答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁廣西名校高考模擬2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．李老師家有3名人員，3名人員的年齡與2年后的年齡相比較，一定不會發(fā)生變化的是（

）．A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．眾數(shù)2．若，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知集合，則（

）．A． B． C． D．4．不等式的解集是（

）．A． B． C． D．5．在中，的平分線交于，則（

）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸平行的直線與l和拋物線C分別交于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角為，則（

）A． B． C．6 D．47．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．88．四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較小的銳角為，那么（

）

A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（

）．A．不是等比數(shù)列 B．C． D．10．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞減，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)(在第一象限)，中點(diǎn)為，的內(nèi)切圓圓心分別為，半徑分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．直線斜率存在時，C．若，則直線的斜率為 D．的取值范圍是

三、填空題12．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為1，則．13．已知定義在上的函數(shù)滿足，則．14．如圖，向一個高為4且底面水平放置的正四棱錐容器注水，水面高度為2時停止注水（不考慮容器厚度）．將此四棱錐容器倒置時，水面高度為．

四、解答題15．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在內(nèi)只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．16．如圖，已知橢圓過點(diǎn)，且焦距為．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且直線與直線關(guān)于對稱，求的面積．17．如圖1，在矩形中，，是的中點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，使得平面平面（如圖2），連接，，是棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值．18．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性：(2)若恰有兩個零點(diǎn)，且（i）求的取值范圍；（ii）設(shè)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求出k與的函數(shù)關(guān)系式，并證明．19．某高校擬與某網(wǎng)絡(luò)平臺合作組織學(xué)生參加與AI知識有關(guān)的網(wǎng)絡(luò)答題活動，為了解男女學(xué)生參與答題意愿的差異，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法在全體學(xué)生中抽取100人，設(shè)事件“學(xué)生報名參加答題活動”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，．(1)根據(jù)已知條件，完成下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生報名參加答題活動與性別有關(guān)聯(lián)？性別活動男生女生合計(jì)未報名參加答題活動報名參加答題活動合計(jì)100(2)網(wǎng)絡(luò)答題規(guī)則：答題活動不限時間，不限輪次，答多少輪由選手自行確定：每輪均設(shè)置道題，選手參與該輪答題，則至少答一道題，一旦答對一題，則其本輪答題結(jié)束，答錯則繼續(xù)答題，直到第m道題答完，本輪答題結(jié)束．已知甲同學(xué)報名參加答題活動，假設(shè)甲每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對的概率均為．①當(dāng)時，求甲在一輪答題過程中答題數(shù)量的數(shù)學(xué)期望；②假設(shè)甲同學(xué)每輪答題答對前兩題中的一道，本輪答題得2分，否則得1分．記甲答題累計(jì)得分為n的概率為，求．參考公式與數(shù)據(jù)：，其中．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828《廣西名校高考模擬2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案CACBDDDAACDAC題號11答案ABD1．C【分析】設(shè)李老師家3名人員的年齡從小到大，分別為，得到這3名人員2年后的年齡分別為，結(jié)合平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，以及中位數(shù)和眾數(shù)的定義，進(jìn)行判斷，即可求解.【詳解】設(shè)李老師家3名人員的年齡從小到大，分別為，則這3名人員2年后的年齡分別為，對于A，3名人員的年齡平均數(shù)為，2年后的年齡的平均數(shù)為，顯然，所以A不符合題意；對于B，3名人員的年齡中位數(shù)為，2年后的年齡的中位數(shù)為，顯然，所以B不符合題意；對于C，3名人員的年齡的方差為：，2年后的年齡的方差為：，所以，所以方差不變，所以C符合題意；對于D，設(shè)3名人員的年齡的眾數(shù)為，則2年后的年齡的眾數(shù)為，所以D不符合題意.故選：C.2．A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷可得.【詳解】由，得，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A3．C【分析】先證明對任意，則，再證明，但，由此可得結(jié)論.【詳解】對任意，存在，使得，由于，令，則，所以，故，又（當(dāng)時），但（由解得），所以是的真子集，故選：C4．B【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，結(jié)合不等式的解法，即可求解.【詳解】當(dāng)，解得，此時不等式恒成立；當(dāng)時，即時，不等式，平方得，即，即，解得，所以，綜上可得，不等式的解集為.故選：B.5．D【分析】先根據(jù)正弦定理求出，然后根據(jù)正弦定理求出.【詳解】由題意，根據(jù)正弦定理得，解得，而為三角形內(nèi)角，所以，所以.根據(jù)正弦定理，解得.故選：D.6．D【分析】由直線AF的傾斜角為得到得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，由，得到答案.【詳解】由拋物線定義可知，因?yàn)橹本€AF的傾斜角為，軸，，所以為等邊三角形，故，，所以，其中準(zhǔn)線l與軸交點(diǎn)為，則，故，所以.故選：D.7．D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得，.兩式相減得，解得.因?yàn)?，化簡得因?yàn)?，所以由方程②可得，代入方程①可得，因?yàn)椋喌?，解?故選：D.8．A【分析】先求出直角三角形的兩條直角邊，然后求出，最后根據(jù)二倍角的余弦公式求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為.設(shè)直角三角形的長直角邊為，則短直角邊為，根據(jù)勾股定理得，化簡得，解得或（舍去）.所以，所以.故選：A.9．ACD【分析】當(dāng)時，可求出的值；當(dāng)時，由得，兩式作差可得出，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，由得，上述兩個等式作差得，可得，但，所以數(shù)列從第二項(xiàng)開始成公比為的等比數(shù)列，故當(dāng)時，，所以，對于A選項(xiàng)，數(shù)列不是等比數(shù)列，A對；對于B選項(xiàng)，，B錯；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：ACD.10．AC【分析】令，其中，分析函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】令，其中，則，，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，排除B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，此時，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，排除D選項(xiàng).故選：AC.11．ABD【分析】設(shè)點(diǎn)，在A項(xiàng)中，由雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓一定切于頂點(diǎn)（右焦點(diǎn)就對應(yīng)右頂點(diǎn)），通過列式判斷．由斜率公式及點(diǎn)差法可以判斷B，設(shè)直線的傾斜角為，得到，，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】依題意，得得，則.設(shè)點(diǎn)，對于A項(xiàng)，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓的切點(diǎn)為，由雙曲線的定義得，，而，得，而，，得，又因?yàn)榈们悬c(diǎn)T與點(diǎn)B重合，得點(diǎn)，則內(nèi)心的橫坐標(biāo)為1，同理可得，內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為1，得三點(diǎn)共線，故A項(xiàng)正確.對于B項(xiàng)，由相減得，得，即，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，設(shè)直線的傾斜角為，連接，則，若，則

，，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，由題可知雙曲線的漸近線為：，傾斜角分別為，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，所以，令，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，故D項(xiàng)正確.故選：ABD12．/【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，把轉(zhuǎn)化為在上的投影與的乘積，即可求解.【詳解】如圖所示，正五邊形的邊長為，過點(diǎn)作于，則.故答案為：13．【分析】分別令即可求解.【詳解】令可得：，令可得：，兩式聯(lián)立可得：，故答案為：14．【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)：截得棱錐與原棱錐的體積比等于它們對應(yīng)高的比的立方，再結(jié)合水的體積不變特征可得.【詳解】當(dāng)正面放時，設(shè)正四棱錐的體積為，高為4，水的體積為，高為2，則水的上方形成一個小正四棱錐的體積為，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)有，得.當(dāng)?shù)狗艜r，由于水的體積不變而且形成一個小四棱錐，設(shè)其高為，根據(jù)四棱錐的性質(zhì)有，即，解得.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和倍角公式、輔助角公式化簡，再利用整體代換思想求增區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與圖象只有一個交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可求出.【詳解】（1）則，令，則，則的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），則，畫出的圖象如圖，其中，

因函數(shù)在內(nèi)只有一個零點(diǎn)，則與圖象只有一個交點(diǎn)，則或，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為16．(1)(2)【分析】（1）求出的值，利用橢圓的定義求出的值，即可得出的值，進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知，可得出直線的方程，將該直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出直線的方程以及的值，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，則，故、，由橢圓定義可得，所以，則，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€與直線關(guān)于對稱，則，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，可得，即，解得或，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合圖形可知，故，則，故點(diǎn)，所以，故直線的方程為，即，，點(diǎn)到直線的距離為，故的面積為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）應(yīng)用兩次線面平行判定定理可得出平面平面，進(jìn)而得出平面；（2）先應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出平面，建系求出平面的法向量，最后應(yīng)用線面角正弦公式計(jì)算求解.【詳解】（1）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵诰匦沃?，，是的中點(diǎn)，所以，即四邊形為平行四邊形，從而，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?；?）取中點(diǎn)，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)?，所以，所以兩兩互相垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意，設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即，所以，故，又因?yàn)?，解得，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得，所以平面的法向量為，設(shè)直線和平面所成角為故所求為.18．(1)答案見解析(2)（i）（ii），證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，討論的取值，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（?。└鶕?jù)（1）的結(jié)果可知，函數(shù)的極大值，解得，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可求解；（ⅱ）根據(jù)題意可知，恒成立，討論函數(shù)的類型，即可求解與的關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得，整理后可得，再根據(jù)（1）的結(jié)果，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，?dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（i）由（1）知，需滿足，在處取得極大值，且，，令，顯然在上單調(diào)遞減，，所以，又因?yàn)椋?，所以在和上各有一個零點(diǎn)，且，綜上所述，．（ii），所以恒成立，當(dāng)時，不能恒成立，所以，由均值不等式知：，且時等號成立，所以，（*）當(dāng)因?yàn)?，則，所以不等式（*）要成立，則，得，此時.因?yàn)?，所以整理得，即，又，所以，由?）得，．19．(1)列聯(lián)表見解析；有的把握認(rèn)為該校學(xué)生報名參加答題活動與性別有關(guān)聯(lián).(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的定義，求出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，完成的列聯(lián)表，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）①先列出隨機(jī)變量的概率表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，得到數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式，化簡后利用乘公比錯位相減法求和，求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；②根據(jù)題意，得到，當(dāng)時，，利用構(gòu)造法，求得數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是各項(xiàng)均為1的常數(shù)列，分別寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】（1）解：由題意知：，可得報名參加答題活動人數(shù)人，參加答題活動的男生人數(shù)為人，