2025年高等數(shù)學數(shù)學之生態(tài)平衡試題一、選擇題（每題5分，共30分）種群增長模型中，邏輯斯諦方程(\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K}))的穩(wěn)定平衡點是（）A.(N=0)B.(N=K)C.(N=\frac{K}{2})D.不存在穩(wěn)定平衡點解析：邏輯斯諦方程的平衡點由(\frac{dN}{dt}=0)解得(N=0)和(N=K)。對(N=K)求導得(\frac{d^2N}{dt^2}=r(1-\frac{2N}{K})\frac{dN}{dt})，當(N=K)時(\frac{d^2N}{dt^2}=0)，且在(N<K)時(\frac{dN}{dt}>0)，(N>K)時(\frac{dN}{dt}<0)，故(N=K)為穩(wěn)定平衡點。在捕食者-被捕食者模型(\begin{cases}\frac{dx}{dt}=ax-bxy\\frac{dy}{dt}=-cy+dxy\end{cases})中，若捕食者死亡率(c)增大，系統(tǒng)周期會（）A.增大B.減小C.不變D.無法確定解析：通過相平面分析，系統(tǒng)存在周期解（極限環(huán)）。當(c)增大時，捕食者增長難度增加，種群波動頻率加快，周期減小。某生態(tài)系統(tǒng)的能量流動滿足微分方程(\frac{dE}{dt}=-kE)（(k>0)），若初始能量(E(0)=E_0)，則經(jīng)過時間(t=\frac{\ln2}{k})后能量剩余比例為（）A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{2})C.(\frac{3}{4})D.(e^{-1})解析：方程通解為(E(t)=E_0e^{-kt})，代入(t=\frac{\ln2}{k})得(E(t)=E_0e^{-\ln2}=\frac{E_0}{2})。生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)學定義中，若系統(tǒng)受到擾動后偏差(\delta(t))滿足(\lim_{t\to\infty}\delta(t)=0)，則系統(tǒng)是（）A.李雅普諾夫穩(wěn)定B.漸近穩(wěn)定C.結構穩(wěn)定D.全局穩(wěn)定解析：漸近穩(wěn)定要求擾動后狀態(tài)收斂于平衡點，即(\lim_{t\to\infty}\delta(t)=0)；李雅普諾夫穩(wěn)定僅要求偏差有界。森林火災蔓延面積(S(t))滿足(\frac{dS}{dt}=\alphaS(1-\frac{S}{M})+v)（(\alpha,v>0)），其中(v)為風力助燃項。若(v>\frac{\alphaM}{4})，則火災會（）A.自然熄滅B.穩(wěn)定在某一面積C.蔓延至整個森林D.周期性波動解析：方程可化為(\frac{dS}{dt}=-\frac{\alpha}{M}(S^2-MS-\frac{vM}{\alpha}))，判別式(\Delta=M^2+\frac{4vM}{\alpha})。當(v>\frac{\alphaM}{4})時，方程始終(\frac{dS}{dt}>0)，故(S(t))單調(diào)遞增至(M)。用矩陣表示生態(tài)系統(tǒng)中3個物種的競爭關系，若競爭矩陣(A)的特征值為(\lambda_1=-2)，(\lambda_2=-1)，(\lambda_3=0.5)，則系統(tǒng)（）A.漸近穩(wěn)定B.不穩(wěn)定C.臨界穩(wěn)定D.無法判斷解析：特征值中存在正實部（(\lambda_3=0.5>0)），根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)不穩(wěn)定。二、填空題（每題5分，共30分）某草原羊種群數(shù)量(N(t))滿足(\frac{dN}{dt}=0.2N-0.001N^2)，則環(huán)境容納量(K=)______。答案：200解析：對比邏輯斯諦方程(\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})=rN-\frac{r}{K}N^2)，得(\frac{r}{K}=0.001)，(r=0.2)，故(K=200)。兩種群競爭模型的零增長線為(N_2=10-2N_1)和(N_2=8-N_1)，則共存平衡點坐標為((N_1,N_2)=)______。答案：(2,6)解析：聯(lián)立方程(10-2N_1=8-N_1)，解得(N_1=2)，代入得(N_2=6)。生態(tài)系統(tǒng)的熵變率(\frac{dS}{dt})滿足熱力學第二定律，其符號為______（填“正”或“負”）。答案：正解析：孤立系統(tǒng)熵增原理，生態(tài)系統(tǒng)作為開放系統(tǒng)，總熵變（系統(tǒng)熵變+環(huán)境熵變）為正。某湖泊污染擴散滿足擴散方程(\frac{\partialC}{\partialt}=D\frac{\partial^2C}{\partialx^2})（(D>0)），若初始污染濃度(C(x,0)=\delta(x))（狄拉克函數(shù)），則擴散后濃度分布(C(x,t))的表達式為______。答案：(\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}})解析：擴散方程初值問題的格林函數(shù)解，即高斯分布。在Lotka-Volterra模型中，若捕食者轉(zhuǎn)化率(d=0)，則捕食者種群最終會______。答案：滅絕解析：此時捕食者方程為(\frac{dy}{dt}=-cy)，解得(y(t)=y_0e^{-ct}\to0)。某生態(tài)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)取為(V(x,y)=x^2+y^2)，若(\frac{dV}{dt}=-2(x^2+y^2))，則系統(tǒng)平衡點((0,0))的穩(wěn)定性為______。答案：全局漸近穩(wěn)定解析：(V(x,y))正定，(\frac{dV}{dt})負定，且當(x^2+y^2\to\infty)時(V(x,y)\to\infty)，滿足全局漸近穩(wěn)定條件。三、計算題（每題15分，共60分）1.單種群增長模型應用題目：某魚類種群受過度捕撈影響，數(shù)量(N(t))滿足方程(\frac{dN}{dt}=0.05N(1-\frac{N}{1000})-h)，其中(h)為捕撈量。（1）求可持續(xù)捕撈的最大(h)值；（2）若(h=10)，判斷種群是否會滅絕。解答：（1）可持續(xù)捕撈要求方程存在正平衡點，即(0.05N(1-\frac{N}{1000})-h=0)有正根。整理得(N^2-1000N+20000h=0)，判別式(\Delta=1000^2-80000h\geq0)，解得(h\leq12.5)，故最大(h=12.5)。（2）當(h=10)時，方程為(N^2-1000N+200000=0)，解得(N=500\pm100\sqrt{5})，正根為(N=500+100\sqrt{5}\approx723.6>0)，且(\frac{dN}{dt})在(N<723.6)時大于0，故種群不會滅絕。2.捕食者-被捕食者模型分析題目：野兔（(x)）和狐貍（(y)）的相互作用滿足(\begin{cases}\frac{dx}{dt}=2x-xy\\frac{dy}{dt}=-y+0.5xy\end{cases})。（1）求系統(tǒng)平衡點；（2）判斷平衡點((2,2))的穩(wěn)定性。解答：（1）令(\frac{dx}{dt}=0)，(\frac{dy}{dt}=0)，得：(x(2-y)=0)，(y(-1+0.5x)=0)平衡點為((0,0))和((2,2))。（2）對((2,2))線性化，雅可比矩陣為：[J=\begin{pmatrix}2-y&-x\0.5y&-1+0.5x\end{pmatrix}\bigg|_{(2,2)}=\begin{pmatrix}0&-2\1&0\end{pmatrix}]特征方程(\lambda^2+2=0)，特征值(\lambda=\pm\sqrt{2}i)（純虛根），故平衡點為中心，系統(tǒng)在該點附近周期振蕩。3.生態(tài)系統(tǒng)能量流動計算題目：森林生態(tài)系統(tǒng)中，植物固定太陽能速率為(P=1000\\text{J/(m}^2\text{·d)})，能量在各營養(yǎng)級間傳遞效率為10%，且每個營養(yǎng)級的能量消耗滿足(\frac{dE}{dt}=-0.1E)。（1）求第二營養(yǎng)級（初級消費者）的穩(wěn)定能量值；（2）若植物固定能量突然降至(P=500\\text{J/(m}^2\text{·d)})，求第二營養(yǎng)級能量降至新穩(wěn)定值50%所需時間。解答：（1）第一營養(yǎng)級穩(wěn)定能量(E_1=\frac{P}{k}=\frac{1000}{0.1}=10000\\text{J/m}^2)（(k=0.1)為消耗率），第二營養(yǎng)級能量(E_2=0.1E_1=1000\\text{J/m}^2)。（2）新穩(wěn)定值(E_2'=0.1\times\frac{500}{0.1}=500\\text{J/m}^2)，能量變化方程(\frac{dE}{dt}=-0.1E+50)（50為新輸入）。通解(E(t)=500+Ce^{-0.1t})，初始(E(0)=1000)，得(C=500)。令(E(t)=250)，解得(t=10\ln2\approx6.93\\textewqswe4)。4.污染擴散模型題目：某河流沿(x)軸流動，污染物擴散系數(shù)(D=1\\text{m}^2/\text{s})，初始時刻在(x=0)處泄漏(Q=1000\\text{kg})污染物，水流速度(u=0)（靜止水體）。（1）求(t=100\\text{s})時，(x=10\\text{m})處的污染物濃度；（2）若水流速度(u=0.5\\text{m/s})，寫出此時濃度分布(C(x,t))的表達式。解答：（1）靜止水體中擴散濃度(C(x,t)=\frac{Q}{\sqrt{4\piDt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}})。代入(Q=1000)，(D=1)，(t=100)，(x=10)：[C=\frac{1000}{\sqrt{4\pi\times1\times100}}e^{-\frac{100}{400}}=\frac{1000}{20\sqrt{\pi}}e^{-0.25}\approx\frac{50}{1.772}\times0.7788\approx21.8\\text{kg/m}^3]（2）流動水體中，濃度分布為(C(x,t)=\frac{Q}{\sqrt{4\piDt}}e^{-\frac{(x-ut)^2}{4Dt}})，代入(u=0.5)，得：[C(x,t)=\frac{1000}{\sqrt{4\pit}}e^{-\frac{(x-0.5t)^2}{4t}}]四、證明題（20分）題目：證明在兩種群競爭模型(\begin{cases}\frac{dx}{dt}=r_1x(1-\frac{x}{K_1}-\alpha\frac{y}{K_1})\\frac{dy}{dt}=r_2y(1-\frac{y}{K_2}-\beta\frac{x}{K_2})\end{cases})中，若(\alpha<1)且(\beta<1)，則存在唯一正平衡點。證明：正平衡點需滿足：[\begin{cases}1-\frac{x}{K_1}-\alpha\frac{y}{K_1}=0\\1-\frac{y}{K_2}-\beta\frac{x}{K_2}=0\end{cases}]整理為線性方程組：[\begin{cases}x+\alphay=K_1\\betax+y=K_2\end{cases}]系數(shù)行列式(D=1-\alpha\beta)，若(\alpha<1)且(\beta<1)，則(D=1-\alpha\beta>0)，方程組有唯一解：[x=\frac{K_1-\alphaK_2}{1-\alpha\beta},\quady=\frac{K_2-\betaK_1}{1-\alpha\beta}]因競爭系數(shù)(\alpha,\beta<1)，且(K_1,K_2>0)，可證(x>0)，(y>0)，故存在唯一正平衡點。五、綜合應用題（30分）題目：某濕地生態(tài)系統(tǒng)包含蘆葦（生產(chǎn)者）、昆蟲（初級消費者）和鳥類（次級消費者），構成三級食物鏈。（1）建立該系統(tǒng)的微分方程模型（用(x,y,z)分別表示蘆葦、昆蟲、鳥類數(shù)量，參數(shù)自定并說明意義）；（2）分析模型平衡點的穩(wěn)定性（至少討論一個非零平衡點）；（3）若殺蟲劑導致昆蟲死亡率增加，用相圖分析對鳥類數(shù)量的影響。解答：（1）模型設定：[\begin{cases}\frac{dx}{dt}=r_1x(1-\frac{x}{K})-axy\quad(\text{蘆葦增長+被昆蟲捕食})\\frac{dy}{dt}=-r_2y+bxy-cyz\quad(\text{昆蟲死亡+捕食蘆葦+被鳥類捕食})\\frac{dz}{dt}=-r_3z+dyz\quad(\text{鳥類死亡+捕食昆蟲})\end{cases}]