專題2.2基本不等式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點1：由基本不等式求最值或取值范圍】 1【考點2：由基本不等式證明不等式】 1【考點3：利用基本不等式解決存在性或恒成立問題】 9【考點4：利用基本不等式解決實際問題】 14【考點1：由基本不等式求最值或取值范圍】【知識點：基本不等式】一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（1）基本不等式成立的條件：a>0，b>0.（2）等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．二．幾個重要的不等式：（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R（2）ba+ab≥2，ab>0，當且僅當（3）ab≤a+b22，a，b∈R，當且僅當（4）a2+b22≥a+b22三.利用基本不等式求最值問題：已知x>0，y>0，則：（1）如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p).（簡記：積定和最?。?）如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(p2,4).（簡記：和定積最大）1．y=x+4A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用基本不等式的性質(zhì)可求得答案．【解答】解：由已知函數(shù)y=x+4x，∵x≥1，∴4x當且僅當x=4x?，即x＝2?時等號成立，∴?當x＝2?時，函數(shù)y=x+42．已知正數(shù)x，y滿足x+y＝4，則xy的最大值（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】直接利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝4，∴xy≤(x+y)24=故選：B．3．已知正實數(shù)a，b滿足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根據(jù)a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b【解答】解：∵正實數(shù)a，b滿足4a+b+1b+1=1，∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b4．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，則x+2y的最小值為（）A．8 B．82 C．9 D．【分析】由條件可得1x+2y=1，x+2y＝（x+2y【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1x+2y=1，則x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝55．已知正實數(shù)a、b滿足a+b＝4，則(a+1A．22+2 B．4 C．254【分析】由題可知(a+1b)(b+【解答】解：∵正實數(shù)a、b滿足a+b＝4，∴(a+1b)(b+1a當且僅當ab=1ab，即ab＝1，a+b＝4時取等號，∴(a+16．已知正實數(shù)a、b滿足1a+1b=mA．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【分析】由題意可得(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+【解答】解：因為a，b為正實數(shù)，所以(a+1b)(b+當ab=1ab，即ab＝1時等號成立，此時b=1a，又因為1a所以由基本不等式可知a+1a≥2（a＝1時等號成立），所以m7．若正數(shù)a，b滿足a+b＝ab，則a+2b的最小值為（）A．6 B．42 C．3+22 【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：因為正數(shù)a，b滿足a+b＝ab，所以1b+1a=1，則a+2b＝（a+2b）（1當且僅當2ba=ab且1a+1b=1，即a＝1+2，b＝18．已知x＞53，求y=x【分析】根據(jù)配方法可得y＝x﹣1+3【解答】解：因為x﹣1＞0，所以y=x當且僅當x?1=3x?1即x=39．若正數(shù)a，b滿足a+2b＝ab，則2a+b的最小值為．【分析】將等式a+2b＝ab轉(zhuǎn)化為2a【解答】解：將等式a+2b＝ab兩邊同除以ab，得2a+1b=1，2a+b＝（2a+b）（2a+1b）＝4+2ab+2b10．已知非負實數(shù)x，y滿足13x+y+12y+2=1，則x【分析】由x+y=13（3x+y+2y+2）【解答】解：∵實數(shù)x，y非負，∴3x+y＞0，2y+2＞0，∴x+y=13（3x+y+2y+2）?23=13（3x+=13（1+3x+y2y+2+2y+23x+y當且僅當3x+y2y+2=2y+23x+y，即x=23，y＝0時取等號，∴x+11．已知ab＞0，a+b＝1，則a+4bab的最小值為【分析】首先構(gòu)造常數(shù)，然后運用基本不等式直接求解．【解答】解：∵ab＞0，a+b＝1，∴a＞0，b＞0，∴a+4bab=(a+b)(1b+4a12．已知a，b都是非零實數(shù)，若a2+4b2＝3，則1a2+【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式求解最小值即可．【解答】解：a，b都是非零實數(shù)，若a2+4b2＝3，則1a2+1b2=（1a2+1b2≥13（5+4）＝3，當且僅當a=2b，b=13．已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，則1【分析】由已知12x?1+4y?3=（12x?1+【解答】解：因為x＞12，y＞3，且2x+y＝7，所以2x則12x?1+4y?3=（12x?1+4y?3）（2x﹣1+y﹣3）×13=13（5+y?32x?1+8x?4故答案為：3．14．當x＞0時，3xx2+4【分析】根據(jù)基本不等式即可求解．【解答】解：當x＞0時，3xx2+4=3x+即3xx2+4的最大值為315．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則4x+x+3y【分析】由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因為x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則4x+x+3y當且僅當4yx=x3y且x+2y＝2，即y=3?1216．已知a＞b＞0，當2a+4a+b+1a?b【分析】先把2a+4a+b+1a?b【解答】解：a＞b＞0，2a+4a+b+≥2(a+b)?4a+b+2(a?b)?1a?b=6，當且僅當a+b=4a+b∴當2a+4a+b+1a?b取到最小值時，則17．（1）已知x＞3，求4x?3（2）已知x，y是正實數(shù)，且x+y＝1，求1x【分析】（1）配湊可得4x?3（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【解答】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴4x?3當且僅當4x?3=x?3，即x＝5時取等號，∴（2）∵x，y∈R+，∴1x當且僅當y=3x，即x=3?12，y=18．已知實數(shù)a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．【分析】（1）利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出；（2）利用a＝2﹣2b將a2+4b2+5ab＝﹣2（b?12）2【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，∴1a當且僅當2ab=2ba，即a＝b時等式成立，∴（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b?12）2當b=12時，a2+4b2+5ab有最大值為【方法技巧1】通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：（1）拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；（2）代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；（3）拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．【方法技巧2】通過常數(shù)代換法利用基本不等式求最值的步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．通過此種方法利用基本不等式求最值的基本步驟為：（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；（2）把確定的定值(常數(shù))變形為1；（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；（4）利用基本不等式求解最值．【考點2：由基本不等式證明不等式】1．若實數(shù)x、y滿足x2+y2＝1+xy，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2【分析】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，分別求出x+y【解答】解：對于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，即1∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A錯，B錯，對于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，∴x2+y2≤2，故2．若a＞0，b＞0，a+b＝2，則（）A．a(chǎn)b≥1 B．a(chǎn)+b≥2 C．a(chǎn)2+b2≥2【分析】由已知結(jié)合基本基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：因為a＞0，b＞0，a+b＝2，所以ab≤（a+b2）2＝1，當且僅當a＝b＝1時取等號，A因為（a+b）2＝a+b+2ab=2+2ab≤2+a+b＝4，當且僅當a＝b＝1時取等號，所以a+b≤2，B錯誤；因為a2+b22≥(1a+1b=12（a+ba+a+bb）=123．對于不等式①4+6＞25，②x+1xA．①③正確，②錯誤 B．②③正確，①錯誤 C．①②錯誤，③正確 D．①③錯誤，②正確【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別判斷各選項即可．【解答】解：因為(4所以4+6＜25，故①錯誤；當取x＝﹣1時，顯然因為a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2，所以a2+b2≥【考點3：利用基本不等式解決存在性或恒成立問題】1．設(shè)x＞0，y＞0，設(shè)2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【分析】由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2【解答】解：由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x+3y）（3x+2y）=4yx+9xy+12≥24yx?9xy+12＝24，當且僅當4yx=9xy且22．已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，則m的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．7【分析】由已知利用乘1法，然后結(jié)合基本不等式可求2a+b的最小值，由已知得（2a+b）min≥2m2﹣9，解不等式可求m的范圍，進而可求．【解答】解：因為a＞0，b＞0，a+2b＝ab，即1b+2a=1，所以2a+b＝（2a+b）（1b+2a）＝5+2ba+2ab≥5+22ba?2ab=9，當且僅當2ba=2ab且1b+2a=3．已知m＞0，xy＞0，當x+y＝2時，不等式mx+1A．2≤m＜2 B．m≥1 C．0＜m≤1 D．1＜m【分析】根據(jù)題意可得12（x+y）＝1，且x＞0，y＞0，從而mx+1y=12（x+y）（mx+1y）=12（m+1+my【解答】解：由xy＞0，x+y＝2，得12（x+y）＝1，且x＞0，y又m＞0，所以mx+1y=12（x+y）（mx+1y）=12（m+1+當且僅當x+y=2myx=xy，即x=2所以12（m+1+2m）≥2，即（m）2+2m?3≥0，解得m≥1，即m4．若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+1y=1，且不等式x【分析】先利用乘1法，配湊基本不等式的應(yīng)用條件求x+4y的最小值，然后由x+4y＞m2?6m恒成立，可得（x【解答】解：正實數(shù)x，y滿足4x+1y=1，則x+4y=（x+4y）（4x因為不等式x+4y＞m2?6m恒成立，則16＞m2﹣65．已知x、y為兩個正實數(shù)，且不等式ax+y≤12x+【分析】先將原不等式化簡成a≤（x+y）（12x+2【解答】解：∵x＞0，y＞0，又∵不等式ax+y≤12x+2y恒成立，可得a而（x+y）（12x+2y）=12+2xy+故答案為：a≤96．已知x＞0，y＞0且1x+9y=1，求使不等式x+y【分析】利用“1”的代換以及基本不等式求出x+y的最小值，然后根據(jù)恒成立，即可求出m的范圍．【解答】解：因為x＞0，y＞0且1x則x+y＝（x+y）（1x+9當且僅當yx=9xy，即x＝4，y＝12時取等號，此時又m≤x+y恒成立，只需m≤（x+y）min＝16，所以實數(shù)m的取值范圍為m≤16．7．已知正實數(shù)x，y滿足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式4x+1【分析】（1）由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解xy的最大值；（2）先利用乘1法求出4x+1【解答】（1）解：4x+4y＝1，所以14=x+y≥2xy，解得xy≤∴xy的最大值為164（2）解：4x當且僅當x=16，y=112取等號，∴a2+5a≤36，解得﹣9≤a≤4．即8．已知正數(shù)x，y滿足2x+y﹣xy＝0．（1）求2x+y的最小值；（2）若x(y+2)?42＞m【分析】（1）由已知利用基本不等式即可直接求解；（2）原式可化為（x﹣1）（y﹣2）＝2，然后利用換元法，結(jié)合基本不等式可求x（y+2）﹣42的最小值，然后結(jié)合不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化可求．【解答】解：（1）2x+y=xy=12×(2x)×y≤12當且僅當2x＝y(tǒng)，即x＝2，y＝4時取等，所以2x+y的最小值為8；（2）原式可化為（x﹣1）（y﹣2）＝2，令s＝x﹣1，t＝y(tǒng)﹣2，條件可化為st＝2，因為x(y+2)?42＞m所以x(y+2)?42=(s+1)(t+4)?42=st+t+4s+4?42=6+t+4s?42≥6+4st?42=6，當且僅當t＝4s所以m的范圍﹣6＜m＜1．9．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．（1）求1x（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．【分析】（1）由x+y＝2，得x2+y2=1，又x＞0，y＞0，所以1x+（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立可得m≤4x+1xy恒成立，又x+y＝2，所以4x+1xy=4x+【解答】解：（1）由x+y＝2，得x2+y2=所以1x+9y=（x2+當且僅當y2x=9x2y，即x=12（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立，得m≤4x+1又x+y＝2，所以4x+1xy=4x+由（1）可知1x+9y≥8，所以12（1x+9即4x+1xy≥4，故【考點4：利用基本不等式解決實際問題】【知識點：利用基本不等式解決實際問題】(1)此類型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解；(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.1．某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是P1，第三年比第二年的增長率是P2，而這兩年的平均增長率為P，在P1+P2為定值的情況下，P的