習(xí)題51.若S2=a,b,則在S2上可定義多少個(gè)二元運(yùn)算？若S3答案：在S2上可定義24=16個(gè)二元運(yùn)算;在S3上可定義39個(gè)二元運(yùn)算;在S2.集合S=a,fabfabfabfabaaaaababaaabbaabbabaabab請(qǐng)問(wèn)其中哪些滿足交換律？哪些滿足冪等律？哪些有幺元？哪些有零元？答案：f1,f2,f3滿足交換律；f4滿足冪等律；f3.設(shè)集合S={1,2,3,4}，*是S上的二元運(yùn)算，其定義為：x*y答案：°1234112342223433334444444.設(shè)集合S={1,2,3,4}，*是S上的二元運(yùn)算，其定義為：x*y°123411111212223123341234答案：5.設(shè)A=a,(1)A對(duì)普通乘法封閉；(2)A對(duì)普通加法封閉。答案：(1)可以，A=(2)不可以6.設(shè)?Z,*?是代數(shù)系統(tǒng)，（1）x（2）x（3）x（4）x在以上四個(gè)運(yùn)算中，哪些運(yùn)算對(duì)Z是封閉的？哪些是可交換的？哪些是可結(jié)合的，說(shuō)明理由。答：（1）運(yùn)算封閉：顯然可交換：x不可結(jié)合：x（2）運(yùn)算封閉：顯然可交換：x可結(jié)合：x=（3）運(yùn)算封閉：顯然不可交換：x不可結(jié)合：xx（4）運(yùn)算封閉：顯然可交換：x可結(jié)合：x7.設(shè)S={0,1,2}，定義S上的二元運(yùn)算*x問(wèn)運(yùn)算*在集合S上是否適合結(jié)合律？答：滿足結(jié)合律，因?yàn)閤x8.設(shè)?X,*?是代數(shù)系統(tǒng)，*是X上的二元運(yùn)算.?x,y解：滿足結(jié)合律：x不滿足交換律：x無(wú)幺元：假設(shè)有幺元a∈X,則?x∈X且x≠a無(wú)零元：假設(shè)有零元a∈X,則對(duì)于任意的非a元素y∈X,有a因?yàn)殓墼淮嬖?，討論逆元無(wú)意義。9.設(shè)?N,*?是代數(shù)系統(tǒng)，*是N上的二元運(yùn)算.?x,y解：滿足結(jié)合律：x滿足交換律：x有幺元1：1*有零元0：0*除了1之外其他元素?zé)o逆元.10.設(shè)集合S={2,4,6,8,10}，*是S(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x以上哪些運(yùn)算是冪等運(yùn)算？答：驗(yàn)證哪些運(yùn)算滿足x*x=x11.設(shè)V=?R*,°?（1）?（2）?（3）?解：(1)不滿足結(jié)合律，滿足交換律；不存在幺元。（2）不滿足交換律和結(jié)合律，不存在幺元。（3）滿足交換律和結(jié)合律，幺元為1，元素a的逆元為1a12.設(shè)V=?S,*?是代數(shù)系統(tǒng)，其中(1)列出*的運(yùn)算表；（2）*是否有零元和幺元？若有幺元，請(qǐng)求出所有可逆元素的逆元。解：（1）*01234000000101234202413303142404321（2）零元為0，幺元為1。1的逆元為1，2的逆元為3，3的逆元為2，4的逆元為4.13.設(shè)V=Z,+,問(wèn)3答案：都構(gòu)成V的子代數(shù),顯然{0}和V關(guān)于+運(yùn)算是封閉的,而對(duì)于任意3i,3j∈3Z,3i+3j=3(i+j)∈3Z,3Z關(guān)于+運(yùn)算也是封閉的.{0}和14.設(shè)V=?A,⊕?,其中A答案：構(gòu)成V的子代數(shù).A=?,1,非平凡的:24以上子代數(shù)中除了V之外,都是真子代數(shù).15.設(shè)V1=C,?,V2=R,?是代數(shù)系統(tǒng),?為普通乘法.下面哪個(gè)函數(shù)f是V1(1)f:(2)f:(3)f:(4)f:答案:(1)不是同態(tài),因?yàn)閒(1?2)=3,(2)是同態(tài),不是單同態(tài),也不是滿同態(tài)與同構(gòu),同態(tài)像fV(3)是同態(tài),不是單同態(tài),也不是滿同態(tài)與同構(gòu),同態(tài)像fV(4)不是同態(tài),因?yàn)閒(1?2)=2,16.設(shè)V1=A,°,V2(1)V1(2)若V1?V(3)若V1?V答案：(1)恒等函數(shù)IA是從A到A的雙射函數(shù),且?xI因此V1(2)若V1?V2,則存在同構(gòu)映射f:V1→V2,那么f-1:V2→V1為雙射x于是f-1y1*y（3）由已知存在同構(gòu)映射f:V1→V2,g:V2→V3,易見(jiàn)f°g是f從而得到V117.設(shè)*為Z+上的二元運(yùn)算,?x,y∈Z+(1)求4*6,7*3;(2)*在Z+(3)求*算的單位元、零元及Z+答案：(1)4*6=4,7*3=3;(2)滿足交換律、結(jié)合律、冪等律;(3)沒(méi)有單位元,1是零元.沒(méi)有可逆元素.18.S=Q×Q,Q為有理數(shù)集,a（1）*運(yùn)算在S上是否可交換、可結(jié)合?是否為冪等的?（2）*運(yùn)算是否有單位元、零元?如果有,請(qǐng)指出,并求S中所有可逆元素的逆元.答案：(1)不可交換.反例:?0,1?*?1,2?=?0,1?,?1,2?*?0,1?=?0,3?.可結(jié)合,因?yàn)??a(?不是冪等的,因?yàn)?1,1?*?1,1?=?1,2?.（2）容易驗(yàn)證1,0為單位元,沒(méi)有零元.當(dāng)a≠0時(shí),?a,19.設(shè)°運(yùn)算為有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算,?xx(1)判斷°運(yùn)算是否滿足交換律和結(jié)合律,并說(shuō)明理由.(2)求出?運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.解(1)運(yùn)算是可交換、可結(jié)合的.驗(yàn)證如下:任取x,y∈Qx°y=x+y-xy=y+x-yx=y°x任取x,y,z∈Q(x°y)°z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+y+z-xy-xz-yz+xyz(2)設(shè)°運(yùn)算的單位元和零元分別為e和θ,則對(duì)于任意x有x°e=x成立,即x+e-xe=x.由于x的任意性,必有e=0.由于°運(yùn)算可交換,所以0是單位元.再考慮零元,對(duì)于任意x有x°θ=θ成立,即x+θ-xθ=θ.化簡(jiǎn)得x-xθ=0.由于x的任意性,得θ=1.給定x,設(shè)x的逆元為y,則有x°y=0成立,即x+y-xy=0.從而得到y(tǒng)=因此當(dāng)x≠1時(shí)，xx-1是x的逆元習(xí)題61.在非負(fù)實(shí)數(shù)集合R≥0上定義運(yùn)算*如下a試問(wèn)R≥0,*是半群?jiǎn)?解：顯然運(yùn)算封閉，滿足結(jié)合律：因?yàn)閍*b*c=aa解得a=0或b=±1.斷言0因此，R≥02.在自然數(shù)集合N上定義運(yùn)算∨和∧如下:a試問(wèn)?N,∨?和?N,∧?解：(1)運(yùn)算封閉性顯然成立；(2)對(duì)于任意a,b,c∈a∨ba∧b(3)因?yàn)閍∨0=maxa,0=a,所以0為因此，?N,∨?和?N,∧?都是半群，?N,∨?是幺半群，而3.設(shè)?G,*?是半群,它有一個(gè)左零元θG證明Gθ,*證明：顯然運(yùn)算封閉；滿足結(jié)合律：因?yàn)閷?duì)于任意的x,x(因此?G4.設(shè)S={0,1,2,3},?為模4乘法,?問(wèn)?S,??解：不構(gòu)成群。顯然運(yùn)算封閉,容易驗(yàn)證結(jié)合律也滿足。1為幺元,但是元素0無(wú)逆元。所以S,?5.設(shè)G={a+bi∣a,b∈Z},證明：i.運(yùn)算封閉：aii.結(jié)合律：((iii.有幺元0:0iv.每個(gè)元素都有逆元：元素a+bi綜上，G關(guān)于復(fù)數(shù)加法構(gòu)成群。6.設(shè)Z為整數(shù)集合,在Z上定義二元運(yùn)算,?x,y∈Z,x*y=x+解：運(yùn)算封閉性顯然;結(jié)合律：(x°y)°z=x°(y°z)=x+y+z-4.2是幺元，因?yàn)樵豠的逆元為4-a：a°y=a+y-2=2解得y=4-a因此，Z關(guān)于°運(yùn)算能構(gòu)成群.7.設(shè)G=1001,證明：用??表示1001，??表示100-1，??表示×abcdaabcdbbadcccdabddcba顯然運(yùn)算封閉，容易驗(yàn)證結(jié)合律也成立。從運(yùn)算表中可以看出10018.設(shè)G是MnR上的加法群,n(1)全體對(duì)稱矩陣;(2)全體對(duì)角矩陣;(3)全體行列式大于等于0的矩陣;(4)全體上(下)三角矩陣;(5)全體可逆矩陣。解：(1)構(gòu)成子群;(2)構(gòu)成子群;(3)運(yùn)算不封閉，例如3211+-4191-5=9.某一通信編碼的碼字x=x1,x2,?,x7,其中x1,x2,x3和x這里+2是模2加法。設(shè)H是所有這樣的碼字構(gòu)成的集合。在H上定義二元運(yùn)算如下?證明?H,*?構(gòu)成群,且是?G,*?的子群,其中G是長(zhǎng)度為證明：任取xx于是xxx因此x*yx因此，結(jié)合律成立。單位元為0,0,?,0,?x∈H,x10.設(shè)σ,τ是5元置換σ(1)計(jì)算στ,(2)將τσ,τ解：(1)στ(2)στ11.階數(shù)為5,6,14,15的循環(huán)群的生成元分別有多少個(gè)?解：設(shè)a是階數(shù)為5的循環(huán)群的生成元，則在比5小的正整數(shù)中有且僅有2,3,4與5互質(zhì)，所以a2,a設(shè)a是階數(shù)為6的循環(huán)群的生成元，則在比6小的正整數(shù)中有且僅有5與6互質(zhì)，所以a5設(shè)a是階數(shù)為14的循環(huán)群的生成元，則在比14小的正整數(shù)中有且僅有3,5,9,11,13與14互質(zhì)，所以a3設(shè)a是階數(shù)為15的循環(huán)群的生成元，則在比15小的正整數(shù)中有且僅有2,4,7,8,11,13,14與15互質(zhì)，所以a212.設(shè)G={1,5,7,11},對(duì)于G上的二元運(yùn)算“模12乘法×i(1)證明G,×12(2)求G中每個(gè)元素的次數(shù);(3)問(wèn)G,×12證明：(1)由運(yùn)算表：×157111157115511177711151111751可知運(yùn)算的封閉性。數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，所以運(yùn)算×12結(jié)合律也成立。1為單位元，每個(gè)元素的逆元為本身。所以G,(2)1(3)因?yàn)镚的每個(gè)元素的階數(shù)均不超過(guò)2，所以每個(gè)元素都不可能是群G的生成元，從而不是循環(huán)群。13.設(shè)S={1,2,3,4},寫(xiě)出S上的所有4解：(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(234),(243),(124),(142),(134),(143),(1234),(1432),(1342),(1243),(1342),(1423),以上共有24個(gè)置換。14.證明6階群必含有3次元。證明：設(shè)G是6階群，根據(jù)拉格朗日定理知，此群中的元素的階數(shù)為1，2，3或6.若此群存在6階元a,即a6=1,從而有a23若此群不存在6階元，下面將用反證法證明結(jié)論成立。假設(shè)不存在3階元，于是此群的元素階數(shù)為1或2，即?a∈G,有a2=e。容易證明G是交換群。取G中兩個(gè)不同的H易證H是G的子群，但H=4,G15.證明偶數(shù)階群必含2次元。證明：設(shè)G為偶數(shù)階群，若它無(wú)二次元，則對(duì)G中的非單位元a,有a≠a-1.所以G中的非單位元都是成對(duì)出現(xiàn)的。所以G中的元素個(gè)數(shù)是奇數(shù)，矛盾。故16.證明在有限群中次數(shù)大于2的元素的個(gè)數(shù)必定是偶數(shù)。證明：設(shè)a是有限群G中的元素?？梢宰C明：a的階大于2當(dāng)且僅當(dāng)a-1≠a.若a的階大于2，則a2≠e,因此a-1≠a.若a17.判斷下列集合和給定運(yùn)算是否構(gòu)成環(huán)、整環(huán)和域,如果不能構(gòu)成,請(qǐng)說(shuō)明理由。(1)A=a(2)A={2n(3)A={2n(4)A={x(5)A={a解：(1)是環(huán)，是整環(huán)，也是域；(2)不是環(huán)，因?yàn)殛P(guān)于加法不封閉；(3)是環(huán)，不是整環(huán)和域，因?yàn)槌朔](méi)有幺元；(4)不是環(huán)，因?yàn)檎麛?shù)關(guān)于加法的負(fù)元不存在；(5)不是環(huán)，因?yàn)殛P(guān)于乘法不封閉。18.確定具有習(xí)圖6.1所示哈斯圖的偏序集是否為格。hgfdecabhgfdecabhgfedcbahgfedcbaihgfedcbaihgfedcba(a)(b)(c)習(xí)圖6.1解：根據(jù)格的定義知，(b)和(c)是格。19.設(shè)?L,≤?是格,其哈斯圖如習(xí)圖6.2所示SSSS試問(wèn)S1,≤1,S2,≤2,S3,gfedcbagfedcba習(xí)圖6.2解：根據(jù)格的定義知，S1,S20.設(shè)G是一個(gè)交換群，令S證明S是G的一個(gè)子群。證明：(1)對(duì)群G的單位元e,有e=e-1,因此,e∈(2)?a,a又由于滿足交換律，有a故有ab-1∈S。根據(jù)子群判定定理二,由(1)和(2)可知,S是21．求Z12解：Z12,⊕的全部子群為?0?和?d?,d∣1222.設(shè)G={(a,b)∣a(證明:G對(duì)所規(guī)定的運(yùn)算°作成一個(gè)群.證明：顯然G非空.又在G中任取(a,b),(c,d),則a,b,c,d是實(shí)數(shù)且(再任取(e,[(從而[(a,b)°(c,d)]°(e又(1,0)∈G,且(1,0)°(a,b)=(a,b),即(1,0)是G的左單位元;1即1a,-ba是(a,b)在G注：G不是交換群。因?yàn)槔缫字?3,6)=(1,2)?(3,4)≠(3,4)?(1,2)=(3,10).23.令G是由以下四個(gè)二階方陣作成的集合:1證明:G對(duì)方陣的普通乘法作成一個(gè)交換群,并給出G的乘法表.證明：依次用e,a,b,c表示G中的四個(gè)方陣,eabceeabcaaecbbbceaccbae由此表可知,方陣普通乘法是G的代數(shù)運(yùn)算,e是G的單位元;又由于與對(duì)角線對(duì)稱位置上的元素相等,故G中任二元素相乘時(shí)可以交換,且每個(gè)元素在G中都有逆元,即自身;結(jié)合律當(dāng)然成立,故G對(duì)方陣普通乘法作成一個(gè)群,且是一個(gè)交換群.24.令G={e,a,b}eabeeabaabebbea證明:G對(duì)此乘法作成一個(gè)群.證明：由乘法表可知,G對(duì)所說(shuō)的乘法封閉,e是左單位元;又顯然e即每個(gè)元素在G中都有左逆元.

因此,要證G是一個(gè)群,只需證結(jié)合律成立.任取x,ye其次,令x,y∈{b,cxx于是由乘法表得(從而結(jié)合律成立,G作成一個(gè)群.25.令M是除去0,1以外的全體實(shí)數(shù)作成的集合,G為M的以下六個(gè)變換作成的集合：σ證明:G對(duì)此乘法作成一個(gè)群.證明：根據(jù)變換的乘法,可得G的乘法表如下:σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ由此表可知,G對(duì)變換乘法封閉;又G是有限集合且從乘法表知消去律成立(因?yàn)楸碇忻啃忻苛兄械牧鶄€(gè)變換是互異的);又變換的乘法滿足結(jié)合律,故G作成一個(gè)群.26.令M是任意一個(gè)集合,P(M)是M的所有子集(包括空集在內(nèi))作成的集合.證明:A作成一個(gè)群。證明：P(M)關(guān)于對(duì)稱差封閉是顯然的.下證結(jié)合律成立.

任取A,B,A故x∈A⊕B,x?C或x當(dāng)x∈A,xx故x?B⊕C,從而x∈A⊕B⊕x從而也有x∈2)如果x?Ax若是前者,則有x∈Ax若是后者,則有x?Ax因此由1)與2)知,(A類似可證A⊕(B(即結(jié)合律成立.空集?顯然是P(M)的單位元.又A∈P(M)A因此,P(M)27.證明:在群中只有單位元滿足方程x證明：設(shè)e是群G的單位元,則e顯然滿足所說(shuō)的方程.

另外,設(shè)a∈G且aa即只有e滿足方程x227.證明:如果群G中每個(gè)元素都滿足方程x則G必是交換群.證明：證法I.

任取a,b∈G,由于ab從而ab=ba,所以G是交換群.

證法II.

任取a∈G,由于a2=e,故a=a-1ab即G為交換群.28.設(shè)G是一個(gè)群.證明:G是交換群的充要條件是,對(duì)G中任意元素a,b(證明：設(shè)G是交換群,則對(duì)G中任意元素a,b(反之,設(shè)對(duì)任意a,b(即abab=aabb.此式左乘以a-1,右乘以ebae即G是交換群.28.設(shè)G是一個(gè)群，a,b,c是G中任意三個(gè)元素xaxba在G中有且僅有一解.

證明：易驗(yàn)證x=a-1xaxba=abc.設(shè)y∈G也是此方程的解yayba=ybc.則由(1)與(2)分別得axbab-1c由(3)得axbab-1c-1=aybab-129.證明:在任意群中,下列各組中的元素有相同的階:（1）a與a-1;（2）a與（3）ab與ba;（4）abc,證明：1)設(shè)an=a即a-1n=e.反之,設(shè)a故得an=e.因此,|a|=a-1ca即有cac-1n=e.

反之,由cac-1n=e得canc-1=e,從而an=e.

由上即可知|a|30.1)證明:在一個(gè)有限群里,階數(shù)大于2的元素的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù);2)設(shè)G是一個(gè)偶數(shù)階有限群.證明:G中階等于2的元素的個(gè)數(shù)是奇數(shù).證明：1)設(shè)G是一有限群,a是G任意一個(gè)階大于2的元素,則顯然a但a與a-1有相同的階,即a-1的階也大于2.又設(shè)b也是G中一個(gè)階大于2的元素b則易知b-1≠a,b-1≠a-1.這就是說(shuō),G中階大于2的元素是成對(duì)出現(xiàn)的,由于G是有限群,故G的階大于2的元素的個(gè)數(shù)必為偶數(shù).

2)設(shè)G是一個(gè)偶數(shù)階有限群,由于單位元是階為1的惟一元素,又由1)知G中階大于2的元素的個(gè)數(shù)是偶數(shù),31.試求出三次對(duì)稱群S的所有子群.解易知S3H對(duì)置換乘法都是封閉的，因此都是S3的子群下證S3僅有這六個(gè)子群.設(shè)H為S3的任一非平凡子群,則由于|H|是S3=6當(dāng)|H|=2時(shí),H中除單位元(1)外,另一個(gè)元素只能是一個(gè)2階元.但S3的2階元只有三個(gè),即(12),(13),(23),因此,H只能是當(dāng)|H|=3時(shí),由拉格朗日定理知,H中元素的階必為3的因數(shù),即只能是1或因此,此時(shí)H中除單位元外,另兩個(gè)元素必定都是3階元.但S3中的三階元有且僅有兩個(gè),即(123)和(132),因此,此時(shí)只能H綜上所述可知,S3有且僅有以上六個(gè)子群32.設(shè)G是一個(gè)群,H是G的一個(gè)子群,a是G中一個(gè)n階元素.證明:存在最小正整數(shù)m,a證明：由于|a|=n,故an=e∈H.從而存在最小正整數(shù)n則由于H?G和aa但m是使am∈H的最小正整數(shù),故必r=0,33.設(shè)G是一個(gè)階數(shù)大于2的群,且G的每個(gè)元素都滿足方程x2=e.證明:G必含有證明：證法I.由于G中每個(gè)元素都滿足方程x2=e,而|e|=1,故G中除e由于|G|>2,在G中任取a≠e,b≠e,a≠b,則由上所述,e,a,b,abH是G的一個(gè)4階子群.證法II.在G中任取a≠e,則由于aH又因|G|>2,故在G中存在元素bK又因G是交換群,故HK注由證明過(guò)程易知,題設(shè)的條件還可以減弱.34.全體整數(shù)的集合對(duì)于普通減法來(lái)說(shuō)是不是一個(gè)群?解不是,因?yàn)槠胀p法不適合結(jié)合律.例如3-(2-1)=3-1=235.一個(gè)有限群的每一個(gè)元的階都有限.證明：令G是一個(gè)有限群而a是G的任一元素,那么a不能都不相等.因此存在正整數(shù)i和j,i>j,使ai=ai這樣,存在正整數(shù)i-j,使(1)成立.因此也存在最小的正整數(shù)m,使am=e,這就是說(shuō),元素a36.證明群G的兩個(gè)子群的交集也是G的子群.證明：設(shè)H1和H2是G的子群.令e是G的單位元.那么e屬于H1和e而H1∩H2不空.令a,b∈H1∩H2.那么a,b屬于H1和H2。但H1和H2是一群。所以ab-1屬于37.設(shè)G是一群,a,bxaxba在G中有且僅有一個(gè)解。證明：對(duì)等式兩邊同時(shí)左乘x-1,有axba=bc,再在等式兩邊同時(shí)左乘a-1,右乘x故方程存在解。再證惟一性。若方程存在兩解,設(shè)為x,y,即有axba=bc=ayba,由于G是群,滿足消去律,有xba=yba38.設(shè)G是一群,a,b∈G且(ab證明：由條件,有(ab)(ab)=(aa)(bb),由于是群,運(yùn)算滿足結(jié)合律和消去律,設(shè)(G,*)是一群,x∈G。定義:a°證明：顯然°是G上的二元運(yùn)算,要證G是群,需證結(jié)合律成立,同時(shí)有單位元,每個(gè)元素有逆元。?a,a運(yùn)算是可結(jié)合的。其次,x-1是(G,°)的單位元。事實(shí)上a最后證明,?a∈G,x-1*a-1a由以上證明,(G,°)40.證明有限群中階大于2的元素的個(gè)數(shù)必定是偶數(shù)。證明：x和x-1的階數(shù)相同。又當(dāng)x的階數(shù)大于2時(shí),x≠x-1。注意到映射f:x→x-1是群的一個(gè)雙射。從而階數(shù)大于2的元素成對(duì)出現(xiàn)(41.證明階為偶數(shù)的有限群中必有奇數(shù)個(gè)階為2的元素。證明：群中階數(shù)大于2的元素個(gè)數(shù)是偶數(shù),又單位元是群中惟一的一個(gè)階數(shù)為1的元素。而群中總元素個(gè)數(shù)(群的階)為偶數(shù),故階為2的元素必有奇數(shù)個(gè)。42.在偶階數(shù)的有限群中必存在a≠e,使得a2=e,證:當(dāng)x≠x-1時(shí),x和x-1在群中成對(duì)出現(xiàn),其總的個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。因此,在群中x=x-1,即x2=e的元素個(gè)數(shù)也為偶數(shù)。e滿足e2=e,故除43.Sn是D={1,2,?,n}上所有置換（雙射）組成的集合。Sn對(duì)置換乘法（函數(shù)復(fù)合)(1)在Sn上定義關(guān)系R,?s,t∈Sn,sRt(2)取n=3,列出S3的所有元素,找出S3的一個(gè)二階子群G。求上述等價(jià)關(guān)系R所確定的證明：(1)需證R自反、對(duì)稱、傳遞。?s∈Sn,因G是子群,恒等變換In∈G,且s=In-1sIn,故sRs°R自反。?s,t∈Sn若sRt,即?g∈G,s=g-1tg,則g-1∈G,且t=g-1-1sg-1,(2)S3中有6個(gè)元素,pS3的一個(gè)二階子群G為G=p1,p2（或?yàn)镚=p1,p3、G=p1,p4）。對(duì)應(yīng)的劃分為:p1,p2,p44.設(shè)(G,*)是群,對(duì)任一a∈G,令H=y∣y*證明：顯然H?G。運(yùn)算在H中滿足結(jié)合性。對(duì)于任意的x,y∈H(所以,x*y∈H,這說(shuō)明因?yàn)閑*a=a*e,對(duì)于任意的x∈H,由于xx即得x這表明x綜上所述,H為G的子群。45.下面哪些是對(duì)稱群S4,°的子群(2)f(3)f(4)f解:因S4是有限群,(1),(4)是子群?？梢耘e例說(shuō)明(2),(3)均不為子群,對(duì)(2)或(3),如:f46.設(shè)G是一群,H是G的子群,x∈G。證明x?H?x證明：由H非空,知x?H?x-1非空。?a,b∈xa=x因H為子群,有h1?h2-1?=h∈H47.設(shè)G是一群,H是G的子群,令M=x∣x∈G,xHx證明：?x,y∈M,即x?H?x-1=H,y?H?y-1=H,48.設(shè)G是群,A,B為子群,試證明若AYB=G,則證明：假設(shè)A≠G,且B≠G,則?a∈A,a?B且?b∈B,b?A(否則對(duì)任意的對(duì)元素a?b∈G,若a?b∈G,因A是子群,a-1∈A,從而a-1?(a?b綜上所述,假設(shè)不成立,得證A=G或50.設(shè)G,*是一群,R=a,b∣a,b驗(yàn)證R是G上的等價(jià)關(guān)系。證明：需證R具有自反、對(duì)稱、傳遞性。?x∈G,因?yàn)閤=e*x*e-1,其中e為G中單位元?a,b∈G,若aRb,即?θ∈G使b=θ*a*θ-1,則a=θ-1*b*θ=θ-1*b*θ-1-1,因G為群c因θ1,θ2∈G,有θ1θ2∈證得R等價(jià)。51.設(shè)H是群G的