試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁安徽省合肥市廬江中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期調(diào)研考試（一）數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C．2 D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則“，”是“的圖像關(guān)于點對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．定義在上的奇函數(shù)滿足，.當(dāng)時，，則（

）A． B． C．0 D．15．如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為，，，與的夾角為，且，與的夾角為．若，則（

）A． B． C． D．6．已知點M，N為圓上兩點，且，點P在直線上，點Q為線段中點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．若，，，則正數(shù)大小關(guān)系是（）A． B．C． D．8．已知雙曲線與平行于軸的動直線交于兩點，點在點左側(cè)，為雙曲線的左焦點，延長至點，使，連接交軸于點，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3二、多選題9．如圖，在正方體中，E、F分別是的中點.下列結(jié)論正確的是（

）A．EF與垂直 B．與平面C．平面 D．EF與所成的角為10．設(shè)O為坐標原點，直線l過拋物線C：的焦點F且與C交于A，B兩點（點A在第一象限），，l為C的準線，，垂足為M，，則下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為C．若，則D．x軸上存在一點N，使為定值11．在中，，，D為邊BC的中點，則（

）A． B． C． D．最大時，三、填空題12．已知，直線與曲線相切，則的最小值是．13．已知等比數(shù)列為嚴格增數(shù)列，其前項和為若，，則該數(shù)列的公比為．14．設(shè)為隨機變量，從邊長為1的正方體12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，；當(dāng)兩條棱異面時，；當(dāng)兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離，則數(shù)學(xué)期望=.四、解答題15．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)求不等式的解集．16．在數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列并求數(shù)列的通項公式．(2)若，求數(shù)列的前n項和．17．如圖，在所有棱長都為2的三棱柱中，點E是棱的中點，．(1)求證：平面⊥平面；(2)若，點P滿足，求直線與所成角的余弦值．18．已知橢圓的左，右焦點分別為橢圓上任意一點，.(1)求橢圓的方程；(2)若為圓上任意一點，求的最小值；(3)已知直線與軸交于點，且與橢圓交于兩點，為坐標平面內(nèi)不在直線上的動點，若直線斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：動點在定直線上，并求直線的方程.19．隨機游走在空氣中的煙霧擴散、股票市場的價格波動等動態(tài)隨機現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在平面直角坐標系中，粒子從原點出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動一個單位，且向四個方向移動的概率均為例如在1秒末，粒子會等可能地出現(xiàn)在四點處.(1)設(shè)粒子在第2秒末移動到點，記的取值為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)記第秒末粒子回到原點的概率為.（i）已知求以及；（ii）令，記為數(shù)列的前項和，若對任意實數(shù)，存在，使得，則稱粒子是常返的.已知證明：該粒子是常返的.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《安徽省合肥市廬江中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期調(diào)研考試（一）數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案BCADCBBCABCABD題號11答案BCD1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2．C【分析】首先求出集合A，再由補集的概念求即可.【詳解】由題意得，又因為，所以，故選：C.3．A【分析】由整體代入法求得的對稱中心，即可判斷；【詳解】解：，令，即，，即的對稱中心，，，”是“的圖象關(guān)于點對稱的”充分不必要條件，故選：A4．D【分析】由可得，再結(jié)合奇函數(shù)的定義和周期的定義可得函數(shù)的周期，然后利用周期化簡，從而可求得結(jié)果.【詳解】由，得，即，因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以所以的周期，所以.因為為上的奇函數(shù)，所以，因為當(dāng)時，，所以，由，當(dāng)時，所以.故選：D.5．C【分析】以為坐標原點建立平面直角坐標系，利用三角函數(shù)的知識可求得坐標，由向量的坐標運算可構(gòu)造方程組求得的值，進而得到結(jié)果.【詳解】以為坐標原點可建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，又，，又與的夾角為，，，又，，，，解得：，.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量基本定理的相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠建立起平面直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標運算來進行求解.6．B【分析】將圓的方程化為標準方程，從而得到圓心坐標和半徑，再根據(jù)弦長求出圓心到弦MN的距離，進而確定點的軌跡，最后根據(jù)點到直線的距離公式求出的最小值.【詳解】已知圓的方程為，將其配方可得.可知該圓的圓心坐標為，半徑.因為點為線段MN的中點，根據(jù)垂徑定理可知.已知，則.在中，根據(jù)勾股定理.所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.已知點在直線上，可得圓心到直線的距離為：.因為點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑，即故選：B.7．B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點的橫坐標，再數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】由，則為與交點的橫坐標，由，則為與交點的橫坐標，由，即，則為與交點的橫坐標，作出，，，的圖象如下所示，由圖可知，.故選：B8．C【分析】利用直線平行于軸，可得三角形相似，得出，再利用已知條件中的線段的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化列出等式，化簡即可求解.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，，，其中，則，，，直線平行于軸，，，，，，即，點在雙曲線上，，，.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于利用直線平行于軸，得到，從而得到，設(shè)，，，求出，，，化簡并結(jié)合雙曲線定義，即可求解.9．ABC【分析】連接，運用中位線定理推出，結(jié)合線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，分析判斷可得A、B、C正確；再由異面直線所成的角的概念判斷可得D錯誤．【詳解】對A：連接，，則交于，又為中點，可得，由平面，平面，可得，故，又，所以，故A正確；對B：連接，，由正方體性質(zhì)可知平面，可得平面，故B正確；對C：由，平面，平面，故平面，故C正確；對D：與所成角就是，連接，由正方體性質(zhì)可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故D錯誤；故選：ABC.10．ABD【分析】對于A項，利用過焦點的弦長最短時是通徑的結(jié)論即得；對于B項，利用拋物線上點的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化再結(jié)合圖象，三點共線時，對應(yīng)線段和最小即得；對于C項，由條件推理得點A的坐標，得到直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求得兩點即得；對于D項，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達定理，將所求式代入化簡，分析推理即得.【詳解】如圖，對于A項，因直線經(jīng)過點,故當(dāng)且僅當(dāng)為通徑時，最短，即，即，故A項正確；對于B項，由拋物線定義知，故，由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值，即,故B項正確；對于C項，因,在中，由可得：,即得點，于是代入中，整理得：，解得：，即得，故,即C項錯誤；對于D項，設(shè)直線，代入中，整理得：，設(shè)，則得：，設(shè)在x軸上存在一點，則，故當(dāng)時，，即存在點使得為定值0.故D項正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：本題主要考查直線與拋物線相交有關(guān)的最值、弦長和定值問題,屬于難題.求解直線與拋物線相交有關(guān)的最值的思路，一般是從拋物線定義轉(zhuǎn)化線段，結(jié)合圖象，從三點共線角度考慮；對于相關(guān)的定值問題，經(jīng)常需要直線與拋物線方程聯(lián)立得出韋達定理，并將所求式進行代入消元整理，再觀察分析可得.11．BCD【分析】先將已知條件變形化簡得，可得到，A選項利用三角形內(nèi)角和即可判斷；B選項利用可判斷；C選項分別在和中利用余弦定理，再利用兩邊之和大于第三邊即可求解；D選項，在中利用余弦定理，再借助基本不等式即可求解.【詳解】，，，即，整理得，，，，即.對于A選項，，，，，，，，，不能確定，故A錯誤；對于B選項，，，故B正確；對于C選項，設(shè)，在中，，，由余弦定理知，，在中，，，由余弦定理知，，，整理得，在三角形中，兩邊之和大于第三邊，，，，，故C正確；對于D選項，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最小值為，，，的最大值為；此時不妨設(shè)，則，又，D為邊BC的中點，則，，，為邊BC的中點，，又，則是邊長為2的正三角形，，故D正確.故選：BCD.12．25【分析】根據(jù)題意設(shè)直線與曲線的切點為，進而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點為，因為，直線的斜率為，所以，，，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最小值是25.故答案為：25.13．【分析】設(shè)出等比數(shù)列公比，由題意建立方程，解方程并驗根，可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，由，則，代入上式可得，去分母可得，易知，可得，分解因式可得，易知，解得或，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，不合題意.故答案為：.14．【分析】先求出的所有可能取值，然后計算出現(xiàn)的概率，得分布列，再由期望公式計算出期望．【詳解】由題意正方體中兩條平行的棱間的距離為1或．正方體共12條棱中任取兩條，共有種取法，其中相交的有，平行且距離為的有種，其余的是異面或距離為1的平行線，共有36種，∴，，，分布列為：01．故答案為：．【點睛】本題考查隨機變量的期望，考查空間直線的位置關(guān)系，考查古典概型概率．綜合度較大，屬于難題．15．(1)極小值為，無極大值；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的極小值點，求得極小值.（2）把所解不等式移項后,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解得不等式.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時,,在時為減函數(shù)；當(dāng)時,,在時為增函數(shù)，所以的極小值為，無極大值.（2）不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，解得，所以原不等式的解集為．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列定義推理并求出通項公式.（2）利用錯位相減法直接求解即可.【詳解】（1）數(shù)列中，，，則，又，所以是首項，公差為3的等差數(shù)列，故，所以.（2）由（1）知，，則，兩式相減得，所以.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，證得四邊形是菱形，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到，再由，證得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面平面．（2）以為原點，建立空間直角坐標系，根據(jù)，求得，得到向量則，再由，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點，連接，，，因為為中點，為中點，所以．在三棱柱中，，則四邊形是菱形，可得，則，又因為，，且平面，所以平面，因為平面，所以，因為是等邊三角形，為中點，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）因為，，所以是等邊三角形，所以．又因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為由平面，所以，，又因為，以為原點，所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，，設(shè)，因為，即，可得，所以，則，又因為，所以．直線CP與所成角的余弦值為.18．(1)(2)(3)證明見解析，【分析】（1）利用橢圓的定義和焦距的性質(zhì)求出基本量，得到橢圓方程即可.（2）利用圓的性質(zhì)得到，再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)進行放縮求解最值即可.（3）聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理得到，進而表示出，再結(jié)合給定條件進行化簡，證明點在定直線上即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因為，所以，由橢圓的定義，解得，得到，故的方程為.（2）因為的右焦點，圓的圓心，半徑，顯然橢圓與圓沒有交點，因為點在圓上，所以，于是，當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓，圓的交點時取等號，故的最小值為.（3）如圖，設(shè)，因為直線，所以點，聯(lián)立消去得.所以，因為，且直線斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列，所以，所以，即，將代入上述等式可得，若，則點在直線上，與已知矛盾；故，整理可得，可得，即，即對任意的恒成立，得到，解得或，由于的斜率不為0，得到，故，故點在定直線上.19．(1)見解析(2)（i）；；（ii）見解析【分析】（1）求出求的可能取值及其對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式求出；（2）（i）粒子奇數(shù)秒不可能回到原點，故；粒子在第4秒回到原點，分兩種情況考慮，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原點，則必定向左移動步，向右移動步，向上移動步，向下移動步，表示出，由組合數(shù)公式化簡即可得出答案；（ii）利用題目條件可證明，再令可證得，進一步可得，即可得出答案.【詳解】（1）粒子在第秒可能運動到點或或的位置，的可能取值為：，，，，所以的分布