重難點05三角形全等、相似及綜合應(yīng)用（三角形全等、三角形相似、折疊問題、旋轉(zhuǎn)問題）題型解讀｜模型構(gòu)建｜真題強化訓(xùn)練｜模擬通關(guān)試練三角形的相關(guān)知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ)，所以是中考考試的必考知識點。在考察題型上，三角形基礎(chǔ)知識部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關(guān)系、內(nèi)角和/外角和定理、“三線”基本性質(zhì)等。特殊三角形的性質(zhì)與判定也是考查重點，年年都會考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的，且等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大。直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸。模型01三角形全等及其應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測三角形全等的判定及應(yīng)用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊。答｜題｜技｜巧1.認(rèn)真分析題目的已知和求證；2.分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；3.在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；4.最后把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．1．（2024?上海）如圖，點是上任一點，，從下列各條件中補充一個條件，不一定能推出的是A． B． C． D．1．如圖，把長短確定的兩根木棍、的一端固定在處，和第三根木棍擺出，再將木棍繞轉(zhuǎn)動，得到，這個實驗說明（

）A．有兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形不一定全等B．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形一定不全等C．有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形不一定全等D．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等2．下面是“作角的平分線”的尺規(guī)作圖方法：（1）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）分別以，為圓心，以大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點；（3）作射線．所以射線即為所求．上述方法通過判定得到，其中判定的依據(jù)是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等D．三邊分別相等的兩個三角形全等3．綜合探究問題情境：是等邊三角形，點是AC上一點，點在的延長線上，且，連接，．猜想證明∶（1）如圖1，當(dāng)點D是的中點時，______；（填“”，“”或“”）（2）若點為邊上任意點時，同學(xué)們經(jīng)討論發(fā)現(xiàn)結(jié)論依然成立，并且可以通過構(gòu)造一個三角形與全等來證明．以下是他們的部分證明過程：證明：如圖2，過點作，交于點．（請完成余下的證明過程）問題解決：（3）如圖3，當(dāng)點是邊上任意一點時，取的中點，連接．求的度數(shù)．4．“綜合與實踐”課上，老師將一張長為4，寬為3的矩形卡紙沿一條對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和（如圖①），然后把這兩張全等的三角形紙片完全重合疊放，其中點與點重合（標(biāo)記為點），在點處訂個釘子，將逆時針旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)的過程中，發(fā)現(xiàn)了以下問題，請你幫忙解答：(1)如圖②，若旋轉(zhuǎn)的角度為時，延長交于點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖③，若旋轉(zhuǎn)的角度為銳角，的延長線交于，交于，若為等腰三角形，求的長；(3)將旋轉(zhuǎn)一周，點為的中點，點為的中點，請直接寫出的最大值是多少．5．在學(xué)習(xí)了全等三角形和等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)后，我們通過進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，等腰三角形中兩腰上的中線有相等關(guān)系，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)此想法和思路，完成以下作圖和填空：(1)如圖，在中，，點是的中點，連接．用尺規(guī)作的垂直平分線分別交，于點，，連接．（只保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)已知：在中，，點是的中點，垂直平分，求證：．證明：___________①點是的中點，垂直平分，___________②在和中．進(jìn)一步思考，等腰三角形兩底角的平分線呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④___________．模型02三角形相似及其應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測三角形相似的判定及綜合應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或者利用相似求長度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形的判定方法，兩組角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似。解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．答｜題｜技｜巧認(rèn)真分析題目的已知和求證；分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；在應(yīng)用三角形相似的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形最后把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵。1.（2024·山西）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．1．如圖，在中，，，，將沿下列各圖中的剪開，剪下的陰影三角形與不一定相似的是（

）A． B．C． D．2．如圖，點D在的邊上，添加一個一條件，使，以下是嘉嘉和淇淇的做法．下列說法不正確的是（

）嘉嘉的做法：添加條件證明：∵，．

∴(兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）淇淇的做法：添加條件證明：∵，

∴(兩組對應(yīng)邊成比例及一組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似）A．嘉嘉的做法證明過程沒有問題 B．淇淇的做法證明過程沒有問題C．嘉嘉的做法添加的條件沒有問題 D．淇淇的做法添加的條件有問題3．如圖，在矩形中，，，點P由點A出發(fā)沿方向向點B勻速移動，速度為，點Q由點D出發(fā)沿方向向點A勻速移動，速度為，如果動點P、Q同時從A、D兩點出發(fā)，連接、，設(shè)運動的時間為．若以Q、A、P為頂點的三角形與相似時，則t的值為．

4．在菱形中，，點E在射線上，連接、．(1)如圖1，當(dāng)點E是邊的中點，求的正切值；(2)如圖2，當(dāng)點E在線段的延長線上，連接與邊交于點F，如果，的面積等于，求的長；(3)當(dāng)點E在邊上，與交于點H，連接并延長與的延長線交于點G，如果，與以點E、G、B所組成的三角形相似，求的長．5．如圖1，在四邊形的邊上任取一點，點不與，重合，分別連結(jié)，，可以把四邊形分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們把叫做四邊形邊上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把叫做四邊形邊上的強相似點．(1)如圖1，若，試判斷點是不是四邊形的邊上的相似點？______（填“是”或“不是”）；(2)如圖2，在中，，直角頂點在直線上，分別過點，作于點，于點，試判斷點是不是四邊形邊上的相似點？并說明理由；(3)如圖3，，平分，平分交于點，過點作于點，交于點，求證：點是四邊形邊上的一個強相似點．模型03三角形折疊問題探究考｜向｜預(yù)｜測與三角形的性質(zhì)有關(guān)的折疊問題，該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問題，難度系數(shù)較大。三角形的折疊問題注意折疊前后對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，在多解題型中，準(zhǔn)確畫出折疊后的圖形是我們解題的關(guān)鍵。結(jié)合三角形相關(guān)的性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關(guān)知識點進(jìn)行解題。答｜題｜技｜巧1.運用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；2.在圖形中找到一個直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設(shè)圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；3.利用勾股定理列方程求出x；4.進(jìn)行相關(guān)計算解決問題.1．（2023?山東）對于題目：“如圖，點M，N分別是長方形ABCD的邊AB和BC上的點，沿MN折疊長方形ABCD，點B落在點B′處，若∠MNB′與∠CNB′兩個角之差的絕對值為45°，確定∠BNM的所有度數(shù)．”甲的結(jié)論是∠BNM＝45°，乙的結(jié)論是∠BNM＝60°．下列判斷正確的是（）A．甲的結(jié)論正確 B．乙的結(jié)論正確 C．甲、乙的結(jié)論合在一起才正確 D．甲、乙的結(jié)論合在一起也不正確1．如圖，將三角形紙片沿直線折疊后，使得點B與點A重合，折痕分別交于點D、E．如果，的周長為，那么的長為（）．

A． B． C． D．2．如圖，在中，，，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在邊上的點處，折痕為，若，則的長為．3．如圖，將一張長方形紙片沿對角線折疊后，點C落在點E處，連接交于F，再將三角形沿折疊后，點E落在點G處，若剛好平分，那么的度數(shù)是．4．如圖，在平行四邊形中，，，P是射線上一點，連接，沿將三角形折疊，得三角形．(1)當(dāng)時，_______度；(2)如圖，當(dāng)時，_____度，并求此時線段的長度；(3)當(dāng)點落在平行四邊形的邊所在的直線上時，直接寫出線段的長度．模型04三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）考｜向｜預(yù)｜測三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強，有一定難度，本專題重點分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角、對角互補模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。答｜題｜技｜巧1.找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心；2.確定以旋轉(zhuǎn)中心為頂點的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角所在的兩個三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；3.學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題；4.數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答。1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④1．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．【原題】如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系．【模型】我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決半角模型問題時，“旋轉(zhuǎn)”、“截長補短”均是常用的方法．(1)思路梳理：A.旋轉(zhuǎn)法：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則，，可以得到，即點共線．易證，故之間的數(shù)量關(guān)系為．B.截長補短法：延長至點G，使得，由，，即，可以得到．(2)類比引申如圖2，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．2．如圖1，在中，，，點D、E分別在邊、上，且，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時，______；②當(dāng)時，______；(2)拓展探究試判斷：當(dāng)時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決當(dāng)，旋轉(zhuǎn)至A，D，C三點共線時，直接寫出線段AD的長．1．（2024·山西）小明在學(xué)完《全等三角形》這章后，自己進(jìn)行小結(jié)．如圖，他的畫圖過程說明（

）A．兩個三角形的兩條邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等B．兩個三角形的兩條邊和夾角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等C．兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，這兩個三角形全等D．兩個三角形的兩個角和夾邊對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等2．（20244·福建）如圖，中，，將沿圖中的虛線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的三角形一定與原三角形相似的是（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④3．（2024·浙江）如圖，在中，∠ABC＝90°，，，點、分別是邊，邊上的點（、不與端點重合），且，將沿直線折疊，點的對應(yīng)點為點，延長交于點，若以、、為頂點的三角形與相似，求的長．4．（2023·四川）如圖，將一張等腰三角形紙片（），沿折疊后點與點重合，點為線段上一點，連接，將三角形沿折疊，點恰好落在直線上的點，則的余角的度數(shù)為．5．（2024·廣東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，平行四邊形的頂點、在軸上，在軸上，，直線分別與軸、軸、線段、射線交于點、、、．(1)當(dāng)時，求證：(2)探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)在軸上是否存在點，使得，且以點、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出此時的值以及點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2024·山東）【教材呈現(xiàn)】如圖為人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第頁的部分內(nèi)容．思考：如圖，把一長一短的兩根木板的一端固定在一起，擺出．固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木板，得到，這個實驗說明了什么？(1)【應(yīng)用發(fā)現(xiàn)】小明通過以上思考得到結(jié)論：有兩邊和其中一邊的對角分別相等（即“”對應(yīng)相等）的兩個三角形不一定全等．同時他受此啟發(fā)，展開了以下探究：如圖1，如果和中，，，．則可證．證明：在上取一點，使．，①______．又而．②______．，③______．又．（AAS）．．小紅提出：如圖2，若在的延長線上取一點，使，也可證得結(jié)論．請補全小明證明中①②③④所缺的內(nèi)容．總結(jié)發(fā)現(xiàn)：兩個三角形中，當(dāng)一角和它所對的邊對應(yīng)相等，另一組對應(yīng)角互補時，此時這兩個三角形不全等，但可通過“割大或補小”構(gòu)造全等三角形．(2)【拓展探究】為等腰三角形，，點在的延長線上，點在線段上，連接交于點．①如圖3，若，求證：點為的中點；（說明：用一種解題思路解答正確即得5分，用兩種思路解答全部正確得滿分8分）②若為等邊三角形，點為的中點，點在的延長線上，且滿足，請直接寫出的值．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，過該函數(shù)圖象上一點作軸于點D，點E是線段上一動點，連接，，若以B，E，O為頂點的三角形與相似，則點E的坐標(biāo)為．

2．如圖1，在直角三角形紙片中，，，．【數(shù)學(xué)活動】將三角形紙片進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片使點與點重合，然后展開鋪平，得到折痕；第二步：然后將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點分別是點，直線與邊交于點（點不與點重合），與邊交于點．(1)折痕的長為．(2)在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)在繞點