2.1函數(shù)的概念及其表示目錄01課標(biāo)要求 202落實(shí)主干知識 3一、函數(shù)的概念 3二、分段函數(shù)的應(yīng)用 3常用二級結(jié)論 303探究核心題型 5題型一：函數(shù)基本概念辨析 5題型二：函數(shù)同一性判定 7題型三：具體函數(shù)的定義域 9題型四：抽象函數(shù)定義域的求解 10題型五：定義域在函數(shù)應(yīng)用中的拓展 12題型六：函數(shù)解析式的求法 13考向1：待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定） 13考向2：換元法或配湊法 14考向3：方程組法 16考向4：求分段函數(shù)的解析式 17考向5：抽象函數(shù)解析式 20題型七：函數(shù)的值域 22考向1：觀察法 22考向2：配方法 23考向3：圖像法（數(shù)形結(jié)合） 24考向4：基本不等式法 26考向5：代數(shù)換元法與三角換元法 27考向6：分離常數(shù)法 29考向7：判別式法 30考向8：單調(diào)性法 31考向9：有界性法 32考向10：導(dǎo)數(shù)法 34題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用 3604好題賞析（一題多解） 3905數(shù)學(xué)思想方法 41①數(shù)形結(jié)合 41②轉(zhuǎn)化與化歸 42③分類討論 4306課時精練（真題、模擬題） 45基礎(chǔ)過關(guān)篇 45能力拓展篇 51

1、了解函數(shù)的含義.2、在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3、了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應(yīng)用.

一、函數(shù)的概念(1)一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù).記作：，.集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為.(2)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則.(5)同一函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)法則都相等時，兩個函數(shù)才相同.二、分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．常用二級結(jié)論一、抽象函數(shù)定義域原則：(1)定義域一定是的范圍；(2)同一對應(yīng)法則下的括號內(nèi)整體范圍一樣.①已知的定義域是，求的定義域解不等式，其解集就是的定義域.②已知的定義域是，求的定義域利用求的值域，該值域就是的定義域.③已知的定義域是，求的定義域利用先求出的值域，然后解不等式，其解集就是的定義域.二、求值域、最值的方法1、觀察法：主要針對一些簡單函數(shù)，或作簡單變形后觀察，即可求出值域或最值.2、配方法(對稱軸法)：對于形如，形式的二次函數(shù)，利用配方法或直接利用對稱軸完成.可以結(jié)合圖象完成求值域或最值.3、換元法：代數(shù)換元法，三角換元法.常見的模型①，令，則.②，令，則；③，令，則；④，令，則；⑤，令，則；⑥令，則；⑦令，則.⑧，令，(或令，).⑨時，令，；⑩令，則.4、圖象法(數(shù)形結(jié)合法)：①一些簡單函數(shù)及分段函數(shù)的求值域或最值常利用圖象完成.②求或的值域③根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的幾何意義.5、單調(diào)性法：若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域或最值.6、基本（均值）不等式法7、有界性法：含，，，，，，的函數(shù)，若可用表示它們，則常利用其有界性來求值域。8、判別式法9、導(dǎo)數(shù)法：通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值與端點(diǎn)值，從而得出值域或最值.

題型一：函數(shù)基本概念辨析【例1】（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知集合，是的函數(shù)，且滿足，則這樣的函數(shù)的個數(shù)為（

）A．31 B．33 C．41 D．133【答案】C【解析】因?yàn)?，若，則，所以，若僅，設(shè)，則，所以函數(shù)不能僅有，在中至少還要有1個函數(shù)值等于1，具體分類如下：1、若5個函數(shù)值都為1，此時共有1種情況；2、若僅有4個函數(shù)值為1,又，4個中取3個函數(shù)值為1有種，另一個的取值有3種情況，此時共有種；3、若僅有3個函數(shù)值為1，4個中取2個函數(shù)值為1有種，另外2個的取值有種，此時共有種；4、若僅有2個函數(shù)值為1，4個中取1個函數(shù)值為1有種，另3個的取值有1種，此時有種情況；綜上共有，故選：C.【解題總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷：（1）A，B是非空的實(shí)數(shù)集；（2）數(shù)集A中的任何一個元素在數(shù)集B中只有一個元素與之對應(yīng)，即“多對一”，不能“一對多”，而數(shù)集B中有可能存在與數(shù)集A中元素不對應(yīng)的元素.【變式1-1】存在函數(shù)滿足：對任意都有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，取得，取得，矛盾，即不存在函數(shù)滿足，A不是；對于B，取得，取得，矛盾，即不存在函數(shù)滿足，B不是；對于C，取得，取得，矛盾，即不存在函數(shù)滿足，C不是；對于D，為R上的增函數(shù)，對任意都有唯一的滿足，則存在函數(shù)滿足，D是.故選：D【變式1-2】設(shè)是含數(shù)2的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，的可能取值只能是（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】問題相當(dāng)于圓上由12個均勻分布的點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后會與下一個點(diǎn)重合，我們可以通過代入和賦值的方法當(dāng)時，這12個點(diǎn)對應(yīng)的圓心角分別為，然而此時有5組關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，即一個對應(yīng)2個，因?yàn)楹瘮?shù)的定義要求一個只能對應(yīng)一個，排除選項(xiàng)，因此只有當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)后得到的12個點(diǎn)，沒有任何兩個點(diǎn)關(guān)于軸對稱，此時每個都滿足一個只會對應(yīng)一個.故選：A.【變式1-3】若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋芍狝圖象定義域不滿足條件；B圖象不滿足函數(shù)的值域；C圖象滿足題目要求；D圖象，不是函數(shù)的圖象；故選：C．【變式1-4】下列可以作為集合A到集合B的一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)：當(dāng)x為負(fù)數(shù)時，B中沒有元素與之對應(yīng)，故A選項(xiàng)不正確；B選項(xiàng)：當(dāng)x為零時，B中沒有元素與之對應(yīng)，故B選項(xiàng)不正確；C選項(xiàng)：一個自變量對應(yīng)兩個因變量，不符合函數(shù)定義，故C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)：多個自變量對應(yīng)一個函數(shù)值，符合函數(shù)定義，故D選項(xiàng)正確．故選：D題型二：函數(shù)同一性判定【例2】下列四組函數(shù)中，兩個函數(shù)表示的是同一個函數(shù)的是（

）.A．與B．與C．與D．與【答案】D【解析】對于A，易知的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，兩函?shù)定義域不同，可知A錯誤；對于B，顯然的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)椋瑑珊瘮?shù)定義域不同，可知B錯誤；對于C，兩函數(shù)定義域均為，但的值域?yàn)?，而的值域?yàn)?，兩函?shù)值域不同，即C錯誤；對于D，易知與的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系均相同，即D正確.故選：D【解題總結(jié)】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．【變式2-1】下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【解析】A中，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，故A錯誤；B中，，B正確；C中，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋蔆錯誤；D中，的定義域?yàn)?，由可得的定義域?yàn)椋珼錯誤．故選：B.【變式2-2】中文“函數(shù)”一詞，最早是由清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項(xiàng)中是同一個函數(shù)的是（）A． B．C． D．和【答案】B【解析】對于A，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應(yīng)關(guān)系不同，和不是同一個函數(shù)，故A錯誤；對于B，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，和是同一個函數(shù)，故B正確；對于C，定義域?yàn)槎x域?yàn)?，故和定義域不相同，和不是同一個函數(shù)，故C錯誤；對于D，定義域?yàn)槎x域?yàn)?故和定義域不相同，和不是同一個函數(shù)，故D錯誤；故選：B.【變式2-3】下列函數(shù)屬于同一函數(shù)的是：（

）.A．B．C．D．以上均不正確【答案】C【解析】A選項(xiàng)，無意義，，故兩函數(shù)定義域不同，錯誤；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，錯誤；C選項(xiàng)，由解析式可知兩函數(shù)定義域都是相同，約分后與相同，C正確.故選：C題型三：具體函數(shù)的定義域【例3】函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意可得，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【解題總結(jié)】對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．【變式3-1】（2025·上?！と＃┖瘮?shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【變式3-2】（2025·北京·二模）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥坑珊瘮?shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【變式3-3】（2025·北京朝陽·一模）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥繉τ诤瘮?shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.題型四：抽象函數(shù)定義域的求解【例4】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)榈亩x域?yàn)?，則，即，所以的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：【解題總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法：（1）若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域．（2）已知的定義域，求的定義域，則用換元法求解.2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再取交集．【變式4-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)橛?，得，所以的定義域?yàn)椋?，得，所以函?shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海咀兪?-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】由題設(shè)，可得，則.故答案為：【變式4-3】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以要使函?shù)有意義，則，所以，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：.題型五：定義域在函數(shù)應(yīng)用中的拓展【例5】已知函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得對任意實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，滿足，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【解題總結(jié)】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進(jìn)行分類討論．【變式5-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕觥坑深}設(shè)知，在R上恒成立，所以，則，故，所以在上單調(diào)遞增，故.故答案為：【變式5-2】若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意知，對任意成立，且在上單調(diào)遞減.∴實(shí)數(shù)應(yīng)滿足解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式5-3】若函數(shù)的定義域和值域都為，則的值是．【答案】【解析】由題意知為一次函數(shù)，則所以.故答案為：.題型六：函數(shù)解析式的求法考向1：待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）【例6】已知函數(shù)為二次函數(shù)，的圖象過點(diǎn)，對稱軸為，函數(shù)在R上最小值為，則的解析式為.【答案】【解析】因?yàn)榈膶ΨQ軸為，函數(shù)在上最小值為，所以可設(shè)，將代入，得，解得，故.故答案為：.【變式6-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時滿足下列二個條件的一個的解析式為.①，；②在上單調(diào)遞減.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意為指數(shù)型函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，可以為，如．故答案為：．（答案不唯一）．【變式6-2】一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則.【答案】【解析】設(shè)，則，，則.又在上單調(diào)遞增，即，所以，，則.故答案為：【變式6-3】已知函數(shù)對任意滿足：，二次函數(shù)滿足：且．則，.【答案】【解析】（1）①，用代替上式中的，得②，聯(lián)立①②，可得；設(shè)，所以，即，所以，解得，，又，得，所以.故答案為：，考向2：換元法或配湊法【例7】若函數(shù)，則．【答案】【解析】利用換元法即可得到答案．令，則，，∴函數(shù)的解析式為．故答案為：．【變式7-1】若，則的解析式為.【答案】【解析】令，則，代入得:，即.故答案為：【變式7-2】已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，且，則.【答案】【解析】令，則，中，令得，故，顯然單調(diào)遞增，且，故，所以，.故答案為：.【變式7-3】（2025·高三·江蘇南京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)滿足，且，則．【答案】或2021.【解析】令，則，令，則，解得或.而，故.因此.則，即，因此或當(dāng)時，，時，此時；當(dāng)時，.故答案為：或2021.【變式7-4】若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的值為.【答案】【解析】函數(shù)，又的值域?yàn)椋?，，可得，解?故答案為：.考向3：方程組法【例8】已知函數(shù)滿足，則.【答案】【解析】由①，得②，由①②得，則，令，則，所以，故.故答案為：.【變式8-1】（2025·高三·遼寧·期末）已知函數(shù)滿足，則.【答案】【解析】由，①將替換成，可得：，②再將①中替換成：，可得：，③①②相減可得：，④③④相加可得：，所以，故答案為：【變式8-2】若函數(shù)滿足，則．【答案】【解析】由，可得，聯(lián)立兩式消去，可得．故答案為：.【變式8-3】已知，則.【答案】【解析】因?yàn)?，①所以，所以，②?①可得，．故答案為：．考向4：求分段函數(shù)的解析式【例9】（2025·安徽池州·二模）定義在上的函數(shù)滿足.若，對，，則，并寫出的一個函數(shù)解析式.【答案】4【解析】由得：當(dāng)時，；當(dāng)時，.假設(shè)，使得，則題意得，即，取時，有，即這與矛盾.所以不，使得.綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，①.當(dāng)時，；當(dāng)時，②.對于①而言：當(dāng)時，即，則，所以，所以，注意到的任意性，所以當(dāng)時，即，則，所以，所以，注意到的任意性，所以所以，即，解得或即或，舍.所以，則對于②而言：同理得，則.故答案為：4；.【變式9-1】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，．當(dāng)時，寫出函數(shù)的解析式【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.故答案為：【變式9-2】（2025·高三·黑龍江七臺河·期中）設(shè)函數(shù)，且，，則的解析式為．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)解析式為，則，則，由可得，，解得，所以.【變式9-3】設(shè)函數(shù)，若，，則的解析式為，關(guān)于的方程的解的個數(shù)為．【答案】3【解析】時的解析式，則有：得：函數(shù)的解析式為．關(guān)于的方程：解的個數(shù)，就是函數(shù)，交點(diǎn)的個數(shù)，畫出兩個函數(shù)的圖象如圖：由函數(shù)的圖象可知，兩個函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，所以方程有3個解；故答案為：；3．考向5：抽象函數(shù)解析式【例10】函數(shù)滿足，，且，則.【答案】【解析】令，則，所以．令，則，所以．令，，則，所以．令，，則，所以．當(dāng)時，，則．當(dāng)時，上式也成立，所以，所以．【變式10-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，若，則函數(shù)的解析式為.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，取，得，所以，，，，以上各式相加得．故答案為：.【變式10-2】函數(shù)滿足：對任意、，都有，則所有滿足條件的函數(shù)的解析式為或．【答案】【解析】令可得，再令，可得，解得或，若，可得，可得，若，可得，可得.經(jīng)檢驗(yàn)，、均滿足題意.故答案為：；.【變式10-3】寫出一個同時具有性質(zhì)①對任意，都有；②的函數(shù).【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)閷θ我?，都有，即函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，由于，即可取，故答案為：（答案不唯一）.【變式10-4】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且滿足對任意，，等式恒成立，則的解析式為．【答案】【解析】是定義在上的函數(shù)，且對任意恒成立，令，得，即．故答案為：題型七：函數(shù)的值域考向1：觀察法【例11】下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的值域?yàn)?，，故排除；函?shù)的值域?yàn)椋逝懦?；函?shù)的值域?yàn)椋蕽M足條件；函數(shù)的值域?yàn)椋?，故排除，故選：．【變式11-1】函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕觥慨?dāng)在第一象限時，，當(dāng)在第二象限時，，當(dāng)在第三象限時，，當(dāng)在第四象限時，，當(dāng)在坐標(biāo)軸上時，函數(shù)無意義，綜上，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【變式11-2】函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)椋?，，所以，即的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?考向2：配方法【例12】函數(shù)的最大值為.【答案】1【解析】函數(shù)，定義域?yàn)椋?，所以，所以，函?shù)的圖象為開口向下，對稱軸方程為的拋物線，所以時，函數(shù)取最大值，最大值為，即函數(shù)的最大值為1．故答案為：1．【變式12-1】函數(shù)的值域是.【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象對稱軸為直線，開口向下，所以，，故函數(shù)的值域是.故答案為：【變式12-2】函數(shù)的值域.【答案】【解析】將函數(shù)化為頂點(diǎn)式：,拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為，所以開口向下.對稱軸為.因?yàn)?，所以?dāng)時，，取得最大值.當(dāng)時，，取得最小值.函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【變式12-3】若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t其值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥慨?dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以值域?yàn)椋枷?：圖像法（數(shù)形結(jié)合）【例13】給定函數(shù)，用表示函數(shù)中的較大者，即，則的最小值為.【答案】/【解析】令，解得或，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，取得最小值為．故答案為：．【變式13-1】定義為中的最小值，則的最大值為.【答案】【解析】令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)，如圖，函數(shù)的圖象如圖中實(shí)線部分，由解得，由解得，于是，函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)為，而點(diǎn)，所以當(dāng)時，取得最大值.故答案為：【變式13-2】函數(shù)的最大值為.【答案】3【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.故函數(shù)的最大值為3.故答案為：3.【變式13-3】函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥苛?，則，則半圓與直線存在交點(diǎn)，半圓方程為：，畫出圖象如圖：當(dāng)直線過點(diǎn)，即圖中直線時，；當(dāng)直線與半圓相切時，即圖中直線時，，得（舍），故，即值域?yàn)?故答案為：考向4：基本不等式法【例14】函數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，令，則，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即函數(shù)的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：【變式14-1】函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥繉τ诤瘮?shù)，有，可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時等號成立，故函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【變式14-2】已知滿足，且，則的值域?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕觥坑珊瘮?shù)滿足，且，令，可得，因?yàn)?，可得，再令，可得，所以，令，可得，即，再令，可得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的值域?yàn)?故答案為：.考向5：代數(shù)換元法與三角換元法【例15】若，則的取值范圍是________【答案】【解析】解：因?yàn)樗越獾?，令，則所以，因?yàn)?，所以，所以所以故答案為：【變?5-1】（2025·高三·河南·開學(xué)考試）已知且，則的最小值為．【答案】/【解析】，則，，令，則，由，，知，即恒成立，又由，即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由，故當(dāng)時等號取到，所以，當(dāng)，即時，取最小值，且最小值為.故答案為：.【變式15-2】已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕觥恳椎檬菧p函數(shù)，所以．令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?【變式15-3】函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥苛睿瑒t，則，即為，其圖象對稱軸為，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，故函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋嚎枷?：分離常數(shù)法【例16】，，則的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意得，．令，則，則可化為．∵函數(shù)，在上均為增函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∵時，，時，，∴的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?【變式16-1】函數(shù)在上的最大值為；最小值為．【答案】/【解析】令，則，∵，∴，∴，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∵，，∴，，∴函數(shù)在上的最大值和最小值分別為和．故答案為：；.【變式16-2】函數(shù)的值域是.【答案】且【解析】函數(shù)中，，則且，于是，由，得；由，得，所以原函數(shù)的值域?yàn)榍?故答案為：且考向7：判別式法【例17】已知，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.【變式17-1】函數(shù)的最大值為．【答案】/0.25【解析】原函數(shù)可以化簡為在時有解，當(dāng)時，，當(dāng)不等于0時，，解得且不等于0，故所求最大值為.故答案為：.【變式17-2】設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則的最大值是，最小值是．【答案】8【解析】將，整理得，故，是的兩個根，由，解得，所以，當(dāng)時，的最大值為8，當(dāng)時，的最小值為．故答案為：8；考向8：單調(diào)性法【例18】函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，，由?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)為增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，故答案為：.【變式18-1】函數(shù)的最小值為．【答案】/【解析】的定義域滿足，即.則函數(shù)定義域?yàn)?在內(nèi)單調(diào)遞減，在也是單調(diào)遞減，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則.故答案為：．【變式18-2】函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥浚?，則時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則，若，則，故函數(shù)值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?【變式18-3】（2025·安徽·一模）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】因?yàn)榕c在上均為減函數(shù)，且當(dāng)時，，所以，故的值域?yàn)?故答案為：考向9：有界性法【例19】（2025·甘肅·二模）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】#【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時取等號，所以，則的最小值為.故答案為：【變式19-1】設(shè)均為非負(fù)數(shù)，且滿足關(guān)系式，則的最大值為.【答案】/【解析】設(shè)結(jié)合原條件，有整體，解得：.代入可得.由于均為非負(fù)數(shù)，則，解得：.當(dāng)，即時，;當(dāng)，即時，.故答案為：.【變式19-2】函數(shù)的值域是________________.【答案】【解析】由題意，因?yàn)椋裕?，所以函?shù)的值域?yàn)?，故答案為?考向10：導(dǎo)數(shù)法【例20】函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】，當(dāng)時，.，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，.，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，.，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又為連續(xù)函數(shù)，因此函數(shù)的最小值為.故答案為：.【變式20-1】已知的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，對稱軸為：，則，設(shè)，則．當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增；所以，即的最小值為．故答案為：【變式20-2】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】（或）【解析】由，可得，則，則.令，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而的最小值為，即的最小值為.故答案為：.【變式20-3】函數(shù)在上的最小值為．【答案】/【解析】得，在上，，所以當(dāng)時，；可得的增區(qū)間為，當(dāng)時，，可得的減區(qū)間為，又，所以在上的最小值為.故答案為：.題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用【例21】（多選題）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，不等式的解集為B．若函數(shù)為上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【解析】A：當(dāng)時，，令，解得；令，解得或，所以不等式的解集為，故A正確；B：易知在上單調(diào)遞增，圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為直線，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，解得，故B錯誤；C：易知二次函數(shù)的最小值為，由，解得或，要使的值域?yàn)镽，需，解得，故C正確；D：令，解得；令，解得或.當(dāng)時，與軸無交點(diǎn)，與軸有2個交點(diǎn)；當(dāng)時，與軸有1個交點(diǎn)，與軸有2個交點(diǎn)；當(dāng)時，與軸有1個交點(diǎn)，與軸有1個交點(diǎn)；當(dāng)時，與軸有1個交點(diǎn)，與軸無交點(diǎn).綜上，若有兩個零點(diǎn)，則或，故D正確.故選：ACD【解題總結(jié)】1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個區(qū)間，選定該區(qū)間對應(yīng)的解析式代入求值2、函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi).【變式21-1】（多選題）（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】對于A，根據(jù)題意，由，故A正確；對于B，根據(jù)題意，由，故B正確；對于C，根據(jù)題意，由，故C錯誤；對于D，由于當(dāng)時，函數(shù)，滿足，所以圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，所以，，即；當(dāng)時，，故，；當(dāng)時，由于，所以此時；當(dāng)時，由于，所以此時，以此類推，根據(jù)定義域?yàn)?，所以可得函?shù)的值域?yàn)椋蔇正確.故選：ABD.【變式21-2】（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)則的解集是．【答案】【解析】當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，因此函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，于是，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：【變式21-3】（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?故答案為：

1．求函數(shù)的最小值.【解析】解法一：函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)..①又，即，對①式兩邊平方，得.整理，得.②對②式兩邊平方，得，再整理，得.③，x為實(shí)數(shù)，，化簡并整理，得，即，又，，，當(dāng)時，方程③為，即，解得，故函數(shù)的最小值為.解法二：令，，，則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為.則（其中運(yùn)用三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)且僅當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時取“等號”）.2．已知函數(shù)滿足，若，則

A．25 B．125 C．625 D．15625【答案】C

【解析】解法一：由題意取，可得即則故選解法二：令，則，所以，即，所以，則故選解法三：由可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)，可以快速得到故選

①數(shù)形結(jié)合1．已知函數(shù)，若的值域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A． B． C． D．【答案】B

【解析】已知與均是增函數(shù)，且有兩個交點(diǎn)和，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，由圖像可知，a的取值范圍為2．已知函數(shù)，那么不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】分別畫出與的圖象，如下圖所示：由圖象知，不等式的解集為故選：②轉(zhuǎn)化與化歸3．已知對于任意，都有，且，則

A．4 B．8 C．64 D．256【答案】D

【解析】因?yàn)?，且，所以，，所以故選：4．已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意的a，R，，，則

A． B．0 C．2 D．1【答案】C

【解析】令，得，再令，得，令，得，則，因?yàn)椋?，?dāng)時，，解得故選：5．已知函數(shù)滿足：對，都有，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】，則，則，即，所以，即故選③分類討論6．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】當(dāng)時，函數(shù)，因?yàn)閷?shù)函數(shù)在時單調(diào)遞增，，所以，即的值域?yàn)?，?dāng)時，，，此時，函數(shù)的值域?yàn)椴粷M足值域?yàn)镽，當(dāng)時，函數(shù)是二次函數(shù)，圖象為拋物線，對稱軸為，要使函數(shù)的值域?yàn)镽，則的值域要包含因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向下才能有可能包含所以，且在處的函數(shù)值因?yàn)橐呀?jīng)滿足這一條件，同時判別式，解不等式，即，因式分解得，解得，又因?yàn)?，所以，故選：7．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A． B． C． D．【答案】C

【解析】當(dāng)時，，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，故當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：8．已知函數(shù)，若，則a的值為

A．0或 B．0或 C． D．【答案】A

【解析】若，即，可得，解得：，符合；若，即，可得，解得：，符合；綜上可知：a的值為0或，故選：

基礎(chǔ)過關(guān)篇1．（2025·河南許昌·三模）下列函數(shù)中，值域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，定義域?yàn)?，而，∴該函?shù)不是奇函數(shù).故A錯誤.對于函數(shù)，定義域?yàn)椋?，∴該函?shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).故B錯誤.對于函數(shù)，定義域?yàn)椋嘣摵瘮?shù)是奇函數(shù).對于值域，其值域?yàn)椋皇?故C錯誤.對于函數(shù)，定義域?yàn)椋?，∴該函?shù)是奇函數(shù).當(dāng)趨于正無窮時，趨于正無窮；當(dāng)趨于負(fù)無窮時，趨于負(fù)無窮；并且函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，值域?yàn)?故D正確.故選:D.2．（2025·山東威?！と＃┮阎瘮?shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，又函數(shù)的值域?yàn)椋詴r，函數(shù)的值域要取到的所有實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)時，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，當(dāng)時，，即，所以，即的取值范圍是.故選：C3．（2025·重慶·三模）已知定義在上的函數(shù)滿足對任意的.則（

）A． B．0 C．2 D．1【答案】C【解析】因?yàn)閷θ我獾?，令，則，即；令，則，即；可得，令，則，解得.故選：C.4．（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?故選：A.5．（2025·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，則，所以.故選：A6．（2025·山西·模擬預(yù)測）已知，則（

）A．0 B．1 C．0或1 D．2【答案】B【解析】，故，所以，故，解得.故選：B.7．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，都有，且，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，又，有，又由，有，故，．故選：A．8．對于函數(shù)，若存在兩個常數(shù)a，b，使得，則稱是“平方差關(guān)聯(lián)函數(shù)”．已知函數(shù)是“平方差關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】因?yàn)槭恰捌椒讲铌P(guān)聯(lián)函數(shù)”，所以，化簡得，則解得故，故選：B．9．（多選題）（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，由，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，由選項(xiàng)C知，且，，故D正確.故選：BCD.10．（多選題）（2025·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，則的值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【解析】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得（舍去）或.綜上所述，或.故選：CD.11．（多選題）（2025·福建·模擬預(yù)測）設(shè)是非空的實(shí)數(shù)集，若，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)值域?yàn)?D．函數(shù)無極值【答案】AD【解析】由函數(shù)的定義可知，集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)榧系淖蛹?，故A正確，B錯誤；對于C，當(dāng)，時，值域不為，故C錯誤；對于D，，所以單調(diào)遞增，無極值，故D正確.故選：AD.12．（2025·遼寧沈陽·三模）已知函數(shù)，則的值等于．【答案】【解析】因?yàn)?，則.故答案為：13．（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則.【答案】2024【解析】，，即，，故答案為：2024.14．（2025·福建廈門·三模）已知函數(shù)若，則．【答案】8【解析】，所以，因?yàn)闀r，，所以，