FA與直線FB的斜率分別為kFA,kFB，求證：

kFAkFB為定值.

19．(17分)某新型雙軸承電動機需要裝配兩個軸承才能正常工作，且兩個軸承互不影響．現(xiàn)計劃

購置甲，乙兩個品牌的軸承，兩個品牌軸承的使用壽命及價格情況如下表：

品牌價格（元/件）使用壽命（月）

甲10007或8

乙4003或4

11

已知甲品牌使用7個月或8個月的概率均為，乙品牌使用3個月或4個月的概率均為．

22

（1）若從4件甲品牌和2件乙品牌共6件軸承中，任選2件裝入電動機內(nèi)，求電動機可工作時間

不少于4個月的概率；

（2）現(xiàn)有兩種購置方案，方案一：購置2件甲品牌；方案二：購置1件甲品牌和2件乙品牌（甲、

乙兩品牌軸承搭配使用）．試從性價比（即電動機正常工作時間與購置軸承的成本之比）的角度考

慮，選擇哪一種方案更實惠？

第4頁，共4頁

數(shù)學(xué)參考答案

題號12345678910

答案CBCCCBBDADABD

題號11

答案AD

12．－60

32

13．

225

1

14．

2e

C2217

7

15．【解】（1）根據(jù)題意，這2臺電腦全部是B品牌的概率為P2，

C104515

78

所以這2臺電腦中至多有1臺B品牌電腦的概率為1.

1515

（2）依題意，X的可能取值為0,1,2，

C27C1C17C21

7373

則PX02，PX12，PX22，

C1015C1015C1015

則X的分布列為：

X012

771

P

151515

713

所以EX12，

15155

222

37373128

DX012.

51551551575

16．【解】（1）設(shè)an公差為d，又a1,a2,a31成等比數(shù)列，

22

所以a2a1a31a1da1a12d1，

2

又a11，即1d22d，解得d1或d1，

而d1時，不滿足a1,a2,a31成等比數(shù)列，所以d1，

所以an1n11n.

n

（2）令Dna1bna2bn1anb131，

n1

所以Dn1a1bn1a2bnan1b131，

n

兩式相減有：Dn1Dna1bn1bnbn1b123，

nn

所以數(shù)列bn的前n1項和為23，即Tn123，

n1

又D1a1b12b12，所以b1b2bn23，

n1

所以Tn23.

1

17．【解】（1）取PD的中點為S，接SF,SC，則SF//ED,SFED1，

2

而ED//BC,ED2BC，故SF//BC,SFBC，故四邊形SFBC為平行四邊形，

故BF//SC，而BF平面PCD，SC平面PCD，

所以BF//平面PCD.

（2）

因為ED2，故AE1，故AE//BC,AE=BC，

故四邊形AECB為平行四邊形，故CE//AB，所以CE平面PAD，

而PE,ED平面PAD，故CEPE,CEED，而PEED，

故建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A0,1,0,B1,1,0,C1,0,0,D0,2,0,P0,0,2，

答案第2頁，共5頁

則PA0,1,2,PB1,1,2,PC1,0,2,PD0,2,2,

設(shè)平面PAB的法向量為mx,y,z，

mPA0y2z0

則由可得，取m0,2,1，

mPB0xy2z0

設(shè)平面PCD的法向量為na,b,c，

nPC0a2b0

則由可得，取n2,1,1，

nPD02b2c0

130

故cosm,n，

5630

30

故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為

30

xx2

,,(,)12

18．【解】（1）設(shè)A(x1y1)Bx2y2，則有，

y1y21

x2y2

111

43(xx)(xx)(yy)(yy)

且，作差可得121212120，

x2y243

221

43

y1y23x1x23

所以kAB，

x1x24y1y22

13

由點斜式得，y(x1)，

22

整理得3x2y40即為直線l的方程.

（2）

不妨設(shè)AB的直線方程為xmy4(m0),A(x3,y3),B(x4,y4)，

xmy4

22

聯(lián)立x2y2，消去x整理得(3m4)y24my360，

1

43

24m36

由韋達定理得，yy,yy,

343m24343m24

y3y4y3(x41)y4(x31)y3x4y4x3(y3y4)

所以kFAkFB，

x31x41x31x41x31x41

因為y3x4y4x3(y3y4)y3(my44)y4(my34)(y3y4)2my3y43(y3y4)0，

所以kFAkFB0為定值.

19．【解】（1）電動機工作時間不少于4個月共有三種情況：

C22

4

①裝入兩件甲品牌，概率為2；

C65

C1C114

42

②裝入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用壽命為4個月，概率為2；

C6215

C2111

2

③裝入兩件乙品牌，且兩件的使用壽命均為4個月，概率為2.

C62260

24141

電動機可工作時間不少于4個月的概率為P；

5156060

（2）若采用方案一，設(shè)電動機可工作時間為X（單位：月），則X的可能取值為7、8

1113

PX8，PX71PX8，

2244

所以，X的分布列為

X78

31

P

44

3