2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)限時60分鐘綜合演練（三）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\cap(\complement_{\text{R}}B)=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.(\varnothing)解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(1<x<2)，故(A=(1,2))；解(2^x>4=2^2)得(x>2)，故(B=(2,+\infty))，(\complement_{\text{R}}B=(-\infty,2])；因此(A\cap(\complement_{\text{R}}B)=(1,2))，選A.復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=)（）A.(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)B.(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)C.(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i)D.(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i)解析：(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)，共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，選B.已知向量(\boldsymbol{a}=(1,2))，(\boldsymbol=(m,-1))，若(\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol))，則(m=)（）A.-10B.-5C.5D.10解析：(\boldsymbol{a}+\boldsymbol=(1+m,1))，由(\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol))得(\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)=0)，即(1\times(1+m)+2\times1=0)，解得(m=-3).注：原題選項(xiàng)中無-3，可能題目數(shù)據(jù)有誤，若改為(\boldsymbol{a}\parallel(\boldsymbol{a}+\boldsymbol))，則(1\times1-2\times(1+m)=0)，解得(m=-\frac{1}{2})，仍無對應(yīng)選項(xiàng).此處按原題條件計(jì)算，正確答案應(yīng)為-3.函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx}{e^x+e^{-x}})的圖象大致為（）解析：函數(shù)定義域?yàn)?\text{R})，且(f(-x)=\frac{-\sinx}{e^{-x}+e^x}=-f(x))，為奇函數(shù)，排除A、C；當(dāng)(x\in(0,\pi))時，(\sinx>0)，(e^x+e^{-x}>0)，故(f(x)>0)，排除D，選B.已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_7=10)，則(S_9=)（）A.45B.50C.90D.100解析：等差數(shù)列中，(a_3+a_7=2a_5=10)，故(a_5=5)，(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5=45)，選A.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)解析：由三視圖可知，該幾何體為底面半徑3cm、高4cm的圓柱挖去一個同底等高的圓錐，體積(V=V_{\text{圓柱}}-V_{\text{圓錐}}=\pir^2h-\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{2}{3}\pi\times3^2\times4=24\pi)，選C.已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分圖象如圖所示，則(\omega+\varphi=)（）A.(\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{3})C.(\frac{\pi}{2})D.(\frac{2\pi}{3})解析：由圖象知周期(T=4\times(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12})=\pi)，故(\omega=\frac{2\pi}{T}=2)；將點(diǎn)((\frac{\pi}{12},1))代入得(\sin(2\times\frac{\pi}{12}+\varphi)=1)，即(\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi)，解得(\varphi=\frac{\pi}{3}+2k\pi)，又(|\varphi|<\frac{\pi}{2})，故(\varphi=\frac{\pi}{3})，因此(\omega+\varphi=2+\frac{\pi}{3})，注：題目選項(xiàng)可能存在錯誤，正確答案應(yīng)為(2+\frac{\pi}{3}).已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，過(F_2)的直線與雙曲線的右支交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF_1|=|AB|)，且(|AF_2|=2|BF_2|)，則雙曲線的離心率為（）A.(\frac{\sqrt{13}}{3})B.(\frac{\sqrt{10}}{2})C.(\sqrt{3})D.2解析：設(shè)(|BF_2|=m)，則(|AF_2|=2m)，由雙曲線定義：(|AF_1|-|AF_2|=2a)，(|BF_1|-|BF_2|=2a)，又(|AF_1|=|AB|=|AF_2|+|BF_2|=3m)，故(3m-2m=2a\Rightarrowm=2a)，因此(|AF_1|=6a)，(|AF_2|=4a)，(|BF_1|=2a+m=4a)，(|AB|=6a)；在(\triangleAF_1B)中，由余弦定理：(\cos\angleBAF_1=\frac{|AF_1|^2+|AB|^2-|BF_1|^2}{2|AF_1||AB|}=\frac{6a^2+6a^2-4a^2}{2\times6a\times6a}=\frac{7}{9})；在(\triangleAF_1F_2)中，(|F_1F_2|=2c)，由余弦定理：(|F_1F_2|^2=|AF_1|^2+|AF_2|^2-2|AF_1||AF_2|\cos\angleBAF_1)，即(4c^2=36a^2+16a^2-2\times6a\times4a\times\frac{7}{9})，化簡得(c^2=\frac{13}{9}a^2\Rightarrowe=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3})，選A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）下列說法正確的是（）A.若隨機(jī)變量(X\simN(1,\sigma^2))，則(P(X\leq1)=0.5)B.若事件(A,B)相互獨(dú)立，則(P(A\cupB)=P(A)+P(B))C.線性回歸方程(\hat{y}=\hatx+\hat{a})必過樣本點(diǎn)的中心((\overline{x},\overline{y}))D.若樣本數(shù)據(jù)(x_1,x_2,\cdots,x_n)的方差為4，則數(shù)據(jù)(2x_1+1,2x_2+1,\cdots,2x_n+1)的方差為8解析：A.正態(tài)分布關(guān)于均值對稱，正確；B.相互獨(dú)立事件滿足(P(AB)=P(A)P(B))，(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB))，錯誤；C.線性回歸方程必過樣本中心，正確；D.方差性質(zhì)：(D(aX+b)=a^2D(X))，故方差為(2^2\times4=16)，錯誤；選AC.已知函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax(a\in\text{R}))，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)(a=3)時，(f(x))在((1,+\infty))上單調(diào)遞增B.若(f(x))有兩個極值點(diǎn)，則(a>2)C.當(dāng)(a=2)時，(f(x))有兩個零點(diǎn)D.當(dāng)(a\leq2)時，(f(x))在定義域內(nèi)單調(diào)解析：(f'(x)=\frac{1}{x}+x-a(x>0))，A.(a=3)時，(f'(x)=\frac{x^2-3x+1}{x})，令(f'(x)=0)得(x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2})，其中(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2.618>1)，故在((1,\frac{3+\sqrt{5}}{2}))上(f'(x)<0)，函數(shù)遞減，錯誤；B.(f(x))有兩個極值點(diǎn)等價于(f'(x)=0)有兩個不等正根，即(x^2-ax+1=0)有兩正根，需(\Delta=a^2-4>0)且(a>0)，故(a>2)，正確；C.(a=2)時，(f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0)，函數(shù)單調(diào)遞增，又(f(1)=\ln1+\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}<0)，(f(e)=\lne+\frac{1}{2}e^2-2e=1+\frac{e^2}{2}-2e=\frac{(e-2)^2}{2}-1>0)，故有唯一零點(diǎn)，錯誤；D.當(dāng)(a=2)時，(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增，當(dāng)(a<2)時，(f'(x)=\frac{x^2-ax+1}{x})，(x^2-ax+1)的判別式(\Delta=a^2-4<0)，故(f'(x)>0)，函數(shù)單調(diào)遞增，正確；選BD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x-y+1\geq0,\x+y-3\leq0,\y\geq0,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為______.解析：可行域?yàn)橐?(1,2),(3,0),(-1,0))為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)(z=x+2y)在點(diǎn)((1,2))處取最大值(1+4=5)，填5.已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha-1}=)______.解析：(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha-1}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{-\sin^2\alpha}=-2\cot\alpha=-\frac{2}{\tan\alpha}=-1)，填-1.在((x-\frac{2}{\sqrt{x}})^6)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______（用數(shù)字作答）.解析：通項(xiàng)公式(T_{r+1}=\text{C}_6^rx^{6-r}(-2)^rx^{-\frac{r}{2}}=\text{C}_6^r(-2)^rx^{6-\frac{3r}{2}})，令(6-\frac{3r}{2}=0\Rightarrowr=4)，常數(shù)項(xiàng)為(\text{C}_6^4(-2)^4=15\times16=240)，填240.已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過(F)的直線交(C)于(A,B)兩點(diǎn)，過(A)作(l)的垂線，垂足為(M)，若(|AF|=3)，則(\triangleAFM)的面積為______.解析：拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)(F(1,0))，準(zhǔn)線(l:x=-1)，設(shè)(A(x_1,y_1))，由拋物線定義(|AF|=x_1+1=3\Rightarrowx_1=2)，代入拋物線方程得(y_1^2=8\Rightarrow|y_1|=2\sqrt{2})，(\triangleAFM)的底(|AM|=|AF|=3)，高為(|y_1|=2\sqrt{2})，面積(S=\frac{1}{2}\times3\times2\sqrt{2}=3\sqrt{2})，填(3\sqrt{2}).四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2}).（1）求角(B)的大?。唬?）求(\triangleABC)的面積.解析：（1）由余弦定理(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)，代入得：((2\sqrt{3})^2=2^2+c^2-2\times2c\times(-\frac{1}{2})\Rightarrow12=4+c^2+2c\Rightarrowc^2+2c-8=0)，解得(c=2)（舍負(fù)）；由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，(\cosA=-\frac{1}{2}\RightarrowA=\frac{2\pi}{3})，(\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2})，故(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2})，又(a>b\RightarrowA>B)，故(B=\frac{\pi}{6}).（2）(C=\pi-A-B=\pi-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6})，面積(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times2\times\frac{1}{2}=\sqrt{3}).（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn).（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(BDE)所成角的正弦值.解析：（1）連接(AD,A_1E)，在直三棱柱中，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)，故(DE\parallelAA_1)且(DE=AA_1)，四邊形(ADEA_1)為平行四邊形，因此(DE\parallelA_1A)，又(A_1A\subset)平面(ABB_1A_1)，(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，故(DE\parallel)平面(ABB_1A_1).（2）以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(B(2,0,0))，(E(1,1,2))，(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，(\overrightarrow{BD}=(-1,1,0))，(\overrightarrow{BE}=(-1,1,2))，設(shè)平面(BDE)的法向量(\boldsymbol{n}=(x,y,z))，則(\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BD}=-x+y=0,\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BE}=-x+y+2z=0,\end{cases})取(x=1)，得(y=1)，(z=0)，故(\boldsymbol{n}=(1,1,0))，設(shè)直線(A_1D)與平面(BDE)所成角為(\theta)，則(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{A_1D},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{A_1D}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{A_1D}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|1+1+0|}{\sqrt{1+1+4}\times\sqrt{1+1}}=\frac{2}{\sqrt{6}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}).（12分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且滿足(a_1=1)，(S_{n+1}=2S_n+n+1).（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式及前(n)項(xiàng)和(S_n).解析：（1）由(S_{n+1}=2S_n+n+1)，得(S_n=2S_{n-1}+n(n\geq2))，兩式相減：(a_{n+1}=2a_n+1(n\geq2))，又當(dāng)(n=1)時，(S_2=2S_1+2\Rightarrowa_1+a_2=2a_1+2\Rightarrowa_2=a_1+2=3)，滿足(a_2=2a_1+1=3)，故(a_{n+1}=2a_n+1(n\in\text{N}^*))，從而(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，即(\frac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2)，又(a_1+1=2)，故({a_n+1})是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知(a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1)，(S_n=\sum_{k=1}^n(2^k-1)=\sum_{k=1}^n2^k-\sum_{k=1}^n1=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-n-2).（12分）為了研究某地區(qū)中學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)100名中學(xué)生，對其視力進(jìn)行檢測，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中(a)的值，并估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生視力的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若視力在4.8及以上為正常，4.8以下為近視，用樣本估計(jì)總體，從該地區(qū)隨機(jī)抽取3名中學(xué)生，記(X)為其中近視的人數(shù)，求(X)的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析：（1）由頻率分布直方圖的面積和為1，得：((0.1+0.3+0.5+a+0.3+0.1)\times0.5=1\Rightarrow1.3+a=2\Rightarrowa=0.7)；平均數(shù)(\overline{x}=4.45\times0.05+4.55\times0.15+4.65\times0.25+4.75\times0.35+4.85\times0.15+4.95\times0.05=4.72).（2）視力4.8以下的頻率為((0.1+0.3+0.5+0.7)\times0.5=0.8)，即近視概率(p=0.8)，(X\simB(3,0.8))，分布列為：(P(X=k)=\text{C}_3^k(0.8)^k(0.2)^{3-k}(k=0,1,2,3))，具體值：(P(X=0)=0.2^3=0.008)，(P(X=1)=\text{C}_3^1\times0.8\times0.2^2=0.096)，(P(X=2)=\text{C}_3^2\times0.8^2\times0.2=0.384)，(P(X=3)=0.8^3=0.512)，數(shù)學(xué)期望(E(X)=np=3\times0.8=2.4).（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1)).（1）求橢圓(C)的方程；（2）過點(diǎn)(P(0,2))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，是否存在直線(l)，使得以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線(l)的方程；若不存在，說明理由.解析：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrowc=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，又(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})，將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\Rightarrow\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1).（2）假設(shè)存在直線(l)，當(dāng)斜率不存在時，(l:x=0)，與橢圓交于((0,\sqrt{2}),(0,-\sqrt{2}))，以(AB)為直徑的圓不過原點(diǎn)；當(dāng)斜率存在時，設(shè)(l:y=kx+2)，聯(lián)立橢圓方程：(\begin{cases}y=kx+2,\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1,\end{cases}\Rightarrow(1+4k^2)x^2+16kx+8=0)，由(\Delta=256k^2-32(1+4k^2)=128k^2-32>0\Rightarrowk^2>\frac{1}{4})，設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{16k}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{8}{1+4k^2})，以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)等價于(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\Rightarrowx_1x_2+y_1y_2=0)，(y_1y_2=(kx_1+2)(kx_2+2)=k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4)，代入得：(x_1x_2+k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4=0)，(\frac{8(1+k^2)}{1+4k^2}-\frac{32k^2}{1+4k^2}+4=0\Rightarrow8(1+k^2)-32k^2+4(1+4k^2)=0\Rightarrow12-12k^2=0\Rightarrowk^2=1)，滿足(k^2>\frac{1}{4})，故(k=\pm1)，直線(l:y=x+2)或(y=-x+2).（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2(a\in\text{R})).（1）若(a=1)，證明：當(dāng)(x\geq0)時，(