2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)文化與情境問(wèn)題”綜合試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.數(shù)學(xué)史與古典算法《九章算術(shù)》中記載“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”若設(shè)人數(shù)為(x)，物價(jià)為(y)，則下列方程組正確的是（）A.(\begin{cases}8x-y=3\y-7x=4\end{cases})B.(\begin{cases}8x+3=y\7x-4=y\end{cases})C.(\begin{cases}y-8x=3\7x-y=4\end{cases})D.(\begin{cases}8x-3=y\7x+4=y\end{cases})2.科技發(fā)展與函數(shù)模型2025年某新型芯片的運(yùn)算速度(v)（單位：億次/秒）與芯片面積(S)（單位：(mm^2)）滿足關(guān)系(v=kS^2e^{-0.1S})（(k>0)）。當(dāng)芯片面積為(10mm^2)時(shí)運(yùn)算速度達(dá)到最大值，則(k)的值為（）A.(\frac{e}{200})B.(\frac{e}{100})C.(\frac{1}{10e})D.(\frac{2}{5e})3.社會(huì)生活與概率統(tǒng)計(jì)某社區(qū)為優(yōu)化垃圾分類管理，對(duì)居民投放習(xí)慣進(jìn)行調(diào)研。數(shù)據(jù)顯示：使用“定時(shí)定點(diǎn)投放”的家庭中，(80%)能做到準(zhǔn)確分類；使用“誤時(shí)投放點(diǎn)”的家庭中，(40%)能做到準(zhǔn)確分類。若該社區(qū)有(60%)的家庭使用定時(shí)定點(diǎn)投放，其余使用誤時(shí)投放點(diǎn)，則隨機(jī)抽取一戶家庭，其準(zhǔn)確分類的概率為（）A.0.52B.0.64C.0.72D.0.804.文化遺產(chǎn)與幾何證明山西應(yīng)縣木塔是世界現(xiàn)存最古老的木結(jié)構(gòu)樓閣式塔，其頂層八角形平面的外接圓直徑約為(12m)。若該八角形為正八邊形，則其邊長(zhǎng)為（）A.(6\sqrt{2-\sqrt{2}})B.(6\sqrt{2+\sqrt{2}})C.(3\sqrt{2-\sqrt{2}})D.(3\sqrt{2+\sqrt{2}})5.生態(tài)保護(hù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為治理沙漠化，某地區(qū)種植防護(hù)林，樹木生長(zhǎng)規(guī)律近似滿足(h(t)=\frac{100}{1+e^{5-0.5t}})（(t)為種植后年數(shù)，(h(t))為樹高，單位：(m)）。則樹木生長(zhǎng)最快的年份是（）A.第8年B.第10年C.第12年D.第15年6.經(jīng)濟(jì)決策與線性規(guī)劃某工廠生產(chǎn)A、B兩種智能設(shè)備，每件A設(shè)備需芯片3個(gè)、傳感器2個(gè)，利潤(rùn)400元；每件B設(shè)備需芯片2個(gè)、傳感器4個(gè)，利潤(rùn)500元?，F(xiàn)有芯片庫(kù)存120個(gè)、傳感器160個(gè)，為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)生產(chǎn)A、B設(shè)備的數(shù)量分別為（）A.A=20，B=30B.A=24，B=24C.A=30，B=20D.A=16，B=327.航天工程與立體幾何我國(guó)空間站“天宮”的某實(shí)驗(yàn)艙為正四棱柱結(jié)構(gòu)，棱長(zhǎng)分別為(a)、(a)、(2a)。艙內(nèi)有一實(shí)驗(yàn)儀器需固定在側(cè)棱中點(diǎn)位置，連接儀器與底面四個(gè)頂點(diǎn)的線段中，最長(zhǎng)線段與最短線段的長(zhǎng)度比為（）A.(\sqrt{5}:1)B.(\sqrt{6}:\sqrt{2})C.(\sqrt{10}:\sqrt{5})D.(\sqrt{13}:\sqrt{5})8.密碼學(xué)與數(shù)論初步古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼發(fā)明“素?cái)?shù)篩法”。若使用該方法從1到100篩選素?cái)?shù)，當(dāng)篩選到素?cái)?shù)11時(shí)，剩余未被劃去的最大數(shù)是（）A.97B.93C.89D.85二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分）9.數(shù)學(xué)典籍與數(shù)列應(yīng)用《周髀算經(jīng)》中“勾股定理”的記載早于西方畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。若將“勾三股四弦五”拓展為以下數(shù)列情境：勾數(shù)數(shù)列：3，6，9，12，…股數(shù)數(shù)列：4，8，12，16，…弦數(shù)數(shù)列：5，10，15，20，…則下列說(shuō)法正確的有（）A.三個(gè)數(shù)列均為等差數(shù)列B.勾數(shù)數(shù)列第n項(xiàng)與股數(shù)數(shù)列第n項(xiàng)的比值為3:4C.弦數(shù)數(shù)列前n項(xiàng)和為(\frac{5n(n+1)}{2})D.當(dāng)勾數(shù)為30時(shí)，弦數(shù)為5010.體育競(jìng)技與概率分布某乒乓球運(yùn)動(dòng)員發(fā)球成功率為0.9，每局比賽中，若雙方比分至10平，則先多得2分者獲勝。則在10平后，該運(yùn)動(dòng)員以13:11獲勝的概率為（）A.(0.9^2\times0.1^2\times2)B.(C_2^1\times0.9^3\times0.1)C.(0.9^2+2\times0.9^3\times0.1)D.(2\times0.9^3\times0.1+0.9^4)11.建筑美學(xué)與圓錐曲線福建土樓的圓形平面結(jié)構(gòu)中，屋檐輪廓近似為橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)），若從橢圓焦點(diǎn)看短軸端點(diǎn)的視角為(60^\circ)，則以下結(jié)論正確的有（）A.離心率(e=\frac{1}{2})B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍C.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為(2b)D.若(a=4)，則橢圓的內(nèi)接正方形面積為(\frac{256}{25})12.人工智能與邏輯推理某AI模型通過(guò)特征值(x)判斷圖像類別，規(guī)則為：若(x\in[a,b]\cup(c,d])則判定為“動(dòng)物”，否則為“植物”。已知：①當(dāng)(x=3)時(shí)判定為動(dòng)物②當(dāng)(x=5)時(shí)判定為植物③區(qū)間([a,b])與((c,d])長(zhǎng)度相等則可能的區(qū)間是（）A.([2,4]\cup(5,7])B.([1,3]\cup(4,6])C.([0,2]\cup(3,5])D.([3,5]\cup(6,8])三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.古算趣題與數(shù)列求和《孫子算經(jīng)》中有“出門望九堤”問(wèn)題：“今有出門望見(jiàn)九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色。”則巢、禽、雛的總數(shù)為________。14.城市規(guī)劃與三角函數(shù)某城市東西走向主干道旁有一圓形廣場(chǎng)，直徑為200m。廣場(chǎng)中心在主干道北側(cè)100m處，若以主干道為x軸，廣場(chǎng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則廣場(chǎng)邊界與主干道交點(diǎn)的坐標(biāo)為________。15.醫(yī)療健康與統(tǒng)計(jì)圖表某醫(yī)院用CT影像診斷肺癌，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：實(shí)際患病情況診斷陽(yáng)性診斷陰性患病9010未患病15185則該診斷方法的“誤診率”（錯(cuò)誤診斷的概率）為________。16.藝術(shù)創(chuàng)作與矩陣變換將平面圖形的每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)((x,y))通過(guò)矩陣(\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix})變換后，得到新圖形。若原圖形是邊長(zhǎng)為(\sqrt{2})的正方形，則新圖形的面積為________。四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）數(shù)學(xué)史與三角測(cè)量劉徽在《海島算經(jīng)》中提出“重差術(shù)”測(cè)量高度：如圖，在A、B兩處立標(biāo)桿，高均為h，AB間距為d，從A處測(cè)得海島頂P的仰角為α，從B處測(cè)得仰角為β，A、B、海島底部M共線。（1）證明：海島高度(PM=\frac{hd}{\cot\beta-\cot\alpha}+h)；（2）若h=3m，d=50m，α=30°，β=45°，計(jì)算海島高度（精確到0.1m）。18.（12分）環(huán)境保護(hù)與概率統(tǒng)計(jì)為監(jiān)測(cè)湖泊富營(yíng)養(yǎng)化，每月采集水樣檢測(cè)總磷濃度（mg/L），數(shù)據(jù)如下：1.2,0.8,1.5,0.9,1.1,1.3,0.7,1.4,1.0,1.2（1）計(jì)算樣本平均數(shù)與方差（精確到0.01）；（2）若總磷濃度服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，用樣本估計(jì)μ、σ，求下月濃度落在[0.9,1.3]的概率；（3）規(guī)定：連續(xù)3個(gè)月濃度超過(guò)1.2mg/L需預(yù)警。若每月濃度相互獨(dú)立，求今年（12個(gè)月）至少預(yù)警一次的概率。19.（12分）智能交通與函數(shù)建模某城市早高峰（7:00-9:00）車流量滿足(f(t)=t^3-6t^2+9t+12)（t為小時(shí)，t=0對(duì)應(yīng)7:00）。（1）求車流量最大的時(shí)刻及最大值；（2）定義擁堵指數(shù)(C(t)=\frac{f(t)}{v(t)})，其中(v(t)=20-5t)為平均車速（km/h）。求擁堵指數(shù)最低的時(shí)段；（3）若8:00-8:30為限行時(shí)段，車流量減少30%，求該時(shí)段的平均車流量。20.（12分）古建筑修復(fù)與立體幾何某唐代石塔基座為正四棱臺(tái)，上底面邊長(zhǎng)2m，下底面邊長(zhǎng)4m，高3m。修復(fù)時(shí)需在內(nèi)部填充加固材料。（1）求該棱臺(tái)的體積；（2）若沿側(cè)棱中點(diǎn)作平行于底面的截面，求截面面積；（3）在棱臺(tái)內(nèi)放置一個(gè)球，求球的最大半徑（精確到0.01m）。21.（12分）金融創(chuàng)新與數(shù)列應(yīng)用某銀行推出“復(fù)利儲(chǔ)蓄計(jì)劃”：每月存入本金a元，月利率r，按復(fù)利計(jì)息（利息計(jì)入下月本金）。（1）證明：n個(gè)月后本利和(S_n=a\cdot\frac{(1+r)^{n+1}-(1+r)}{r})；（2）若每月存1000元，年利率6%（月利率0.5%），5年后取出，計(jì)算本利和（精確到1元）；（3）若希望10年后本利和達(dá)到50萬(wàn)元，月利率0.5%，求每月需存入的金額（精確到10元）。22.（12分）量子計(jì)算與圓錐曲線量子比特的狀態(tài)可用復(fù)平面單位圓上的點(diǎn)表示，稱為“布洛赫球面”在平