經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第一部分微分學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題

X

1.函數(shù)），=十一^勺定義域是（x>-\且x，0）

IgG+l）

2.若函數(shù)/（X）的定義域是[0,1],則函數(shù)/（2"）的定義域是（（—8,0]）.

3.下列各函數(shù)對(duì)中，（/（x）=sin2x+cos2x,g（x）=1）中的兩個(gè)函數(shù)相等.

4.設(shè)小）=f1,則7V⑼=（左）.

x—1

5.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（y=ln-——）.

x+1

6.下列曲數(shù)中，（y=ln（x-l）不是基本初等函數(shù).

7.下列結(jié)論中，（奇函數(shù)口勺圖形有關(guān)坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱）是對(duì)的的.

1+2x

8.當(dāng)尤70時(shí)，下列變量中（----）是無(wú)窮大量.

X

X

9.已知f(X)=------1,當(dāng)(X—>0)時(shí)，f(X)為無(wú)窮小量.

tanx

sinx八

C-----,工工()

10.函數(shù)f(x)=1X在x=0處持續(xù)，則〃=(1).

k,x=0

〃Lx>0

11.函數(shù)f(x)=在x=0處(右持續(xù)).

—1,x<0

12.曲線y=,1在點(diǎn)（0,1）處的切線斜率為（一?。?

'J7+T2

13.曲線y=sinx在點(diǎn)（o,0）處的切線方程為。=*）.

14.若函數(shù)/(—)=X,則f\x)=(!).

X尸

15.若f(x)=xcosx,則/"(/)=(-2sinx-xcosx).

16.下列函數(shù)在指定區(qū)間（-8,+00）上單調(diào)增長(zhǎng)的是（e'）.

下列結(jié)論對(duì)的的有（而是fCr）H勺極值點(diǎn)）.

18.設(shè)需求量q對(duì)價(jià)格夕的函數(shù)為虱〃)=3—2后，則需求彈性為).

二、填空題

x+2,-5<x<()

1.函數(shù)/(x)=〈、的定義域是_[-5,2]

x~-1,0<x<2

1

2.函數(shù)/(x)=ln(x+5)的定義域是(-5,2)

J2-x

3.若函數(shù)f(x+1)=x?+2%一5,則/(x)=x~-6

?3

4.設(shè)函數(shù)/(W)=—1,〃(X)=一,則/(〃(2))=——

x4

10x+10^

5.設(shè)/(?=----——，則函數(shù)的圖形有關(guān)出ft對(duì)稱.

6.已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=83+2c，則當(dāng)產(chǎn)量q=50時(shí)，該產(chǎn)品的平均成本為13

7.已知某商品的需求函數(shù)為。=180-4",其中夕為該商品的價(jià)格，則該商品口勺收入函數(shù)斤=45(7-0.25c

..x+sinJC

8.Iim-----------=1

1了

9.已知/(不)=1一、吧，當(dāng)_X->0時(shí)，/'(X)為無(wú)窮小量.

X-----------

x2-\.

---------X\

10.已知f(x)=1x-\，若/'(X)在(-8,+8)內(nèi)持續(xù)，則”2.

ax=1

11.函數(shù)f(x)=---的間斷點(diǎn)是x=0

1-e'

12.函數(shù)f(x)=-------]------的持續(xù)區(qū)間是—(-00,-1),(-1,2),(2,+00)

(x+l)(x-2)

13.曲線y=正在點(diǎn)(1,1)處H勺切線斜率是)，'(1)=0.5__

14.函數(shù)？=+1的單調(diào)增長(zhǎng)區(qū)間為(0,48)

15.已知f(x)=ln2x,則[/(2)]'=9

16.函數(shù)y=3(x-l)2的駐點(diǎn)是％=1

17.需求宜Q對(duì)價(jià)格〃的函數(shù)為g(〃)=100xe”,則需求彈性為Ep=

2

202

18.已知需求函數(shù)為g二3■一3〃，其中〃為價(jià)格，則需求彈性及=—P

p-10

三、極限與微分計(jì)算題

..x"-3x+2.(x—2)(x—1)[.x—11

1.解hm----；-------=hm--------------=hm-------=—

x—2廠—4(x-2)(x+2)?—2*+2)4

..yfx—1..X-1

2.解:hm—---------=hm

x->1x~-3x+2i(x-l)(x-2)(71+1)

1

=lim

.Tfl(x-2)(77+1)2

..sin2x(Jx+1+I)sin2x

3.解lim]——=lim—T=----------T=

zojx+l-1x-^0(V-v+1-l)(\/x4-l+1)

lim(Jx+1+1)lim=2x2=4

.10DX

lim與Elim(I)(I)

4.解

13sin(x-3)z3sin(x-3)

r—3

limxlim(x-l)=2

7sin(x-3)—3

..tan(x-1)tan(jr-1)

5.解lim---------=lim---------------

zix"+x-2xf(x+2)(尤一1)

..1..tan(x-1)111

=hm------hm-----------=—x1=—

fx+2ix-13

(』-2)5(3+』+與

局J24(3/+X+2)

6.解)=limU————與上一)

xx(x-1)(2大-3)6-(1」)(2-%

XX

(-2)5x33

262

一xsinx-cosx

7.解：ya)=(2x--y=2xin2

xX2

xsinx+cosx

=2-2+

X2

8.解/'(X)=2"In2sinx+2"cosx+—

x

故y=__)'+(1+3

(l+x)[ln(l+x)+xevv]

16.解對(duì)方程兩邊同步求導(dǎo)，得

y'cosy+e'+xevy'=0

(cosy+xe')y'=-ev

一e5

)，'*)=-----------7.

cosy+xe

yy

17.解：方程兩邊對(duì)才求導(dǎo)，得y=e+xey

，e-v

y=------

1-xe5

當(dāng)X=0時(shí)，y=\

1

tdyc

因此，一=---------=e

dj=01-Oxe1

18.解在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

[cos(x4-y)]'+(ev)'=(x)’

-sin*+y)[\+yf]+e'y'=1

[ev-sin(x+y)]y'=1+sin(x+y)

,1+sin(x+y)

y=-：--------:—

e'-sin(x+y)

故故=1+'畝(?)，)山.

e'-sin(x+y)

四、應(yīng)用題

1.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位時(shí)的成本函數(shù)為：。(幻=100+0.25/+6x(萬(wàn)元)，

求：(1)當(dāng)x=10時(shí)H勺總成本、平均成本和邊際成本：

(2)當(dāng)產(chǎn)量X為多少時(shí)，平均成本最?。?/p>

1.解(1)由于總成本、平均成本和邊際成本分別為:

C(x)=100+0.25X2+6x

C(x)=—+0.25x4-6,C(x)=0.5x+6

x

因此，C(10)=100+0.25X102+6X10=185

C(10)=—+0.25x10+6=18.5,

10

^(10)=0.5x10+6=11

(2)令C(x)=一W^+o25=0,得x=20(x=—20舍去)

x

由于x=20是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，且該問(wèn)題確實(shí)存在最小值，因此當(dāng)x=20時(shí)，平均成本最小.

2.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2023元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為4=1000—10〃(4為

需求量，p為價(jià)格)

2.解(1)成本函數(shù)。(“)=604+2023.

由于q=1000-10/?,即〃=100-'心

因此收入函數(shù)R(q)=pX4=(10°一七4)9=10%—七92.

<2)由于利潤(rùn)函數(shù)〃“)=R(q)-C(4)=100^-^2-(60<7+2023)

1,

=40^-—t/'-2023

且Z/(q)=(40g-j^q2_2023)'=40-0.2g

令U(q)=0,即40-0.24=0,得鄉(xiāng)=200,它是乙(“)在其定義域內(nèi)的唯一?駐點(diǎn).

因此，q=2。。是利潤(rùn)函數(shù)七(夕)1內(nèi)最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大.

3.設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一?種單位產(chǎn)品，成本增長(zhǎng)100元.又已知需求函數(shù)夕=2000—4〃，其中〃為

價(jià)格，q為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場(chǎng)上是暢銷的，試求：(1)價(jià)格為多少時(shí)利潤(rùn)最大？(2)最大利潤(rùn)是多少？

3.解(1)C(p)=50000+100(?=50000+100(2023-4p)

=250000-400/7

恤)=PQ=p(2023-4p)=2023p-4p2

利潤(rùn)函數(shù)A(p)=R3-C(p)=2400^4〃2-250000,且令

L'(p)=2400-8p=0

得夕=300,該問(wèn)題確實(shí)存在最大值.因此，當(dāng)價(jià)格為0=300元時(shí)，利潤(rùn)最大.

(2)最大利潤(rùn)￡(300)=2400X303-4X3002-250000=11000(元).

4.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品“件時(shí)的總成本函數(shù)為0（g）=20+4廳0.014（元），單位銷售價(jià)格為〃=14-0.0%（元/件），試求：（1）產(chǎn)量為

多少時(shí)可使利潤(rùn)到達(dá)最大？（2）最大利潤(rùn)是多少？

4.解(1)由己知R=qp=q(14-0.01g)=14q-0.0=

利潤(rùn)函數(shù)22

L=/?-C=l4^-0.01^-20-4^-0.0142=IQ^-20-0.02c/

則￡'=11)—().04^,令Z/=10—0.04</=(),解出唯一駐點(diǎn)q=250.

由于利潤(rùn)函數(shù)存在著最大值，因此當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)可使利潤(rùn)到達(dá)最大,

（2）最大利潤(rùn)為

L(250)=10x250-20-0.02x2502=2500-20-1250=1230(元)

5.某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品夕件的成本函數(shù)為C（q）=0.5"2+36q+9800（元）.為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時(shí)，每件

產(chǎn)品平均成本為多少？

5.解由于。壯*）.5i等卬＞。）

E\八.“9800,八「9800

C(夕)=(0.5q+36+----),=0.5-——

qq

—V9800

令C(q)=0,即0.5----=0.得名=140,%=T40(舍去).

%=M0是C（q）在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且該問(wèn)題確實(shí)存在最小值.

因此?=140是平均成本函數(shù)乙①）的最小值點(diǎn)，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為140件.此時(shí)的平均成本為

-9800

C(140)=0.5xl40+36+——=176(元/件)

140

2

6.已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的成本為C（q）=250+20q+券（萬(wàn)元）.問(wèn)：要使平均成本至少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

6.解⑴由于C(^)=-^^=—+20+—

qqio

,250“q、,2501

C⑷=(彳+2"歷尸-彳+歷

令不色片。，即一駕+」-=（）,得/=50,夕2=-50（舍去），

q~10

%=50是C（q）在其定義域內(nèi)II勺唯一駐點(diǎn).

因此，4=50是心①）1內(nèi)最小值點(diǎn)，即要使平均成本至少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品.

第二部分積分學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題

1.在切線斜率為2*的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)(1,4)的曲線為(y=V+3).

2.若J；(2x+A)dx=2,則

3.下列等式不成立的是(Inxdr=d(-)).

x

4.若Jf(x)dx=-e'+c，則/'(x)=(--e2).

5.jixl(e')=(xe"v+e-'+c).

11]

6.若J/(x)evcLr=-ev+c,則rCO=(-r).

7.若F(x)是f(x)的一種原函數(shù)，則下列等式成立小j是(f'/(x)dx=F(x)-F(a)).

Ja

?e人e-?、

8.下列定積分中積分值為01內(nèi)是（f—d￥）

JT2

r+1

9.下列無(wú)窮積分中收斂的是（1—dA-：.

10.設(shè)A'（O>=100-4O，若銷售量由10單位就少到5單位，則收入"的變化量是（350）.

II.下列微分方程中，（）/y+x），2=e“）是線性微分方程.

12.微分方程（了）2+.8〃）3+盯4=0的階是⑴.

二、填空題

1.dje-1dr=e-'6.x

2.函數(shù)/（_r）=sin2XH勺原函數(shù)是-；co$2*+c（c是任意常數(shù)）

3.若，/(幻出=(工+1)2+。，則/(x)=2(x+l)

4.若j/(x)d￥=/(%)+(:,則

5.^-pln(x2+1)dx=o

f1x.

6.—;----7心=0

L，+I)2

r+8|

7.無(wú)窮積分-----山:是收斂的《鑒別其斂散性)

」。3+1)2

3

8.設(shè)邊際收入函數(shù)為R'(0=2+3q,且#(0)=0,則平均收入函數(shù)為2+-CI.

2

9.(/)3+e-2xy=0是2階微分方程.

io.微分方程的通解是y=3-+c

.1

sin一

rx.I*.1,/1、1

1?解一千d1=一sin—d(-)=cos—+c

Jx~Jxxx

2?解J愛(ài)=212%(4)=S2'?+c

3.解卜sinxdx=-xcosx+JcosAdx=-xcosx+sinx+c

+

4.解j(x+l)lrLrdv=—(x+l)2lnx~—jdx

.AT

1/2rr

=-(x+2x)\nx-----x+c

24

5.解￡n3e'(1+e')2dr=3(1+ex)2d(1+e')=i(l+ev)3|^3=—

6.解Inxd(2y/x)=2\j~xInx|2Vxd(lnx)

=2Ve

=2x/e=4-2Ve

C

7.解'xVT+ln(1+ln.r)=2A/1+Inx=2(73-1)

TC汗

2_?21-12

8.解「2xcos2Adr=—xsin2x2sin2Ad￥=-cos2工

Jo2

2o2J。4o

C,n(x(幣一『'-nx

9.解法一+IN=XMx+Hr'-ffe-1-(I-

=e-1-[x-ln(x+1)^o-1=Ine=i

解法二令〃=X+1,則

J；1ln(x+l)d.r=J；Inudu=wInw|f-J；〃與"=e-?f=e-e+1=1

io.解日于P(x)=—,Q(x)=x2+1

x

用公式)，=e^d'[j(x2+l)e^d'dv+c]=e-,nx[j(x2+l)elnvdr+c]

=-[^~

+c]=—+—+—

x4242x

131c7

由XO=-+得c=i

4214

X'XI

因此，特解為y=----1----1—

42x

11.解籽方程分離變量：dy=-e3dr

等式兩端積分得一」e

--e3v+c

23

將初始條件y(-l)=Ji代入，得——e-3=一一e"+c,c=——e-

236

因此，特解為：3ev=2e3'+e3

12.解：方程兩端乘以工，得

X

y，y_Inx

'---

XX2X

即

(馬上

XX

2

兩邊求積分，得—=|曲二dr=JInxd(lnx)="'+c

xx2

~xln-x

通解為：y=------+ex

2

由)'L=i=i，得。=i

xx

因此，滿足初始條件的特解為：y=^2+X

dy,

13.解潛原方程分離變量一一=col.idr

)，1”

兩端積分得Inlny=Infsin*

通解為y=V

14.解洛原方程化為：y,--y=-,它是一階線性微分方程，

xInx

p(x)=__L,0(.r)=J-

xInx

-(P(.t)d.rrf、[P(x)(k.,f-dvj.J-f-dr

用公式y(tǒng)=eJ[jC(x)eJdx+c]=eJt[j---eJrdx+c]

=e,nv[f—e-,nv<h-+c]=x[f—dr+c]

JInxJxInx

=/(InInx+c)

15.解在微分方程y'=2x—y中，P(x)=1,Q(x)=2x

由通解公式y(tǒng)=e/1b(j2.總'"匕+c)=e-v(j+c)

=e-A(2xev-2je'dx+c)=e-v(2xeA-2eK+c)

=(2x-2+ce~x)

16.解：H^FP(r)=—.Q(x)=sinx.由通解公式得

x

dxrf-dr

y=ex(Jsin^eAdx+c)

-lnxsinxe,nAdr4-c)=—(fxsin,uh+c)

exJ

=-(-xcosx+sinx+c)

X

四、應(yīng)用題

1.投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬(wàn)元)，且邊際成本為C'(X)=2*+40(萬(wàn)元/百臺(tái)).試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及

產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均成本到達(dá)最低.

1.解當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為

AC=f/2x+40)dx=(x2+40x),=100(萬(wàn)元)

「0'(幻心+。。二丘40二36…+臾

又cw=

xxx

fQ/2

令C(x)=1——=0,解得x=6.

JT

*=6是愜一的駐點(diǎn)，而該問(wèn)題確實(shí)存在使平均成本到達(dá)最小的值.因此產(chǎn)量為6百臺(tái)時(shí)可使平均成本到達(dá)最小.

2.已知某產(chǎn)品II勺邊際成本C'(x)=2(元/件)，固定成本為0,邊際收益尺'(*)=12-0.02心間產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？在最大利潤(rùn)產(chǎn)量

H勺基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化？

2.解由于邊際利潤(rùn)

L\x)=R\x)-Cr(x)=12-O.02z-2=10-0.02%

令￡'(x)=0,得*=500

*=500是惟一駐點(diǎn)，而該問(wèn)題確實(shí)存在最大值.因此，當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)，利澗最大.

當(dāng)產(chǎn)量由500件增長(zhǎng)至550件時(shí)，利潤(rùn)變化量為

\L=_0.02x)dr=(10x-O.Olx2)|^=500-525=-25(元)

即利潤(rùn)將減少25元.

3.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C'(*)=8x(萬(wàn)元，/百臺(tái))，邊際收入為/?'(>)=100-2歲(萬(wàn)元/百臺(tái))，其中x為產(chǎn)量，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)

最大？從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？

3.解L!(x)=R'(x)-C'(x)=(100-2x)-8*=100-10x

令Z/(x)=O,得x=10(百臺(tái))

又》=10是￡(x)的唯?駐點(diǎn)，該問(wèn)題確實(shí)存在最大值，故刀=10是￡(*)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10(百臺(tái))時(shí)，利潤(rùn)最大.

乂L=^L\x)0x=j'J(l00-1Ox)dr=(1(X).r-5x2)|"^=-2()

即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少20萬(wàn)元.

4.已知某產(chǎn)品『、J邊際成本為C'(X)=4x—3(萬(wàn)元/百臺(tái))，x為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本為18(萬(wàn)元)，求最低平均成本.

4.解：由于總成本函數(shù)為

C(x)=J(4x-3)dx=2x2-3x+c

當(dāng)*=0時(shí)，C(0)=18,得c=18

即C(X)=2/-3x+18

Q(Y\J8

又平均成本函數(shù)為A(x)==2x-3+——

XX

IQ

令A(yù)'(x)=2--=0,解得*二3(百臺(tái))

x7

該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量.因此當(dāng)*=3時(shí)，平均成本最低.最底平均成本為

1Q

A(3)=2x3-3+—=9(萬(wàn)元/百臺(tái))

3

5.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(x)=3+x(萬(wàn)元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸.銷售x百噸時(shí)的邊際收入為*(/)=15-2x(萬(wàn)

元/百噸)，求：

(1)利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量:

(2)在利潤(rùn)最大時(shí)叼產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？

5.解：⑴由于邊際成本為C\x)=1,之際利潤(rùn)Z/(x)=R'(x)—C'(x)=14-2*

令L\x)-0,得*=7

由該題實(shí)際意義可知，才=7為利潤(rùn)函數(shù)〃八州勺極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).因此,當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時(shí)利潤(rùn)最大.

(2)當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增長(zhǎng)至8百噸時(shí)，利漁變化量為

AA=j^(l4-2x)6x=(14x-x2)|^=112-64-98+49=-1(萬(wàn)元)

即利潤(rùn)將減少1萬(wàn)元.

第三部分線性代數(shù)

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)H為3x2矩陣，8為2x3矩陣，則下列運(yùn)算中(AB)可以進(jìn)行.

2.設(shè)4,B為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（（A8「）T=4一|（8々）丁

3.設(shè)4,8為同階可逆方陣，則下列說(shuō)法對(duì)的H勺是（秩（4+8）—帙（4）+秩）.

4.設(shè)4,8均為〃階方陣，在下列狀況下能推出/是單位矩陣的是（47=/）

5.設(shè)A是可逆矩陣，且A+AB=/,則A"=（/+8）.

「一23一

6.設(shè)A=（l2）,B=（-l3）,/是單位矩陣，則ATB-/=（）

-25

7.設(shè)下面矩陣46,C能進(jìn)行乘法運(yùn)算，那么（Afi-/a/可逆，則s-c>成立.

8.設(shè)4是〃階可逆矩陣，左是不為0H勺常數(shù)，貝I」（姑）T=（-A-1）.

k

-120-3

9.設(shè)A=00—13,則廣儲(chǔ)）=（2）.

24-1-3

13126

0—1314

io.設(shè)線性方程組AX=〃的增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為,則此線性方程組的一般解中自由未知量H勺個(gè)數(shù)

0002-1

00000

為（1）.

M+X）=1

11.線性方程組〈-解的狀況是（無(wú)解）.

X14-x2=0

-1A2則當(dāng)2=（，）時(shí)線性方程組無(wú)解.

12.若線性方程組的增廣矩陣為A=

2102

13.線性方程組AX=0只有零解，則AX=Z?（〃wO）（也許無(wú)解）.

14.設(shè)線性方程組/優(yōu)=6中，若/<4m=4,r（/l）=3,則該線性方程組（無(wú)解）.

15.設(shè)線性方程組4X=〃有唯-■解，則對(duì)應(yīng)的齊次方程組AX=O（只有零解）.

二、填空題

1.兩個(gè)矩陣A,B既可相加又可相乘的充足必要條件是與旦是同階矩陣

2

「-30

2.計(jì)算矩陣乘積［1200=￡4]

1

-1

-23

3.若矩陣/=[-12],6=[2-31],則加它

4-62

4.設(shè)4為〃7X〃矩陣，3為SXZ矩陣，若力〃與陽(yáng)都可進(jìn)行運(yùn)算，則〃7,〃，S"有關(guān)系式〃7=，，〃=S

02

5.設(shè)A二03,當(dāng)a=9時(shí)，A是對(duì)稱矩陣.

23-1

13

6.當(dāng)4工一3時(shí)，矩陣A=可逆

a

7.設(shè)A,8為兩個(gè)已知矩陣，且/一3可逆，則方程A+3X=X的解X=（1-B）TA

8.設(shè)A為"階可逆矩陣,則「（冷=”

2-12

9.若矩陣力=402,則r(/D=2

0-33

10.若？心，拉=4,r（A）=3,則線性方程組4T=#無(wú)解

11.若線性方程組《?；2-有非零解，則2=7

2+AX2=0

12.設(shè)齊次線性方程組=0,且秩（力）=r<n,則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于〃-r

23

$=-2X34

齊次線性方程組AX=01內(nèi)系數(shù)矩陣為A=010-2則此方程組的?般解為《（其中是自

0000

由未知量）

12010

14.線性方程組AX=。的增廣矩陣A化成階梯形矩陣后為A->042-11

0000d+\

則當(dāng)d-l時(shí)，方程組AX=〃有無(wú)窮多解.

15.若線性方程組AX=b（b羊0）有唯一解，則AX=0只有o解

三、計(jì)算題

I0221

1.設(shè)矩陣A二-124B=13,求（2/-A，3.

3I103

102

2.設(shè)矩陣A=T+C.

-20

-13-6-3

3.設(shè)矩陣力=-4-2-1,求A”.

211

~012'

4.設(shè)矩陣力=114,求逆矩陣4T.

2--10

飛3-

-10-2

5.僻陣心,5=12,計(jì)算（陽(yáng)T.

1--20

141

J1

1-

1Z—3-

6.設(shè)矩陣A=0-2,B=,計(jì)算（力））

0-12_

20

「

-3]

-2、-\

7.解矩陣方程1二

4\2_1

_3-

「12~_-f

8.解矩陣方程X

520

31一

9.設(shè)線性方程組

+X-產(chǎn)2

X]+—x3=0

2X]+X2~ax3=b

討論當(dāng)a,b為何值時(shí)，方程組無(wú)解，有唯一蟀，有無(wú)窮多解.

X1+2X3=-1

10.設(shè)線性方程組，一X+工2-3.q=2,求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解口勺狀況.

2x)-x24-5X3=0

11.求下列線性方程組啊一般解：

芭+2X3-x4=0

?-xK+x2-3與+2X4=0

2再-J2+5xy-3X4=0

12.求下列線性方程組的一般解：

2x1-5X2+2x3=-3

<$+2X2-x3=3

-2xl+14X2-6芻=12

13.諛齊次線性方程組

x,-3X2+2xy=0

<2工］一5X2+3當(dāng)=0

-8X2+ZX3=0

問(wèn)人取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解.

$+為+匕=1

14.當(dāng)；I取何值時(shí)，線性方程組《2$+看-4.=%有解？并求一般解.

一為+5X3=1

15.已知線性方程組4X=/?I為增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為

-1-16-31

Nf01-330

00002-3

問(wèn)2取何值時(shí)，方程組AX=b有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組AX=h的一般解.

三、計(jì)算題

-10()一102T

1.解由于2/—4丁=2010—-124

001311

~200--1-1311-3一

=020—021-00-1

002_241-2-41

11-3--2r-1-5一

因此（2/—從?。?=00-1-13=0-3

-2-41030-11

21211--61

2.解：氏41+C0100-2+22

00220-42

-60■-61'一0r

=0-2+22=20

40-42_02_

-

-13-(5-3100-114107-

1

3.解由于(A/)=-42-1010■001012

211001211001

1141071I01-1

00101200102

0-1-7-20-130-10-27

100-130100-130

0-10-271002-1

001012001012

-130

因此A'2-7

012

012100I1400

-1.解由于(4/)=11400.012100

200010-3-80-21

102-I101002-11

01200T004-21

00-23-200-23-21

1002-11

.0I04-2

001-3/21

2-11

因此不=4-2

-3/21

63

0-2-2

5.解山亍/火=12

i-204

41

2oO

uA/

4o-o2

1

2oo-

2

oo2

11

--

此

因22

21

1

12-3-5

6.解由于好0-2

0-1242

20

-310-111

[BAI)=

4204201

101%]

0-24501-2%]

1

因此(BA)'=

%

-2-30Ii

7.解由于

34013401

1111043

01-3-201-3-2

-2-343

即

34-2

432

因此，x=

-22-1

120120102

8.解:由于

35010-1-31013

122

即

353-1

1-112-1-523

因此，/=

2035203-1()4

1012102

9.解由于2-10->02-2-2

21b01a-2b-4

1012

0I-1-I

00b—3

因此當(dāng)。二-1且Z?w3時(shí)，方程組無(wú)解;

當(dāng)白。一1時(shí)，方程組有唯一解;

當(dāng)。二-1且〃=3時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.

10.解日于

102-1102-1

1-32-01-11

2500-11