PAGE培優(yōu)點(diǎn)11利用導(dǎo)數(shù)解決直線與曲線間的距離問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 4題型一：曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最短 4題型二：曲線上一點(diǎn)到直線的距離最短 4題型三：曲線上一點(diǎn)與拋物線上一點(diǎn)的距離最短 5題型四：曲線上一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的距離最短 5題型五：互為反函數(shù)的兩曲線上兩點(diǎn)距離最短 6題型六：非反函數(shù)的兩曲線上兩點(diǎn)距離最短 6題型七：水平方向距離最短 7題型八：豎直方向距離最短 8題型九：平移切線法 804課時(shí)精練 10

高考中導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題常結(jié)合函數(shù)與幾何，考查化歸轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合能力。核心思路為將距離問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，常見題型包括曲線與直線距離、兩曲線間距離等。例如，求曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離時(shí)，可通過導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，使切線與給定直線平行，進(jìn)而確定切點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算最小距離。此外，還可通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求解距離的最值。此類問題需考生熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性與極值，以及距離公式等知識(shí)點(diǎn)，通過綜合運(yùn)用這些知識(shí)，靈活解決高考中的“距離”問題。

在導(dǎo)數(shù)涉及的“距離”問題求解中，化歸轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想是重要工具，可將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離或兩點(diǎn)間距離問題，再借助導(dǎo)數(shù)法求距離最值。方法一是轉(zhuǎn)化化歸。當(dāng)處理動(dòng)點(diǎn)間距離問題時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題。這里的“點(diǎn)”通常通過導(dǎo)數(shù)求得切點(diǎn)。例如，已知曲線和直線，要求曲線上一點(diǎn)到直線的最小距離，可先對曲線求導(dǎo)，找到與直線平行的切線，進(jìn)而確定切點(diǎn)，再計(jì)算切點(diǎn)到直線的距離，此距離即為所求最小距離。方法二是構(gòu)造函數(shù)。根據(jù)距離問題的條件，構(gòu)造合適的函數(shù)，然后求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而找到函數(shù)的極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值就是距離的最值。這兩種方法巧妙結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，為解決導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題提供了有效途徑。

題型一：曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最短【例1】（2025·廣東廣州·一模）若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【變式1-1】（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2025·高三·安徽蕪湖·期末）若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)距離最小值為，則實(shí)數(shù)為A． B． C． D．題型二：曲線上一點(diǎn)到直線的距離最短【例2】（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．6 C． D．9【變式2-1】函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2-2】動(dòng)直線分別交直線和曲線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【變式2-3】已知，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為題型三：曲線上一點(diǎn)與拋物線上一點(diǎn)的距離最短【例3】（2025·安徽·三模）已知且，若定義，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【變式3-1】（2025·湖南衡陽·二模）設(shè).，則的最小值為A． B．1 C． D．2【變式3-2】（2025·湖北·一模）設(shè)，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2025·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．題型四：曲線上一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的距離最短【例4】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．【變式4-1】（2025·高三·山東青島·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．【變式4-2】（2025·廣東佛山·一模）若分別是曲線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為.【變式4-3】已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．【變式4-4】已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長度的最小值為（

）A． B．C． D．題型五：互為反函數(shù)的兩曲線上兩點(diǎn)距離最短【例5】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對稱，若，分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2025·高三·寧夏石嘴山·開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別是曲線和曲線上的任意一點(diǎn)，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-2】設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【變式5-3】設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，若的最小值為，則.題型六：非反函數(shù)的兩曲線上兩點(diǎn)距離最短【例6】設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______．【變式6-1】已知是曲線：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線：上任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．C．2 D．【變式6-2】（2025·高三·遼寧·期中）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在函數(shù)，上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．題型七：水平方向距離最短【例7】已知直線分別與直線、曲線交于點(diǎn)、，則線段長度的最小值為.（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）【變式7-1】（2025·陜西安康·三模）已知直線分別與直線、曲線交于點(diǎn)A，B，則線段AB長度的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【變式7-2】已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于，兩點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．B．，曲線在點(diǎn)處的切線總與曲線在點(diǎn)處的切線相交C．的最小值為1D．，使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線【變式7-3】直線分別與曲線，與交于點(diǎn)，則的最小值為A． B．1 C． D．2題型八：豎直方向距離最短【例8】直線分別與曲線和曲線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．2 C． D．【變式8-1】動(dòng)直線與函數(shù)，，的圖象分別交于點(diǎn)A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式8-2】動(dòng)直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式8-3】設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，已知，則的最小值與最大值之積為（

）A． B．C． D．題型九：平移切線法【例9】已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線（）上，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【變式9-1】已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【變式9-2】已知直線分別與直線：及曲線：交于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A． B．3 C． D．【變式9-3】已知直線與曲線，分別交于點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．e

1．（2025·河北石家莊·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，向量，且，若為拋物線上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A． B． C． D．4．（2025·高三·遼寧鞍山·期末）已知，若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．85．已知A是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．6．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2025·高三·天津河?xùn)|·期中）設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，則能取最小值時(shí)，以下符合條件的的區(qū)間為(

).A． B． C． D．8．（2025·甘肅·模擬預(yù)測）已知，分別為曲線和直線上的點(diǎn)，則的最小值為.9．若，分別是函數(shù)與圓上的點(diǎn)，則的最小值為．10．設(shè)，當(dāng)a，b變化時(shí)，的最小值為.11．點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)則點(diǎn)到直線的最短距離為．12．已知點(diǎn)M，N為圓上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q為線段中點(diǎn)，則的最小值為13．已知直線，分別與直線和曲線交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，則線段MN長度的最小值是．14．若直線分別與曲線，交于，兩點(diǎn)，則線段長度的最小值為．15．已知直線與函數(shù)，若直線與直線、曲線分別交于點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，．16．已知直線y=a分別與曲線y=3x+2，y=2x+lnx交于A，B兩點(diǎn)，則∣AB∣的最小值為．17．（2025·湖北·一模）已知直線與曲線分別交于兩點(diǎn)，則的最