2024命題人 審題人 滿分：150 考試時間：120分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符圓x2y22x6y60的圓心和半徑分別為 若直線l1xay60與l2a2x3y2a0a的值為（

D.1或三棱錐OABC中，OA b,OC→，點M為BC中點，點N滿足ON ，

MN 1 1 2

1 1 2A.ab B.ab 2C.

1 1bc

D.1

2 1abca A[－2，0)∪(0，1 B.(－∞，－1 C.[－2，1 D.(－∞，－2]∪[1 G1 在空間直角坐標(biāo)系中，P0,0,0，A1,0,0，,,1，則點P到直線AG的距離為（3

2

π

π

π

πA,

,

,

,64

63

43

32如圖，在三棱錐OABC中，點G為底面VABCM是線段OG上靠近點GM的平面分別交棱OAOBOCDEF，若ODkOAOEmOBOFnOC，則111 B.

C. D. 在正四面體SABC中，點P在線段SA上運動（不含端點）.設(shè)PA與平面PBC所成角為θ1，PB與平面SAC所成角為θ2，PC與平面ABC所成角為θ3，則（

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求下列說法的是（abb0a與b夾角為銳角→→

→

→ 若 ，則存在唯一的實數(shù)λ，使 a/

a a202b021c34mabc共面，則實數(shù)的值為下列說法正確的是（ykxb經(jīng)過第一、二、四象限，則點kb在第二象限斜率為2y3y2x3直線2xy30xy0x2y30k，直線l1xy10與直線l2k1xkyk0有公共點， PAB1VABP2PAPB的最小值為 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分若空間向量a1,0,1，b0,1,1，則a在b上的投影向量的坐標(biāo) AxyBxy

為“A，B x y 點間的距離”，定義ABx1x2y1x y P(x,y)(x0,y0)為平面直角坐標(biāo)系中的動點，且OP2，則dOP的最小值 如圖，在三棱錐OABC中，三條側(cè)棱OAOBOC兩兩垂直，且OAOBOC2MVABCM分別作平面OAB，平面OBC，平面OACPQR①PRBC②MPMQMR③MPQR4π④MPMQ2PQR與平面OBC的夾角大小為45則以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號 四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟l經(jīng)過兩直線l13x4y20和l22xy20的交點l與直線3xy10lABCDFEABCDAEDFBGABCDAE3DF2BG1MNEGBCFMABCDAB2NAMFCM4,8N66，且圓心4x3y0C在RtABC中，∠C90°BC3AC6DEACABDE//BCDEVABC的重心，將VADEDE折起到△A1DEA1CCDMA1DA1CBCDEA1CN，使平面CBMBMN的夾角的余弦值為3,若存在，求出a 若Ω→→aa,La,LaaRi12,Lna 000,L0kR，任意aa1a2,Lanbb1b2,Lbn①kaka1ka2,Lkan②aba1b1a2b2,Lanbn③aba1b1a2b2Lanbna2a2a2L ④向量的模：a 對于naii12,Lm，若存在一組不同時為零的實數(shù)kii12,Lmk1a1k2a2Lkmam0n3證明：對于中的任意兩個元素α,β，均有 αβ2024命題人 審題人 滿分：150 考試時間：120分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符1.x22x6y60為 【答案】將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，直接判斷即可x2y22x6y60即x12y32所以該圓的圓心為13，半徑為若直線l1xay60與l2a2x3y2a0a的值為（

D.1或【答案】【分析】根據(jù)直線平行列方程計算即可【詳解】由題意，13aa20a1a3a1時，直線l1xy60l23x3y20，兩直線平行；a3l1x3y60l2x3y60，兩直線重合.a1三棱錐OABC中，OA b,OC→，點M為BC中點，點N滿足ON ，

MN 1 1 2

1 1 2A.ab B.ab 2C.

1 1bc

D.1

2 1abca 【答案】【分析】由圖形，題意，結(jié)合空間向量加減法可得答案MNMOOBBN，又ON2NAMBC MN

OBOCOBBOON

OBOCOBBO

2OA

1

1 2OC

1 1bc. [－2，0)∪(0，1 B.(－∞，－1 C.[－2，1 D.(－∞，－2]∪[1 【答案】PA

312PB0

2113

G12,1PAG的距離為（ 3

2

【答案】【分析】利用空間點到直線的距離公式求解即可G1

,,1

2

3 3 PAAG

，PA1,

4444 PAPA PA

221112173 π

πA.,

,

,

,64

63

43

32【答案】D為原點，DAx軸，DCy軸，DD1zBPDDADCDD1xyzDxyz故

2，λ0,1有： xh12， xh12

3

故cosAD1,BP

2π故AD1,BP,.故選B63如圖，在三棱錐OABC中，點G為底面VABCM是線段OG上靠近點G的三等分點，M的平面分別交棱OAOBOCDEF，若ODkOAOEmOB，OFnOC，則111 B.

C. D. 【答案】【分析】由空間向量基本定理，用C表示OMD，E，F(xiàn)，M唯一性，分析即得解 2 2 2 1 【詳解】由題意可知，OM3OG3(OAAG)3OA(AB 2 1 1 2 2 2 OA (OCOA) OA OB 3 D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)λ,μDMλDEμDF，所以O(shè)MODλ(OEODμ(OFOD， 1119(1λμ9λ9μ9 在正四面體SABC中，點P在線段SA上運動（不含端點）.設(shè)PA與平面PBC所成角為θ1，PB與平面SAC所成角為θ2，PC與平面ABC所成角為θ3，則（

【答案】

→ n

PBC的nxyz→PB x1λyλz

y 則有 ，

，即nPC

n1

→ n

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求下列說法的是（abb0a與b夾角為銳角→→

→

→ 若 ，則存在唯一的實數(shù)λ，使 a/

a

【答案】ACAa與bb0，a與b0A錯誤；rr B，由于{abc}abc

→ abbcacabbcac →

→ 對于C，當(dāng)b0,a0時， ，但不存在唯一的實數(shù)λ，使→λb，故C錯誤a/ 2

D正確 m下列說法正確的是（ykxb經(jīng)過第一、二、四象限，則點kb在第二象限斜率為2y3y2x3直線2xy30xy0x2y30k，直線l1xy10與直線l2k1xkyk0有公共點【答案】C，先求出直線2xy30xy0的交點，再求出直線2xy30上一點的對稱D，由題設(shè)可得直線l2恒過定點01，而01在直線l1xy10上，進而判斷即可Aykxb經(jīng)過第一、二、四象限，k0b0，所以點kbA正確；B，斜率為2y3y2x3BxyC，聯(lián)立2xy30xxy則直線2xy30xy0的交點為33取直線2xy30上一點03xy0對稱點為abb31a則 b

a3b0，即對稱點為30k301 y1x3x2y30CD，直線l2k1xkyk0kxy1x0令xy10x0y1，則直線l恒過定點01x 而01在直線l1xy10k，直線l1xy10與直線l2k1xkyk0D正確.， PAB1aABP2PAPB的最小值為 【答案】CD.則OABCBB1ABCB1BAO，AO平面CBB1C1，在平面CBB1C1內(nèi)作OzBCO為原點，直線OCOAOzxyzPxyz，則CPx1yzCB1202，設(shè)CPλCB10λ1，則x1,yzλ202x1 x1所以yz

，yz

AB所以當(dāng)

A設(shè)PABθ

AB,

AB1111AP21AP7λ7 3則 1AB7λ7 3a 因為0λ1，所以當(dāng)λ3時， 取得最小 221，故B正確 ABB1CTPAPBABPTAB依題意，ACBCBB12，AB1B1C 則cosCBA8843，sinCBA 7 2 π 32 所以cosAB1BcosAB1C44242 在aABB1 AB2AB2BB22ABBBcosABB2222222223 6262

PAPB

C62對于62

1

1122

3

a

a

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分若空間向量a1,0,1，b0,1,1，則a在b上的投影向量的坐標(biāo) 【答案】011 22 【分析】利用投影向量的公式及空間向量的數(shù)量積運算即可得到結(jié)果011ab1001111011

abb10,1,10,1,1a在b

22 011 22 AxyBxy

x x y 點間的距離”，定義ABx1x2y1y2為“A，B兩點間的曼哈頓距離”，已知O(00)P(x,y)(x0,y0)為平面直角坐標(biāo)系中的動點，且OP2，則dOP的最小值 【分析】根據(jù)OP2xy2，利用點到直線的距離可得答案PxyOPxy2x0y0xy2dOP的最小值為點O 如圖，在三棱錐OABC中，三條側(cè)棱OAOBOC兩兩垂直，且OAOBOC2MVABCM分別作平面OAB，平面OBC，平面OACPQR①PRBC②MPMQMR③MPQR4π④MPMQ2PQR與平面OBC的夾角大小為45則以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號 【答案】②MPQR的外接球半徑的最小值，即可判斷③MPMQ2M為VABC的中心，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷④M為VABC的中心PR∥BC，即可判斷①.【詳解】對于②MRa,MPb,MQc由題意VAOBCVMOABVMOACVMOBC112221122b1122a1122c abc2MPMQMR2為定值，故②對于③MPQRR，MRMPMQ兩兩垂直，則2Ra2a2b244aba

MP2MP2MQ2MRa2b23ab24ab

233 ab

ab2所以2R23R的最小值為3 3 MPQR的外接球表面積的最小值為4π3

，故③ 對于④，如圖，以O(shè)MPMQ2MR2,2,2,Q,0R233

,A0,0,2因為OAOBOAOCOBOCO，所以O(shè)A平面OBC故OA002即為平面OBC

2

2 而PQ0,3,3,PR,,0 3 PQR→x,yz→ nPQ3y3z 則有

2

nPR x

y→

n→則cosn,OA n→PQROBC所成的銳二面角的余弦值為3

，故④

2 由④可知，當(dāng)M為VABC的中心時，PR,,0 3 PR∥BC，PRBC共面，故①錯誤四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟l經(jīng)過兩直線l13x4y20和l22xy20的交點l與直線3xy10l（1）x3y8（2）x2或12x5y340（2）分直線的斜率存在與不存在，結(jié)合點到直線的距離公式求得斜率，利用點斜式方程，即可求解12xy2解：聯(lián)立方程組3x4y22xy2又直線l與直線3xy10垂直，所以直線l1則直線ly21(x2)x3y802當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線lx2A3,1到直線l5；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線ly2k(x2)kxy2k20，kk23k12kA到直線l

5，求得k 故直線l的方程為12xy2k20，即12x5y340綜上可得，直線lx2或12x5y340ABCDFEABCDAEDFBGABCDAE3DF2BG1MNEGBCFMABCDAB2NAMF（1）（2）5（1）ABHMHDHFMDH，結(jié)合線面平行的判定定理（2）AMF的法向量，利用空間向量求點到面的距離1AEDFBGABCDAEBGDFABHMHDHMHAEMHAEBG2MHDFMHDFDFMH為平行四邊形，F(xiàn)MDH，F(xiàn)MABCDDHABCDFMABCD2詳解】AN，DDADCDFxyzA200F002M2,12N120， AMny2z設(shè)平面AMF的法向量為nx,y,z，則–––→ AFn2x2zx1y2z1→12,114145AN故點N到平面AMF的距離d CM4,8N66，且圓心在4x3y0C（1）x6)2y8)2（1）MN（2）P(xyAP|2BP|2，轉(zhuǎn)化為圓外一點與圓上一點的距離的最值問題即可求解1Q

8614MNy7x5xy20xy20x64x3y y C6,8，rMC

(46)2(46)2(8圓C的方程為(x6)2y8)22詳解】P(x,y)，AP|2BP|2(x1)2y2(x1)2y22x2y22x2y2PO62|OP|minOC62(x2y2 64

28(AP|2BP|2 2642在RtABC中，∠C90°BC3AC6DEACABDE//BCDEVABC的重心，將VADEDE折起到△A1DEA1CCDMA1DA1CBCDEA1CN，使平面CBMBMN的夾角的余弦值為3,若存在，求出（1）（2）存在，CN的長度 或（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得正確答案1因為在Rt△ABC中，∠C90DE//BCBCCD，DE⊥CDDE⊥ADDEA1D，

DEA1CA1CCDCDDED且CDDEBCDE內(nèi)，A1CBCDE.2由（1）知，以CDxCByCA1z軸，建立空間直角坐標(biāo)系CxyzAD2CDDE2BC2由幾何關(guān)系可知，CD2，A1D4，A1C 故C000D200E220B030A10023M10,3A1CN，使平面CBMBMN成角余弦值為3

設(shè)CNλCA1，則CN002 BNBCCN0,3,00,0,23λ0,3,23λ BMN

x,y,

n2BM x23y2，則 ，

3z20z2

3y23λz 設(shè)平面CBM的法向量為nxyz，則有n3BM0，即x33y33z30 3

3z3不妨令z3 ，則x33，y30，所以平面CBM的一個法向量為n33,0,3若平面CBMBMN成角余弦值為3