重難點(diǎn)02規(guī)律型問題探究（數(shù)式或圖形規(guī)律、旋轉(zhuǎn)問題、平移或翻滾型、漸變型）題型解讀｜模型構(gòu)建｜真題強(qiáng)化訓(xùn)練｜模擬通關(guān)試練規(guī)律性問題的結(jié)論不是直接給出，而是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境等，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類題的解題策略是：由特例觀察、分析、歸納一般規(guī)律，然后利用規(guī)律解決問題。具體思維過程是“特殊---一般----特殊”。這類問題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時(shí)往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”等思維特點(diǎn)，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。模型01數(shù)式或圖形規(guī)律考｜向｜預(yù)｜測數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，需要學(xué)生學(xué)會分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律——重點(diǎn)分析“怎樣變”，應(yīng)結(jié)合各式或圖形的序號進(jìn)行前后對比分析。主要考查學(xué)生閱讀理解、觀察圖形的變化規(guī)律的能力，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．答｜題｜技｜巧1.讀懂題意，標(biāo)序號；2.根據(jù)已有規(guī)律模仿或歸納推導(dǎo)隱藏規(guī)律，析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律——重點(diǎn)分析“怎樣變”；3.猜想規(guī)律與“序號”之間的對應(yīng)關(guān)系，并用關(guān)于“序號”的式子表示出來；4.驗(yàn)證所歸納的結(jié)論，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解答；1.（2024·山東）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=24011．按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：12，-35，12，-717，926A．-19101 B．21101 C．-2．按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規(guī)律排列的第n3．正偶數(shù)2，4，6，8，10，…，按如下規(guī)律排列，則第27行的第21個(gè)數(shù)是．4．1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(a+b)7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為5．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的q=143，則p的值為（

）A．100 B．121 C．144 D．1696．下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為（

）A．135 B．153 C．170 D．1897．如圖，在2×2的網(wǎng)格內(nèi)各有4個(gè)數(shù)字，各網(wǎng)格內(nèi)數(shù)字都有相同的規(guī)律，c為（）A．990 B．9900 C．985 D．9850模型02旋轉(zhuǎn)型問題考｜向｜預(yù)｜測該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）。主要考查對點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用正確運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算。答｜題｜技｜巧1.觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；2.分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）；3.周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動時(shí)間登，確定要求的點(diǎn)與哪個(gè)點(diǎn)重合或在同一象限，或與哪個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；4.利用有理數(shù)的運(yùn)算解題；1.（2023·四川）如圖所示，矩形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，對角線在第二象限的角平分線上．若矩形從圖示位置開始繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時(shí)，點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．1.數(shù)學(xué)家高斯推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計(jì)算1+2+3+4+?+100時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到1+2+3+4+?+100=100×(1+100)2．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+?+n=n(1+n)2（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)Aixi,yi，其中i=1,2,3,?,n,?，且xi,y

A．a(chǎn)2023=40 B．a(chǎn)2024=43 C．2．如圖是從原點(diǎn)開始的通道寬度為1的回形圖，OA=1，反比例函數(shù)y=1x與該回形圖的交點(diǎn)依次記為B1、B2、B3、……3．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1從原點(diǎn)出發(fā)，沿如圖所示的方向運(yùn)動，到達(dá)位置的坐標(biāo)依次為：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到達(dá)終點(diǎn)An（506，﹣505），則n的值為．3．如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5?叫作“正方形的漸開線”，其中C1C2，C2C3，C

A．(-1，-2022) B．(-2023，1) C．4．在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0．把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長擴(kuò)大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長擴(kuò)大為△A1OB1，邊長的2

模型03平移或翻滾型考｜向｜預(yù)｜測該題型主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律(如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等)。主要考查對點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用正確運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算求解。這類問題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時(shí)往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”等思維特點(diǎn)，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。答｜題｜技｜巧1.觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律得出具體數(shù)量的變化規(guī)律；2.分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）；3.周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動時(shí)間登，確定要求的點(diǎn)與哪個(gè)點(diǎn)重合或在同一象限，或與哪個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；1.如圖，，點(diǎn)在射線上，且，過點(diǎn)作交射線于，在射線上截取，使；過點(diǎn)作交射線于，在射線上截取，使.按照此規(guī)律，線段的長為________．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，那么點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為（）A．(﹣1，1) B．(，0) C．(﹣1，﹣1) D．(0，)2．如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，B(2，2)，菱形的對角線的交于點(diǎn)D；若將菱形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，從如圖所示位置起，經(jīng)過60秒時(shí)，菱形的對角線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)3．如圖，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，過點(diǎn)作，使．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)．則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為A． B．4 C． D．64．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1＝A1A2＝1，以O(shè)A2為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形OA2A3，以O(shè)A3為直角邊作第三個(gè)等限直角三角OA3A4，…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為_____________．5．如圖，邊長為1的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在軸正半軸上，頂點(diǎn)在軸正半軸上，將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，那么經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________．模型04漸變型考｜向｜預(yù)｜測漸變型變化規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律，它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生分析、解決問題的能力，觀察、聯(lián)想、歸納的能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力，題型可涉及填空、選擇或解答。答｜題｜技｜巧觀察幾何圖形、根據(jù)題中的變化規(guī)律進(jìn)行分析，猜想下面所沒有給出的圖形變化情況、探究圖形的變化和所求的結(jié)果、歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。14.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，連接AC，過點(diǎn)D作DC1⊥AC于點(diǎn)C1，以C1A，C1D為鄰邊作矩形AA1DC1，連接A1C1，交AD于點(diǎn)O1，過點(diǎn)D作DC2⊥A1C1于點(diǎn)C2，交AC于點(diǎn)M1，以C2A1，C2D為鄰邊作矩形A1A2DC2，連接A2C2，交A1D于點(diǎn)O2，過點(diǎn)D作DC3⊥A2C2于點(diǎn)C3，交A1C1于點(diǎn)M2；以C3A2，C3D為鄰邊作矩形A2A3DC3，連接A3C3，交A2D于點(diǎn)O3，過點(diǎn)D作DC4⊥A3C3于點(diǎn)C4，交A2C2于點(diǎn)M3…若四邊形AO1C2M1的面積為S1，四邊形A1O2C3M2的面積為S2，四邊形A2O3C4M3的面積為S3…四邊形An﹣1OnCn＋1Mn的面積為Sn，則Sn＝__________．（結(jié)果用含正整數(shù)n的式子表示）1.如圖，，，，…，，都是一邊在軸上的等邊三角形，點(diǎn)，，，…，都在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，，，…，，都在軸上，則的坐標(biāo)為________．2．如圖，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)B1作B1A1⊥l，交x軸于點(diǎn)A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長B4C3交x軸于點(diǎn)A4；…；照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個(gè)正方形AnBnBn+1?n的邊長為（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．3.如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)…，按照如此規(guī)律操作下去，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是______________．4．如圖，一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OA，交x軸于點(diǎn)B；作BA1∥OA，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A1；過點(diǎn)A1作A1B1⊥A1B交x軸于點(diǎn)B；再作B1A2∥BA1，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A2，依次進(jìn)行下去，…，則點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為．1．（2023·湖南）觀察下列等式：根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）A．0 B．1 C．7 D．82．（2022·河南）我們將如圖所示的兩種排列形式的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…），在小于200的數(shù)中，設(shè)最大的“三角形數(shù)”為m，最大的“正方形數(shù)”為n，則m+n的值為（）A．33 B．301 C．386 D．5713．（2019·甘肅）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個(gè)圖形中共有_____個(gè)〇．4．（2024·遼寧）如圖，在中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到；……按照上面的作法進(jìn)行下去，則的面積為_____．（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）5.（2024·四川）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以O(shè)A2為直角邊作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以O(shè)A3為直角邊作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為．1．規(guī)律探究題：如圖是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第2023個(gè)圖案用幾根火柴棒（

）A．8093 B．8095 C．8092 D．80912．漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活．如圖所示圖形都是由同樣大小的圓點(diǎn)和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖②中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖③中共有個(gè)圓點(diǎn)，圖④中共有個(gè)圓點(diǎn)…依此規(guī)律則圖⑩中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)，記關(guān)于直線m（直線m上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為0）的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線n（直線n上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1）的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線p（直線p上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為）的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線q（直線q上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為3）的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線n的對稱點(diǎn)為，……依此規(guī)律的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．4．如圖，，過點(diǎn)作且，得；再過點(diǎn)，作，且，得；又過點(diǎn)作且，得依此法繼續(xù)作下去，得（）A． B． C． D．5．請看楊輝三角，并觀察下列等式：根據(jù)前面各式的規(guī)律，則.6．如圖，李明從A點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)5米到達(dá)B點(diǎn)后向左旋轉(zhuǎn)的角度為α，再沿直線前進(jìn)5米，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)α角度，照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，他共走了45米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度α為．7．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“”，所有