北京海淀中關(guān)村中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，則的值為（）A. B.C. D.或2．直線與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是正三角形，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B.-1C. D.3．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用表示，村外一小路所在直線方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.4．某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對(duì)說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對(duì)說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種5．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m6．下列關(guān)于函數(shù)及其圖象的說法正確的是（）A.B.最小正周期為C.函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)D.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為7．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或9．函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.510．2021年6月17日9時(shí)22分，搭載神舟十二號(hào)載人飛船的長征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射．此后，神舟十二號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對(duì)接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個(gè)月，開展艙外維修維護(hù)，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作．已知神舟十二號(hào)飛船的運(yùn)行軌道是以地心為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，其近地點(diǎn)與地面的距離大約是，遠(yuǎn)地點(diǎn)與地面的距離大約是，則該運(yùn)行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.11．已知，為橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，、分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，設(shè)，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.12．設(shè)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.C. D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.14．若直線與平行，則實(shí)數(shù)________.15．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.16．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________①圓C的圓心在第一象限；②圓C與x軸相切；③圓C與圓外切三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2020年3月20日，中共中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》（以下簡稱《意見》），《意見》中確定了勞動(dòng)教育內(nèi)容要求，要求普通高中要注重圍繞豐富職業(yè)體驗(yàn)，開展服務(wù)性勞動(dòng)、參加生產(chǎn)勞動(dòng)，使學(xué)生熟練掌握一定勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，具有勞動(dòng)自立意識(shí)和主動(dòng)服務(wù)他人、服務(wù)社會(huì)的情懷．我市某中學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生暑假期間多參加社會(huì)公益勞動(dòng)，在實(shí)踐中讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)技能，服務(wù)他人和社會(huì)，強(qiáng)化社會(huì)責(zé)任感，為了調(diào)查學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到他們參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間均在15~65小時(shí)內(nèi)，其數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中（1）求，的值，估計(jì)這100名學(xué)生參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的每一個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）學(xué)校要在參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在、這兩組的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取5人進(jìn)行感受交流，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行感受分享，求這2人來自不同組的概率18．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值19．（12分）已知直線l：，圓C：.（1）當(dāng)時(shí)，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線l被圓C截得的弦長恰好為，求k的值.20．（12分）如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，菱形的面積為，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點(diǎn)（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值22．（10分）已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線：截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.①求的方程，并說明是什么圖形；②試探究：在直線上是否存在定點(diǎn)(異于原點(diǎn))，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由韋達(dá)定理得a3a15=2，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【詳解】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故選B【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)積與另一項(xiàng)的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用2、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑．圓的圓心坐標(biāo)，設(shè)圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C3、B【解析】求出圓心到直線距離，減去半徑即為答案.【詳解】圓心到直線的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B4、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選：D.5、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線上，代入方程求得p值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故選：A.6、D【解析】化簡，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，依次判斷，即可【詳解】∵∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；的最小正周期為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，D選項(xiàng)正確故選：D7、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A8、C【解析】分類討論:當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距等于半徑之和；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當(dāng)兩圓外切時(shí)，有，此時(shí).②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有，此時(shí).綜上，當(dāng)時(shí)兩圓外切；當(dāng)時(shí)兩圓內(nèi)切.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解答兩圓相切問題時(shí)易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時(shí)注意分類討論，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點(diǎn)處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，可得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè).故選：C.10、A【解析】以運(yùn)行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運(yùn)行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A11、A【解析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，并表示出兩個(gè)斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式，再與橢圓有公共點(diǎn)解決即可.【詳解】橢圓中：，設(shè)則，則，，令，則它對(duì)應(yīng)直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A12、B【解析】由雙曲線的的定義可得，于是將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，由得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的由焦點(diǎn)為，且點(diǎn)A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào).故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準(zhǔn)線方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準(zhǔn)線方法，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得.故答案為：.15、【解析】求出等邊的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)M為的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運(yùn)算能力，屬于中檔題.16、(答案不唯一，但圓心坐標(biāo)需滿足，)【解析】首先設(shè)圓的圓心和半徑，根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由①可知，半徑為，由②③可知，整理可得，當(dāng)時(shí)，，，所以其中一個(gè)同時(shí)滿足條件①②③的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：(答案不唯一，但圓心坐標(biāo)需滿足，)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；平均數(shù)為40.2；（2）【解析】（1）根據(jù)矩形面積和為1，求的值，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)；（2）首先利用分層抽樣，在中抽取3人，在中抽取2人，再編號(hào)，列舉基本事件，求概率，或者利用組合公式，求古典概型概率.詳解】（1）依題意，，故又因?yàn)?，所以，所求平均?shù)為（小時(shí)）所以估計(jì)這100名學(xué)生參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間的平均數(shù)為40.2（2）由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，則在中抽取3人，分別記為，，，在中抽取2人，分別記為，，則從5人中隨機(jī)抽取2人基本事件有，，，，，，，，，這2人來自不同組的基本事件有：，，，，，，共6個(gè)，所以所求的概率解法二：由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，則在中抽取3人，在中抽取2人，則從5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件總數(shù)為這2人來自不同組的基本事件數(shù)為所以所求的概率18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)椋?，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)椋?，，所以兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.19、（1）相離，理由見解析；（2）0或【解析】（1）求出圓心到直線的距離和半徑比較即可判斷；（2）求出圓心到直線的距離，利用弦長計(jì)算即可得出.【詳解】（1）圓C：的圓心為，半徑為2，當(dāng)時(shí)，線l：，則圓心到直線的距離為，直線l與圓C相離；（2）圓心到直線的距離為，弦長為，則，解得或.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，求得菱形的邊長，取中點(diǎn)，可證，如圖建系，求得點(diǎn)坐標(biāo)及坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，根據(jù)平面PAD，可求得面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則、E分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面積為，，易得菱形邊長為，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的法向量，由得，令，則所以一個(gè)法向量，因?yàn)?，，所以平面PAD，所以平面的一個(gè)法向量所以，又二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明平行的定理，證明線面平行時(shí)，常用中位線法和平行四邊形法來證明；利用空間向量求解二面角為?？碱}型，步驟為建系、求點(diǎn)坐標(biāo)、求所需向量坐標(biāo)、求法向量、利用夾角公式求解，屬基礎(chǔ)題.21、（1）詳見解析（2）【解析】（1）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即可證明線線垂直；（2）利用垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向