答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁寧夏青銅峽市寧朔中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A．5 B．3 C． D．22．已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．從裝有3個紅球和5個黃球的口袋內(nèi)任取3個球，那么“至少有1個紅球”的對立事件是（

）A．至多有2個紅球 B．至少有2個黃球C．都是黃球 D．至多1個紅球4．某校對全校300名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學(xué)的數(shù)學(xué)成績大于等于60分的人數(shù)為（

）A．270 B．240 C．180 D．1505．在中，，，，則（

）A． B． C． D．6．如圖1，在直角梯形ABCD中,,,,,,E為線段BC上的一點,,過E作AB的平行線交AD于F,將矩形ABEF翻折至與梯形ECDF垂直得到六面體ABCDFE,如圖2,則六面體ABCDFE的體積為（

）A． B． C． D．7．在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．8．兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知一組數(shù)據(jù)如下：2，3，4，4，7，則下列說法中正確的是（

）A．這組數(shù)據(jù)的極差為5 B．這組數(shù)據(jù)的方差為2.5C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)等于平均數(shù) D．這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為3.510．已知事件A，B，且，，則（

）A．事件A與事件B互為對立事件B．若事件A與事件B互斥，則C．若，則事件A與事件B相互獨立D．若事件A與事件B互斥，則11．在直三棱柱中，，，，為的中點，則（

）

A．B．平面C．平面D．直線與所成角為三、填空題12．.13．設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．14．如圖，在中，點D在BC邊上，BD的垂直平分線過點A，且滿足，，則的大小為．

四、解答題15．為增強市民節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者，現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示：分組（單位：歲）頻數(shù)頻率50.05①0.2035②300.30100.10總計1001.00(1)頻率分布表中的①②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？(2)補全如圖所示的頻率分布直方圖，再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù)；(3)現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣從、、的樣本中共抽取n名志愿者，已知從中抽取了2人，求n的值．16．在中，．(1)求的值；(2)若，且的面積，求的值．17．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，平面，.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.18．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱⊥底面，且PC=3.

(1)證明：平面PCD⊥平面PAD；(2)求點B到平面PAD的距離.19．在一次奧運會男子乒乓球單打比賽中，運動員甲和乙進(jìn)入了決賽，決賽采取7局4勝制.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果互不影響.(1)求只需進(jìn)行四局比賽的概率：(2)已知前兩局比賽甲均告負(fù)，求甲最終能逆轉(zhuǎn)獲得冠軍的概率.《寧夏青銅峽市寧朔中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案ADCBADDBACDBC題號11答案AC1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、除法運算即可.【詳解】，則，所以，故選：A.2．D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D3．C【分析】先對至少有1個紅球進(jìn)行情況分析，再結(jié)合對立事件的定義求解即可.【詳解】由題意得若發(fā)生“至少有1個紅球”，則取出紅球的數(shù)量為1個，2個，3個，由對立事件的性質(zhì)得“至少有1個紅球”的對立事件為取不到紅球，即取到的都是黃球，故C正確.故選：C4．B【分析】根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)成績大于等于60分的人數(shù).【詳解】，解得，故數(shù)學(xué)成績大于等于60分的人數(shù)為.故選：B.5．A【分析】由余弦定理直接計算求解即可.【詳解】由題意得，又，所以.故選：A6．D【分析】把六面體ABCDFE的體積分成四棱錐和三棱錐相加即可得出答案.【詳解】由題意得六面體ABCDFE的體積為：，故選：D7．D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D8．B【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因為，所以，，所以，，，因此，這兩個圓錐的體積之和為.故選：B.9．ACD【分析】根據(jù)極差、方差、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)的定義和公式對選項逐一計算判斷即可.【詳解】對于選項A：極差是數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，所以這組數(shù)據(jù)的極差為，A正確；對于選項B：這組數(shù)據(jù)的平均值為，所以方差為，B錯誤；對于選項C：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，眾數(shù)為4，所以C正確；對于選項D：因為，是整數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第二項和第三項的平均值為，所以D正確.故選：ACD.10．BC【分析】根據(jù)對立事件的定義、互斥事件概率公式、相互獨立事件的性質(zhì)及概率公式計算判斷作答.【詳解】由于對立事件的概率和為1，但，A錯誤；若事件A與事件B互斥，則，B正確；因為，所以事件與事件相互獨立，則事件A與事件B相互獨立，C正確；若事件A與事件B互斥，則不可能同時發(fā)生，即，D錯誤.故選：BC.11．AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判斷各選項即可.【詳解】由題意，以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，則，對于A，由，則，故A正確；對于B，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，由于不存在實數(shù)，使得，則與不平行，故B錯誤；對于C，由，則，因為平面，所以平面，故C正確；對于D，由，則直線與所成角不為，故D錯誤.故選：AC．12．5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計算即可【詳解】，故答案為：5.13．【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．14．【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合正弦定理與、三角形內(nèi)角和定理與兩角和差余弦公式即可求得，從而得的大小.【詳解】因為BD的垂直平分線過點A，所以，則，所以．又因為在中，，，所以．在中，由正弦定理，得，所以,因為，所以為銳角，所以，則，又，所以．故答案為：.15．(1)①應(yīng)填，②應(yīng)填；(2)直方圖見解析，人數(shù)為175；(3)15【分析】（1）結(jié)合抽取的總?cè)藬?shù)，結(jié)合表格中數(shù)據(jù)，計算出結(jié)果；（2）計算出區(qū)間的頻率/組距，繪制直方圖，并利用年齡在歲的頻率得到答案；（3）計算出三個區(qū)間的比例，從而計算出從、中分別抽取的人數(shù)，得到答案.【詳解】（1）①應(yīng)填，②應(yīng)填；（2）區(qū)間的頻率為0.20，故頻率/組距為，故補全頻率分布直方圖，如下：這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù)為；（3）、、的人數(shù)比例為，從中抽取了2人，故從、中分別抽取了7人和6人，故.16．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知及余弦定理求；（2）由正弦邊角關(guān)系可得，再由三角形面積公式列方程求得，即可得.【詳解】（1）因為，所以．（2）因為，由正弦定理得，所以，因為的面積為，又，即，所以，則.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理證明，再結(jié)合，利用線面垂直的判定定理可證平面.（2）根據(jù)平面，得到即為二面角的平面角，再在中，求的正弦.【詳解】（1）因為，，所以，.又，，所以.所以.所以.因為，即，所以為直角三角形，且.又平面，平面，所以.平面，，所以平面.（2）因為平面，平面，所以，.所以即為二面角的平面角.在中，，，，所以，所以.即二面角的正弦值為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAD的一個法向量，由點到平面距離向量公式計算求解.【詳解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面，∴PC⊥AD，又∵CD⊥AD，且PC∩CD=C，平面，∴AD⊥平面PCD，∵平面PAD，∴平面PCD⊥平面PAD；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面PAD的一個法向量為，則，即，解得，令，得，則，所以點B到平面PAD的距離為：.19．(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用獨立事件乘法公式及互斥事件概率和公式計算求解；（2）分類應(yīng)用獨立事件乘法公式及互斥事件概率和公式計算求解.【詳解】（1）設(shè)事件“甲第局都獲勝”，.