專題07解三角形和復數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學考要求 1基礎知識梳理 1考點精講講練 4考點一：正弦定理解三角形 4考點二：余弦定理解三角形 7考點三：三角形的面積公式 10考點四：正余弦定理的大題綜合 12考點五：復數(shù)的概念及分類 16考點六：復數(shù)的四則運算 18考點七：復數(shù)的幾何意義 20考點八：求復數(shù)的模 22實戰(zhàn)能力訓練 24 明晰學考要求 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；2、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題；3、理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義;4、掌握復數(shù)代數(shù)表示的四則運算，了解復數(shù)加法、減法運算的幾何意義,基礎知識梳理一、正弦定理1.正弦定理的內容在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則定理正弦定理公式，其中為的外接圓的半徑.常見變形①；②；③；解三角形問題①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；②已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角．角邊關系2.三角形的面積公式設的三邊為a，b，c，對應的三個角分別為A，B，C，其面積為S.①(h為BC邊上的高)；②；二、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則定理余弦定理公式常見變形，，解三角形問題①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩角．余弦定理與勾股定理的關系?C為直角；?C為鈍角；?C為銳角.三、三角形中常用結論1.兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊：2.大邊對大角，大角對大邊：3.，故有①；②；③；④⑤四、復數(shù)的定義及其分類1.定義：形如的數(shù)叫做復數(shù)，其中稱為的實部，稱為的虛部(為虛數(shù)單位)．規(guī)定2.復數(shù)的分類：復數(shù)的分類充要條件集合表示實數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)且3.復數(shù)相等在復數(shù)集中任取兩個數(shù)，我們規(guī)定：與相等的充要條件是且五、復平面1.定義：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，推廣到復數(shù)，每一個復數(shù)都與平面直角坐標系上的點一一對應，將這個平面稱為復平面.橫坐標代表復數(shù)的實部，縱坐標代表復數(shù)的虛部，橫軸稱為實軸，縱軸稱為虛軸.2．復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的模①復數(shù)的幾何意義：②復數(shù)的模：向量的模叫做復數(shù)的模，記作或，即六、復數(shù)的四則運算1.復數(shù)的四則運算：設是任意兩個復數(shù)運算計算公式加法減法乘法除法2．復數(shù)的加法運算律，乘法運算律對于任意，有加法運算律交換律結合律乘法運算律交換律結合律乘法對加法的分配律3．共軛復數(shù)1.定義：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).2.表示：z的共軛復數(shù)用表示，即若，則考點精講講練考點一：正弦定理解三角形（1）已知兩角一邊解三角形：①若所給邊是已知角的對邊時,可由正弦定理求另一角所對的邊,再由三角形內角和定理求出第三個角；②若所給邊不是已知角的對邊時,先由三角形內角和定理求出第三個角,再由正弦定理求另外兩邊；（2）已知兩邊一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；②如果已知的角為大邊所對的角時,由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求銳角唯一；③如果已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可求兩個角,要分類討論.【典型例題】例1．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由正弦定理得，即，解得，又，故，所以.故選：C例2．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）在中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由正弦定理可得，故，因為，故，故為銳角，故，故選：A.例3．（2021高二上·新疆·學業(yè)考試）在中，已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由正弦定理，可得，故選：D.例4．（2024高二下·云南·學業(yè)考試）在中，內角的對邊分別是，若，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【詳解】由正弦定理得，，得，得，故選：D【即時演練】1．在中，已知，，，則角的值為（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【詳解】，，，又，且，，則角的值為．故選：B.2．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，由正弦定理可得，即，解得，且不等于0，當為銳角時，，當為鈍角時，.綜上所述：.故選：B.3．中，，，，則．【答案】【詳解】，∵，∴，∴故答案為：4．在中內角所對的邊分別為，且，，，則．【答案】或【詳解】在中由正弦定理可知，所以，解得，因為為的內角，所以或，所以或，故答案為：或．考點二：余弦定理解三角形（1）已知兩邊及其一邊的對角解三角形：直接運用余弦定理求出另外一邊,再用余弦定理和三角形內角和定理求其他角.（2）已知三邊解三角形：已知先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦,從而求出第一個角;再利用余弦定理的推論求出第二個角;最后利用三角形的內角和定理求出第三個角.注意:若已知三角形三邊的比例關系,常根據(jù)比例的性質引入,從而轉化為已知三邊求解.【典型例題】例1．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）在中，，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【詳解】由，所以.故選：A例2．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）在中，是的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，得.故選：C例3．（2023高三上·廣西·學業(yè)考試）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則．【答案】1【詳解】,故答案為：1.例4．（2020高二下·山東·學業(yè)考試）在中，角的對邊分別為．若，則的值為．【答案】【詳解】由題意知，在中，，設，，，，由余弦定理得，所以.故答案為：.【即時演練】1．在中，已知，，三邊分別對應，，三角，，，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【詳解】由余弦定理可得，，故選:B.2．在中，角的對邊分別為.已知，則（

）A．1 B．2 C．1或2 D．或【答案】C【詳解】由余弦定理可得,即，解得或，故選：C3．長度分別為2，3，4的線段構成圖形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不構成三角形【答案】C【詳解】設，設其所對應的三個角分別為，根據(jù)大邊對大角的結論知該三角形的最大角為，由余弦定理得，故為鈍角，三角形形狀為鈍角三角形.故選：C4．已知中，，則AB中線CM長等于.【答案】/【詳解】由題意知，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案為：考點三：三角形的面積公式一般用公式進行求解即可【典型例題】例1．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）的內角的對邊分別為的面積為，且，則邊（

）A．7 B．3 C． D．【答案】C【詳解】由得，由余弦定理得，所以.故選：C.例2．（2020高三上·河北·學業(yè)考試）在中，內角所對的邊分別是．若，，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因為，，所以，所以，，，所以，.故選：C例3．（2020高二上·新疆·學業(yè)考試）的內角的對邊分別為，若，，的面積為，則.【答案】【詳解】由，解得，又，所以故答案為：例4．（2023高二·天津·學業(yè)考試）在中，若，，，則邊上的高為.【答案】/【詳解】在中，若，，，則設邊上的高為h，則,故答案為：【即時演練】1．在直角坐標平面內，的三頂點的坐標分別為，，，則的面積為（

）

A．120 B．60 C．30 D．15【答案】C【詳解】因為的三頂點的坐標分別為，，，所以，，,因為，所以,則直角三角形的面積為，故選：C.2．在中，若，且的面積為，則．【答案】【詳解】解：因為，且的面積為，，解得：.故答案為：3．在中，，其面積為，則邊.【答案】10【詳解】由，得，得，故答案為：104．的內角的對邊分別為,若,，,求的面積.【答案】【詳解】由余弦定理得，即，又,聯(lián)立解得，，故的面積為：.考點四：正余弦定理的大題綜合【典型例題】例1．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）的內角的對邊分別為，面積為.已知，再從①②兩個條件中選取一個作為已知條件，求的周長.①；②.注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】【詳解】若選擇①，，得，，得，所以；若選擇②，，得，因為，所以，那么，，，得，，，所以，所以的周長為.例2．（2024高三上·廣東·學業(yè)考試）已知在中，內角、、的對邊分別為、、，，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，，由余弦定理可得：，即；（2），，，由正弦定理可得：，故.例3．（2023高二下·福建·學業(yè)考試）已知分別為三個內角的對邊，.(1)求的值；(2)若，求b的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，因為，所以.（2）由正弦定理，，又，所以.例4．（2023高二·云南·學業(yè)考試）在中，角的對邊分別為.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)4；(2)1.【詳解】（1）在中，，由正弦定理，得，所以的值是4.（2）在中，，由余弦定理，得，則有，即，解得，所以的值為1.【即時演練】1．在中，角的對邊分別為，已知．(1)求角C的大??；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，．（2），，，．2．已知的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．(1)求角的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，則，又，則；（2）由（1）知，又，則由正弦定理知，，即.3．在中，角所對的邊分別為，已知.(1)若，求角的大??；(2)若，求邊上的高.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，，即，因，故,即是銳角，故；（2）如圖，由余弦定理，，知角是銳角，則，作于點，在中，,即邊上的高是.4．已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，．(1)若，，求c；(2)若的面積為，，求a．【答案】(1)2(2)【詳解】（1）因為，，所以，由正弦定理，可得.（2）因為的面積為，所以，因為，，所以，解得.由余弦定理可得，即.考點五：復數(shù)的概念及分類判斷一個復數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù),應首先保證復數(shù)的實部、虛部均有意義.其次根據(jù)分類的標準,列出實部、虛部應滿足的關系式再求解.【典型例題】例1．（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）已知為虛數(shù)單位，則下列復數(shù)為純虛數(shù)的是（

）A． B．5 C． D．【答案】D【詳解】由純虛數(shù)的概念：實部為0，虛部不為0，對比選項可知，選項中復數(shù)為純虛數(shù)的是.故選：D.例2．（2024高二下·湖南婁底·學業(yè)考試）已知復數(shù)，則的虛部為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】因為復數(shù)，所以的虛部為.故選：D.例3．（2024高二上·廣東·學業(yè)考試）若復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（

）A．5 B．-5 C．5 D．-5【答案】B【詳解】的虛部為-5.故選：B例4．（2023高三·廣東·學業(yè)考試）已知復數(shù)，要讓z為實數(shù)，則實數(shù)m為.【答案】2【詳解】為實數(shù)，則，．故答案為：2.【即時演練】1．已知復數(shù)的實部和虛部分別為5和，則實數(shù)和的值分別是（

）A．2， B．2，1 C．，2 D．1，【答案】B【詳解】由復數(shù)的實部和虛部分別為5和，得，所以.故選：B2．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位，為實數(shù)），則“為純虛數(shù)”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù)，則，即所以若為純虛數(shù)不一定得到，故充分性不成立；由一定能得到為純虛數(shù)，故必要性成立；故“為純虛數(shù)”是“”的必要非充分條件.故選：B3．若復數(shù)（為虛數(shù)單位）的實部和虛部相等，則實數(shù)的值為【答案】【詳解】根據(jù)題意可知的實部和虛部分別為，所以.故答案為：4．已知復數(shù)是純虛數(shù)，則.【答案】4【詳解】解：復數(shù)是純虛數(shù)，則，解得.故答案為：4.考點六：復數(shù)的四則運算【典型例題】例1．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．i【答案】D【詳解】由于，所以.故選：D例2．（2023高三上·廣西·學業(yè)考試）設復數(shù)，（i是虛數(shù)單位），則．【答案】【詳解】.故答案為：.例3．（2024高二下·天津河東·學業(yè)考試）為虛數(shù)單位，復數(shù)．【答案】【詳解】故答案為：例4．（2020高二下·山東·學業(yè)考試）復數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D【即時演練】1．復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，可得，所以，所以.故選：A.2．設復數(shù)，則的虛部是（

）A．1 B． C．i D．【答案】B【詳解】，虛部為，故選：B．3．已知為虛數(shù)單位，則（

）A．5 B．-1 C．1 D．7【答案】D【詳解】.故選：D.4．若復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，得.故選：D．考點七：復數(shù)的幾何意義找對應關系:復數(shù)的幾何表示法即復數(shù)可以用復平面內的點來表示,是解決此類問題的根據(jù).【典型例題】例1．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以對應的點的坐標為，故選：D例2．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知復數(shù)，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】因為，所以，所以在復平面內對應的點位于第三象限.故選：C例3．（2024高三上·江蘇南京·學業(yè)考試）在復平面內，復數(shù)z對應的點Z在第二象限，則復數(shù)對應的點所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由在復平面內，復數(shù)z對應的點Z在第二象限，設，則，顯然，所以點在第一象限，A正確.故選：A例4．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）在復平面內，對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】，對應的點，位于第二象限.故選：B【即時演練】1．在復平面內，復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】∵，∴該復數(shù)在復平面內對應的點為，位于第三象限.故選：C.2．復數(shù)在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】由題意得，對應點為，它在第二象限，故B正確.故選：B3．在復平面內，O為原點，向量對應的復數(shù)為.若點A關于虛軸的對稱點為點B，則向量對應的復數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為復數(shù)對應的點為，所以點A關于虛軸的對稱點為，所以對應的復數(shù)為.故選：C4．已知復數(shù)（且），為虛數(shù)單位，則x在復平面內對應的點所在的象限為象限.【答案】第二【詳解】易知復數(shù)在復平面內對應的點坐標為，由，可知，，故z在復平面內時對應的點所在的象限為第二象限.故答案為：第二考點八：求復數(shù)的模（1）兩個復數(shù)不全為實數(shù)時不能比較大小,而任意兩個復數(shù)的模均可比較大小.（2）復數(shù)模的意義是表示復數(shù)對應的點到原點的距離,公式為【典型例題】例1．（2024高二下·浙江紹興·學業(yè)考試）復數(shù)的模長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】復數(shù)的模長為.故選：A例2．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知復數(shù)z滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，即，，故選：A例3．（2022高二下·安徽馬鞍山·學業(yè)考試）．【答案】【詳解】因為，所以.故答案為：2.例4．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，則.【答案】【詳解】,所以.故答案為：.【即時演練】1．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知：，故選：A.2．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以.故選：D.3．（）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A.4．復數(shù)的實部與虛部之和為.【答案】5【詳解】由題意得，所以復數(shù)的實部與虛部之和為5.故答案為：5實戰(zhàn)能力訓練1．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【詳解】解：由正弦定理可知：，為外接圓的半徑，所以.故選：A2．在△ABC中，若，，，則邊上的高為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】由余弦定理，得，設邊上的高為，則，解得.故選：C.3．已知復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A．－1 B．1 C．－i D．i【答案】B【詳解】，虛部為1.故選：B4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，故，故故選：A.5．記的內角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由正弦