2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)“強基計劃”筆試終極模擬試題（二）一、選擇題（本大題共15小題，每題5分，共75分。每題給出的四個選項中，只有一項符合題意）已知集合(A={x\midx^2-5x+6=0})，(B={x\mid\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.({2})B.({3})C.({2,3})D.(\varnothing)函數(shù)(f(x)=\dfrac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\dfrac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知復(fù)數(shù)(z=\dfrac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|^2+\text{Re}(z)=)（）A.(\dfrac{7}{2})B.(4)C.(\dfrac{9}{2})D.(5)若(a=\log_32)，(b=\ln2)，(c=2^{0.1})，則（）A.(a<b<c)B.(b<a<c)C.(c<a<b)D.(a<c<b)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,1))，且((\vec{a}+2\vec)\perp\vec{a})，則(m=)（）A.(-2)B.(-\dfrac{5}{2})C.(\dfrac{5}{2})D.(2)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)（注：此處省略三視圖，實際考試中會提供圖形）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024若直線(y=kx+1)與圓((x-1)^2+(y+2)^2=4)相切，則(k=)（）A.(-\dfrac{4}{3})B.(\dfrac{3}{4})C.(-\dfrac{3}{4})D.(\dfrac{4}{3})已知雙曲線(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\dfrac{1}{2}x)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值與最小值之和為（）A.-2B.0C.2D.4某三棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形，則該三棱錐的表面積為（）A.(6+2\sqrt{2}+\sqrt{5})B.(6+\sqrt{2}+\sqrt{5})C.(8+\sqrt{2})D.(8+2\sqrt{2})（注：此處省略三視圖，實際考試中會提供圖形）已知(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{5})，且(\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right))，則(\cos\left(2\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=)（）A.(\dfrac{24}{25})B.(\dfrac{7}{25})C.(-\dfrac{7}{25})D.(-\dfrac{24}{25})若(x)，(y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x-y)的最大值為（）A.-1B.0C.3D.6在((x^2-\dfrac{2}{x})^5)的展開式中，(x^4)的系數(shù)為（）A.-40B.10C.40D.80已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\ln(x+1),&x>0\end{cases})，若(|f(x)|\geqax)恒成立，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,0])B.([-2,0])C.([-2,1])D.((-\infty,1])二、填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則其前(n)項和(S_n=)__________。若拋物線(y^2=2px)（(p>0)）的焦點與雙曲線(\dfrac{x^2}{3}-y^2=1)的右焦點重合，則(p=)__________。甲、乙兩人獨立解同一道數(shù)學(xué)題，甲解決該題的概率為(\dfrac{2}{3})，乙解決該題的概率為(\dfrac{3}{4})，則甲、乙兩人中至少有一人解決該題的概率為__________。已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極大值，在(x=3)處取得極小值，則(a+b=)__________。已知正實數(shù)(x)，(y)滿足(x+2y=1)，則(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})的最小值為__________。三、解答題（本大題共5小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=2^{a_n}+a_n)，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)。（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(AB=2)，(AD=4)，(PA=4)，點(E)為(PD)的中點。（1）求證：(PB\parallel)平面(AEC)；（2）求直線(AE)與平面(PCD)所成角的正弦值。（注：此處省略圖形，實際考試中會提供圖形）（本小題滿分10分）已知橢圓(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\dfrac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A)，(B)兩點，(O)為坐標(biāo)原點，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\dfrac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為40元，銷售單價為60元，該廠為了擴大銷售，決定在一定范圍內(nèi)降低售價，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件降價1元，那么平均可多售出2件。（1）設(shè)每件產(chǎn)品降價(x)元（(x)為整數(shù)），平均每天的銷售利潤為(y)元，求(y)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量(x)的取值范圍；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品降價多少元時，平均每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（本小題滿分10分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x)（(a\in\mathbf{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(a>0)，且(f(x)\geq-2a-1)在(x\in[1,+\infty))上恒成立，求(a)的取值范圍。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）一、選擇題A2.B3.C4.A5.BC7.C8.A9.A10.BA12.C13.C14.D15.B二、填空題(2^{n+1}-n-2)17.418.(\dfrac{11}{12})19.-1220.(3+2\sqrt{2})三、解答題（1）(a_n=2n-1)；（2）(T_n=\dfrac{2}{3}(4^n-1)+n^2)（2）(\dfrac{\sqrt{10}}{5})（1）(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1)；（2）面積為(2\sqrt{2})（1）(y=-2x^2+20x+400)（(0\leqx\leq20)，(x\in\mathbf{Z})）；（2）降價5元，最大利潤450元（1）當(dāng)(a\leq0)時，(f(x))在((0,1))上單調(diào)遞增，在((1,+\infty))上單調(diào)遞減；當(dāng)(a>0)時，分(0<a<\dfrac{1}{2})、(a=\dfrac{1}{2})、(a>\dfrac{1}{2})討論；（2）(0<a\leq1)命題說明：試卷嚴格依據(jù)2025年強基計劃數(shù)學(xué)考試大綱，覆蓋函數(shù)、幾何、代數(shù)、概率等核心模塊，其中15%題目達到競賽初賽難度